真題及講解數(shù)學二89年1395j

0axb Y曲線 在t2處的切線方程為3y3如 ， x 如 ， y t

32tt

t

3且當t2x5,y8.y83(x5化簡 y3x70 nn2n1

"n2n n2n

)2 ann2n1n2n2"n2n

1n(n a " 12"n n2n n2n n2n n2 n21in2n n(na " 12"n n2 n2 n2 n2 n2 1n i a2n 1n 所 limi liman n2 準則，得liman

n 22 lim( " )nn2n n2n n2n yx2ex2的漸近線方程為yf(xxx0limf(xxx0xlimf(xa,(a為常數(shù)）yayx2ex2limylimx2ex20 f(x和(x在(f(xf(x0(x（A）[f(x)]必有間斷 （B）[(x)]2必有間斷（C）f[(x)]必有間斷 【答案】

f

f

無間斷點，因為f(x)是連續(xù)函數(shù)，則(x) if(x)必無間斷點，這與(x)有間斷 ，故f選擇1,xf(x1,(x

則f(x1,f[(x1,[(x)]21都處處連續(xù)，排除（A），（B），（C）.故應選擇yx(x1)(2xx （A）0x(x1)(2 （B）0x(x1)(2x)dx1x(x1)(2 （C）0x(x1)(2x)dx1x(x1)(2【答案】 0x(x1)(2x)dx0x(x1)(2

（D）0x(x1)(2011x(x1)(2x)dx2x(x1)(201應選擇yx(x1)(2x 0x(x1)(2x)dx1x(x1)(2 故應選f(x在(x1x2x1x2f(x1f(x2（A）對任意x,f(x) （B）對任意x,f(x)（C）函數(shù)f(x)單調(diào)增 （D）函數(shù)f(x)單調(diào)增【答案】是單調(diào)增加的.應選擇

f(x2，即f(x1f(x2.故f對于(A)(B)(C)f(xx3xxxxf(xf(x f(0) 0f(x)3(x)20f(xx3，在其定義域內(nèi)單調(diào)減少。f(x在[0,1]f(x0f(1f(0f(1)f(0)f(0)f(1)（A）f(1)f(0)f(1)f （B）f(1)f(1)f(0)f（C）f(1)f(0)f(1)f （D）f(1)f(0)f(1)f【答案】f(x0f(x在區(qū)間[0,1]f(1)f(x)f(0),(0xf(1f(0)f(01)所 f(1)f(1)f(0)f()f(0)，(0應選擇（A）f(0) （B）f(0)（C）f(0)f(0) （D）f(0)f(0)【答案】F(x)f(xf(x|sinx|，而f(x)可導，F(xiàn)(xx0f(x|sinx|x0可導，令(x)f(x)|sinx|，則(0)limf(x)|sinx|limf(x)sinxf

f(x)|sinx

f(x)sin

f F(xx0處可導，當且僅當f(0)f(0)f(0)0.故選擇（A） cos cosx(1 x2

2ix原式=lim1cos x

1 x

(1 1

2x02x

2x0 f(

d2設函數(shù)yy(x)由方程 e確定，其中f具有二階導數(shù)，且f1，yf(xf(x和隱函數(shù)求導法則，有方法一：將方程兩邊對x求導，得ef(y)xef(y)if(y)iyeyiyy ef(yxefy)eyeyxf(y)ef(1yx(1fyxy0x(1f(y))(1f(y))x(f(y)ix(1f( x(1f( yf(x2(1f( x(1f(將y x(1f(

x2(1f(

x2(1f(lnxfyy1f(y)iyyxf1y x(1f( 設f(x1) ，且f[(x)]lnx，求x2【解析】首先應求出(x) f(x21)

x22

x2x2x21tf(t)lntt

(x) f[(x)]ln(x)1lnx (x)11(x)解 (x)

xx

.x 1因 (x)dxx1dx(1x)dxx2lnx11xf(x

1,x f(xx0x0f(xarctan1

2x2由 limf(x)

1

2x2 limf limf 4 x0 1x f(0)limf(x)f(0)limf(x)limarctan1

所 limf(x)

f(x)f f(xx0處連續(xù)x1cos求擺線ytsint一拱（0t2）【解析】由弧微分dsx(t)2y(t)2dt sin2t(1cost)2dt 2(1cost)dt所 s

2(1cost)dt

dt22sintdt22sint t

4(11) 設單位質(zhì)點在水平面內(nèi)作直線運動，初速度vt0v0，已知阻力與速度成正比（1），問t3【解析】設質(zhì)點的運動速度為v(t)，由題設，阻力為v(t)mdv(t)v(tm1dv(t)v(tv(t)另有初始條件v(0)v0v(t)v0et 0vet，得tln s vetdt v(1) v 0 0 3f(x

【解析】關于積分上限函數(shù)f(x) g(x)(t)dt（a為常數(shù)）的導數(shù)為f(x)[g(x)]ia對函數(shù)f(x) x2(2t)etdt兩邊求導并令f(x)0，0f(x)2x(2x2)ex2解得駐點x0,x f(x)0,x

2,f(x)f(x0, x0,f(x)由

f(x0,0x 2,f(x)2f(x x,f(x)2f(2),f(2f(xf(0)f(x f(2)2(2t)etdt(2t)et2f(0)0(2t)etdt0

2etdt1e2

f(x)

f(x)(2t)etdt(2t)et000

0所 f(2)1e2為函數(shù)f(x)最大值f(0)0f(x五、設yex是微分方程xyp(x)yx的一個解，求此微分方程滿足條件 0xexp(x)ex解 p(x)xexxyxexxyxy(ex1)y這是一階線性非齊次微分方程，即yp(x)yq(x)，其通解 yep(x)dx(q(x)ep(x)dxdxC)，其中C為常數(shù)。 p(x)ex1，q(x)1，得ye(ex1)dx(e(ex1)dxdxeexx(eexxdxC)eexx(

eexdxC)eexx((eex)dxe再由

eexx(eexCexCeexxxln20得eln2Ceeln2ln2 Ce2exx yex 23 知線段MP的長度 （其中 y(x), y(x)），試推導出點P(,)的坐標表達0y 0yy TMP1y0)32y0 (x)2(y)2(1y)3/y yx0 (y)2(1y2)2/y2 y0，知曲線是向上凹的，容易看出y01 y0 0 y(1y2 xy(y) y y0

y(1y2 于是得

y1y xsin

f(x0tdt，計算0ff(x)sinx0sinf(0)0tdt00f(x)dx

f(x)d(x)f(x)(x)

f(x)(00(x)sinxdxsinxdxcosx0 xsin方法二：對于二重積分0f(x)dx0(0tdt)dxf(x)dx(xsintdt)dxsint 0 D其 D(x,t)0x,0tx(x,t)0t,0x sin sin 于 0f(x)dx0(ttdx)dt0tdttdx)0sintdt八、設limf(x)1f(x0f(x

f(x)1f(0)0xf(0)limf(x)f(0)limf(x) x (x) (x)

f(x)xf