集合的含義、表示及基本關(guān)系教案

第1節(jié)集合的含義、表示及基本關(guān)系教案教學(xué)目標了解集合中元素的三種特性，正確使用集合的符號和語言表達數(shù)學(xué)問題；分清集合中的兩種關(guān)系，即元素與集合關(guān)系、集合與集合的關(guān)系；了解空集的意義，在解題中強化空集的意識．重點難點利用集合語言表達數(shù)學(xué)問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學(xué)問題。知識梳理1.元素與集合的關(guān)系:用或表示；2.集合中元素具有確定性、無序性、互異性.3.集合的分類：①按元素個數(shù)分：有限集，無限集；②按元素特征分；數(shù)集，點集。如數(shù)集{y|y=x2},表示非負實數(shù)集，點集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對稱軸的拋物線；4.集合的表示法：①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法③字母表示法:常用數(shù)集的符號：自然數(shù)集N；正整數(shù)集；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q、實數(shù)集R;注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。5．集合與集合的關(guān)系:用，，=表示;A是B的子集記為AB；A是B的真子集記為AB。①任何一個集合是它本身的子集，記為；②空集是任何集合的子集，記為；空集是任何非空集合的真子集；③如果，同時，那么A=B；如果.④n個元素的子集有2n個；n個元素的真子集有2n－1個；n個元素的非空真子集有2n－2個.典例解析例1.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，則必有（）A．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ解：P表示函數(shù)y=x2的值域，Q表示拋物線y=x2上的點組成的點集，因此P∩Q=．∴應(yīng)選A．思路啟迪：有的同學(xué)一接觸此題馬上得到結(jié)論P=Q，這是由于他們僅僅看到兩集合中的y=x2,x∈R相同，而沒有注意到構(gòu)成兩個集合的元素是不同的，P集合是函數(shù)值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的點的集合，代表元素根本不是同一類事物．變式題：1、設(shè)集合A={(x,y)|x一y=0}，B={(x,y)|2x－3y+4=0}，則A∩B=．；解析：分析一般元素及其屬性，集合Ａ、B都是點集，兩條直線的交點即是，要注意與的區(qū)別。例2.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，則實數(shù)p的取值范圍是________．解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，應(yīng)有：①當(dāng)B≠時，即p＋1≤2p－1p≥2．由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴2≤p≤3.②當(dāng)B=時，即p＋1>2p－1p＜2．由①、②得：p≤3．點評：從以上解答應(yīng)看到：解決有關(guān)A∩B=、A∪B=，AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題．變式題：2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求實數(shù)m范圍．解：化簡條件得A={1，2}，A∩B=BBA．根據(jù)集合中元素個數(shù)集合B分類討論，B=，B={1}或{2}，B={1，2}．當(dāng)B=時，△=m2-8<0．∴．當(dāng)B={1}或{2}時，，m無解．當(dāng)B={1，2}時，∴m=3．綜上所述，m=3或．例3．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由解：∵；∴，即＝0，解得當(dāng)時，，為A中元素；當(dāng)時，當(dāng)時，∴這樣的實數(shù)x存在，是或。另法：∵∴，∴＝0且∴或。點評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。變式題：3、已知集合，,,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因為當(dāng)時，與題意不符，所以，。隨堂檢測1．設(shè)集合，，則下列關(guān)系中正確的是（）A．B．C．D．1．D提示：，2.已知集合，試求集合的所有子集.2解：由題意可知是的正約數(shù)，所以可以是；相應(yīng)的為，即.∴的所有子集為.3.設(shè)集合，，，則實數(shù)a=.解：此時只可能，易得或。當(dāng)時，符合題意。當(dāng)時，不符合題意，舍去。故。5、已知，，若BA，求實數(shù)的取值范圍解析：據(jù)題意可知集合A表示函數(shù)的定義域，易化簡得，由于BA，故當(dāng)時，即時易知符合題意；當(dāng)時，，要使BA，結(jié)合數(shù)軸知需或（經(jīng)驗證符合題意）或（經(jīng)驗證不合題意舍去），解得，故綜上所述可知滿足條件的的取值范圍是6．已知函數(shù)的定義域集合是A,函數(shù)的定義域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求實數(shù)的取值范圍．解（1）A＝B＝（2）由AB＝B得AB，因此所以,所以實數(shù)的取值范圍是思維總結(jié)1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等；2．強化對集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問題的關(guān)鍵是準確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡（或求解）；3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問題時應(yīng)根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來尋求方法。①區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}；②AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是－1,所有非空真子集的個數(shù)是④區(qū)分集合中元素的形式：如；；；；；；。⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；