贛州市2022年高三年級摸底考試文科數(shù)學2022年3月

贛州市2022年高三年級摸底考試文科數(shù)學2022年3月本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時間120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每一小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合A＝{x|eq\f(x,x－1)＜0}，B＝{x|x－2＜2}，則“m∈A”是“m∈B”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x(x＞0)，,3x(x≤0)，))則f[f(eq\f(1,4))]的值是\f(1,9)C.－9D.－eq\f(1,9)3.已知(x－eq\f(a,x))8展開式中的常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和為或38或284.已知橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，且m，n，m＋n成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為\f(\r(3),2)\f(\r(5),5)\f(1,2)\f(\r(2),2)5.有下列命題：①函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(2,sinx)(x∈(0，π))的最小值是2eq\r(2)；②在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則△ABC是等腰三角形或直角三角形；③如果正實數(shù)a，b，c滿足a＋b＞c，則eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)＞eq\f(c,1＋c)；④如果y＝f(x)是奇函數(shù)(x∈R)，則有f(0)＝0.其中正確的命題是A.①②③④B.①④C.②③④D.②③6.已知a，b為空間兩條異面直線，A是直線a，b外一點，則經(jīng)過A點與兩條異面直線a，b都相交的直線的可能情況為A.至多有一條B.至少有一條C.有且僅有一條D.有無數(shù)條7.在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數(shù)列{an}的前9項之和S9等于8.設F為拋物線y2＝4x的焦點，△ABC的三個頂點都在此拋物線上，且eq\x\to(FA)＋eq\x\to(FB)＋eq\x\to(FC)＝0，則|eq\x\to(FA)|＋|eq\x\to(FB)|＋|eq\x\to(FC)|等于9.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，則g(x)＝f(x2)的最大值為10.已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))則z＝eq\f(x＋y＋2,x＋3)的最小值為\f(1,3)\f(13,6)D.－eq\f(2,3)11.方程2sinθ＝cosθ在[0,2π)上解的個數(shù)是個個個個12.已知C為線段AB上的一點，P為直線AB外一點，滿足|eq\x\to(PA)|－|eq\x\to(PB)|＝2，|eq\x\to(PA)－eq\x\to(PB)|＝2eq\r(5)，eq\f(\x\to(PA)·\x\to(PC),|\x\to(PA)|)＝eq\f(\x\to(PB)·\x\to(PC),|\x\to(PB)|)，I為PC上一點，且eq\x\to(BI)＝eq\x\to(BA)＋λ(eq\f(\x\to(AC),|\x\to(AC)|)＋eq\f(\x\to(AP),|\x\to(AP)|))(λ＞0)，則eq\f(\x\to(BI)·\x\to(BA),|\x\to(BA)|)的值為\r(5)\r(5)－1第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫在題中橫線上.13.某市A、B、C三個區(qū)共有高中學生20000人，其中A區(qū)高中學生9000人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個區(qū)所屬高中學生中抽取一個容量是600人的樣本進行新課程學習作業(yè)的調(diào)查，則A區(qū)應抽取人.14.若函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω＞0)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離是2π，則ω的值為.15.已知棱長為2eq\r(6)的正四面體內(nèi)切一球，然后在它四個頂點的空隙處各放一個小球，則這些球的最大半徑為.16.五個同學傳一個球，球從小王同學手中首先傳出，第五次傳球后，球回到小王手中的概率是.

三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知向量a＝(coseq\f(3,2)x，sineq\f(3,2)x)，b＝(coseq\f(x,2)，－sineq\f(x,2))，且x∈[0，eq\f(π,2)].(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值為－eq\f(3,2)，求λ的值.

18.(本小題滿分12分)一個不透明的箱子內(nèi)裝有材質(zhì)、重量、大小相同的7個小球，且每個小球的球面要么只寫有數(shù)字“08”，要么只寫有文字“奧運”.假定每個小球每一次被取出的機會都相同，從中摸出2個球都寫著“奧運”的概率是eq\f(1,7)，現(xiàn)甲、乙兩人做游戲，方法是：不放回地從箱子中輪流摸取一個球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到兩人中有一人取得寫著文字“奧運”的球時游戲結(jié)束.(1)求該箱子內(nèi)裝著寫有數(shù)字“08”的球的個數(shù)；(2)求當游戲結(jié)束時總球數(shù)不多于3的概率.

19.(本小題滿分12分)如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G為△ABC的重心，M為GD的中點.(1)求直線DG與平面ABC所成的角；(2)求異面直線CG與MB所成的角；(3)求二面角G—MC—B的大小.

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,4)x4＋eq\f(2,3)x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增.(1)求實數(shù)a的值；(2)若關于x的方程f(2x)＝m有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)設An為數(shù)列{an}的前n項和，An＝eq\f(3,2)(an－1)，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝4n＋3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)把數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，求證：數(shù)列{dn}的通項公式為dn＝32n＋1.

22.(本小題滿分12分)已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，點P滿足|PF1|－|PF2|＝2，記點P的軌跡為S，若直線l過點F2且與軌跡S交于P、Q兩點.(1)求軌跡S的方程；(2)無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在x軸上總存在定點M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求實數(shù)m的值；(3)過P、Q作直線x＝eq\f(1,2)的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ＝eq\f(|PA|＋|QB|,|AB|)，求λ的取值范圍.

