概率論課件大數(shù)定理與中心極限定理

概率論課件大數(shù)定理與中心極限定理第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五大數(shù)定律在大量的隨機現(xiàn)象中，隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性.

大量的隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性.

概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律（lawoflargenumber)第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五4.6.1切比雪夫（Chebyshev)不等式切比雪夫不等式

證明設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為則或定理4.3設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ和方差D(X)=σ2,則對任意正數(shù)ε，有第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五證畢第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率。解設(shè)X表示每毫升血液中含白細胞個數(shù)，則則第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五而所以練一練設(shè)隨機變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計概率第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五

練習(xí)設(shè)隨機變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計概率解

第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五4.6.2大數(shù)定律定義4.8

若存在常數(shù),對任意正數(shù)有則稱隨機變量序列依概率收斂于記為性質(zhì)設(shè)若在點連續(xù)，則第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五定理4.4（切比雪夫定理的特殊情況）設(shè)隨機變量相互獨立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：作前n個隨機變量的算術(shù)平均則對任意正數(shù)有即序列依概率收斂于第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）

定理4.5

設(shè)是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)恒有

定理的應(yīng)用：可通過多次重復(fù)一個試驗，確定事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理

定理4.6

設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立，且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望及方差，則對于任意正數(shù)，恒有觀測量X在相同的條件下重復(fù)觀測n次，當(dāng)n充分大時，“觀測值的算術(shù)平均值接近于期望”是一大概率事件。即依概率收斂于即n充分大時，——辛欽大數(shù)定理第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五4.6.3中心極限定理（Centrallimittheoem)客觀背景：客觀實際中，許多隨機變量是由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。

概率論中有關(guān)論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)相互獨立，且則當(dāng)定理4.7（李雅普諾夫定理）時，隨機變量的分布函數(shù)為第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五定理4.8獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機變量的分布函數(shù)滿足如下極限式第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五定理的應(yīng)用：對于獨立的隨機變量序列，不管服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時，這些隨機變量之和近似地服從正態(tài)分布第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例1

一部件包括10部分，每部分的長度是一個隨機變量，相互獨立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長度為20±0.1mm時產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解設(shè)部件的總長度為X，每部分的長度為Xi（i=1,2,…,10)，則由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布即第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五續(xù)解則產(chǎn)品合格的概率為第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五定理4.9棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理(DeMoivre-Laplace)

定理設(shè)隨機變量服從二項分布，則對于任意區(qū)間，恒有二項分布的極限分布是正態(tài)分布即如果，則第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五一般地，如果，則第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五例2

現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？解設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則所求概率為第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五續(xù)例種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時相應(yīng)的良種數(shù)落在哪個范圍？解設(shè)良種數(shù)為X，則設(shè)良種所占比例與1/6的差值為，則依題意有第21頁，共23頁，2023年，2月20日，星期五查表得此時有即第22頁，共23頁，2023年，2月20日，星期