高三摸底數(shù)學(文科)答案第頁(共3頁)贛州市2022年高三年級摸底考試文科數(shù)學參考答案2022年3月\f(1,2)\f(1,2)\f(51,256)17.解：(1)a·b＝coseq\f(3,2)x·coseq\f(x,2)－sineq\f(3,2)x·sineq\f(x,2)＝cos分|a＋b|＝eq\r((cos\f(3,2)x＋cos\f(x,2))2＋(sin\f(3,2)x－sin\f(x,2))2)＝eq\r(2＋2cos2x)＝2eq\r(cos2x).4分又∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴cosx＞0，∴|a＋b|＝2cos分(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ分①當0≤λ≤1時，當且僅當cosx＝λ時，f(x)取得最小值－1－2λ2，∴－1－2λ2＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).8分②當λ＞1時，當且僅當cosx＝1時，f(x)取得最小值1－4λ，∴1－4λ＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(5,8)(舍).10分③當λ＜0時，當且僅當cosx＝0時，f(x)取得最小值－1，無解.11分綜上所述，λ＝eq\f(1,2)為所求.12分18.解：(1)設箱子內(nèi)裝著n個寫有數(shù)字“08”的球.則eq\f(C\o\al(2,7－n),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7).2分解得n＝分∴該箱子內(nèi)裝有4個寫有數(shù)字“08”的球.(2)當游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)為1的概率是eq\f(3,7)；6分當游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)為2的概率是eq\f(4,7)×eq\f(3,6)＝eq\f(2,7)；8分當游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)為3的概率是eq\f(4,7)×eq\f(3,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,35)；10分∴當游戲結(jié)束時，總?cè)∏驍?shù)不多于3的概率是eq\f(31,35).12分19.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分∵∠ACB＝90°，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝6，∴CG＝eq\f(2,3)CN＝分而DC⊥平面ABC，∴三角形DCG是等腰直角三角形，即直線DG與平面ABC所成的角為45°.4分(2)作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.5分∵M是DG的中點，ME＝eq\f(1,2)GC＝2，BE＝eq\r(EC2＋BC2)＝eq\r((\f(1,2)DC)2＋62)＝2eq\r(10).6分過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2·2·6·cos60°＝32，∴cos∠EMB＝eq\f(ME2＋MB2－BE2,2ME·MB)＝－eq\f(\r(2),8).7分∴異面直線GC與BM所成的角為arccoseq\f(\r(2),8).8分(2)過B作直線BF⊥GC于F，BF⊥平面分∵△CNB是正三角形，故BF＝BCcos30°＝3eq\r(3)，過F作FS⊥MC于S，連BS，三角形DCG是等腰直角三角形.10分M為GD的中點，∴GD⊥CM，∴FS∥GD，F(xiàn)S＝FCsin45°＝eq\f(3\r(2),2).11分∴tan∠FSB＝eq\f(BF,FS)＝eq\r(6)，∴二面角B—MC—G的大小是arctaneq\r(6).12分20.解：(1)由函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,4)x4＋eq\f(2,3)x3＋ax2－2x－2在區(qū)間[－1,1]上是單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以x＝1取得極小值.1分∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分∴a＝eq\f(1,2).4分(2)由(1)知f(x)＝－eq\f(1,4)x4＋eq\f(2,3)x3＋eq\f(1,2)x2－2x－2，∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－分令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝分∴函數(shù)f(x)有極大值f(－1)＝－eq\f(5,12)，f(2)＝－eq\f(8,3)，極小值f(1)＝－eq\f(37,12).8分∵關于x的方程f(2x)＝m有三個不同的實數(shù)解，令2x＝t(t＞0)，即關于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數(shù)解.9分在t∈(0，＋∞)上y＝f(t)與y＝f(x)圖象一致.11分又f(0)＝－2，由數(shù)形結(jié)合可知，－eq\f(37,12)＜m＜－eq\f(8,3).12分21.解：(1)由An＝eq\f(3,2)(an－1)，An＋1＝eq\f(3,2)(an＋1－1).1分∴an＋1＝eq\f(3,2)(an＋1－an)，即eq\f(an＋1,an)＝3，2分且a1＝A1＝eq\f(3,2)(a1－1)，得a1＝分∴數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.4分通項公式為an＝分(2)不妨設數(shù)列{dn}中的第n項分別是數(shù)列{an}的第p項和數(shù)列{bn}的第q項，即3p＝4q＋分所以(4－1)p＝4q＋分∴Ceq\o\al(0,p)4p＋Ceq\o\al(1,p)4p－1(－1)1＋…＋Ceq\o\al(p－1,p)4·(－1)p－1＋Ceq\o\al(p,p)(－1)p＝4q＋分4q＝4k＋(－1)p－3，(k∈Z，p，q∈Z*).9分p為奇數(shù)，當p＝1時，q＝0(舍去).10分∴p＝2n＋1，所以dn＝a2n＋1＝32n＋分22.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，點P的軌跡S是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由c＝2,2a＝2，∴b2＝分故軌跡S的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1).4分(2)當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝分∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3≠0，,Δ＞0，,x1＋x2＝\f(4k2,k2－3)＞0，,x1·x2＝\f(4k2＋3,k2－3)＞0，))解得k2＞分∵eq\x\to(MP)·eq\x\to(MQ)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2＝eq\f(3－(4m＋5)k2,k2－3)＋分∵MP⊥MQ，∴eq\x\to(MP)·eq\x\to(MQ)＝0，故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對任意的k2＞3恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m2＝0，,m2－4m－5＝0，))解得m＝－分當m＝－1時，MP⊥MQ，當直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結(jié)論也成立.綜上，當m＝－1時，MP