線性代數(shù)課件第十三講

§3.3度量的向量空 在解析幾何中對(duì)平面上的有向線段a與可做點(diǎn)乘 ab|a||b|cosa,b

abab的夾角，|a|

|分別為有向線

ab的長度。利用點(diǎn)

a|a

a

a,

|a||b取定平面直角坐標(biāo)系O;i,

}

a

i j

b

i a

在幾何中，|a|與a

意義。但對(duì)一般的n元實(shí)(a1,a2,,an),(b1,b2,,bna1b1a2b2當(dāng)作向量一、向量的定義V是實(shí)向量空間設(shè)

,

V(a1,a2,...,an),(1,2,...,bn 與的內(nèi)積(,)規(guī)定(,

...則

(b1,b2,,bn)T(,)TT性質(zhì)設(shè)V,及kR，均有（1）(,)(,

,

(

)(,（3）(k,)k(,（4）(,0定義3.3.2定義了內(nèi)積運(yùn)算的實(shí)向量空間Euclid空間，簡稱為歐氏空間。定義3.3.3設(shè)V

V 的長

||(,|(,注意

|

|0；

||1

稱為單位向量

|

是單位向（稱上述過為對(duì)單位化(4)(a1,a2,,ana2a2a2a212n,

定理3.3.1V是歐氏空間，則對(duì)任意V(,

||證

(2)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x(

x,

x)即(,)x

2(,)x(,)因x2[2(,)]24(,)(,)即

(,)(,

|

|2|

||定義3.3.4設(shè)VV的

這里0

|||定義3.3.5

(,

0，則稱向 與量正交例

A

RAT)

NA)

性質(zhì)3.3.2V是歐氏空間，與（1）三角不等式（2）勾股定理：若223.3.6設(shè)V是歐氏空間,1,2,,mVm個(gè)非零向量。若1,2,,m兩兩正交，則稱1,2,,m是正交向量組。由單位向例在歐氏空間例在歐氏空間

RnRn定理3.3.2設(shè)1,2,,m是歐氏空間V的一個(gè)正交向量組，則1,2,,m線性無關(guān)。證設(shè)1,2,,m

kmm

1(k11kmm,1)

k1(1,1)k2(2,1)km(m,1)因1,2,,m(2,1)0,

(m,1)

k1(1,1)(1,1)0

k10同理可證m線性無

0

設(shè)1,21則

2，

2

10(2,1)(2k11,1)(2,1)k1(1,又

(1,1)0k1

(1,1)已知1,2線性無關(guān)，故

2

。于是12111,2

2

1,2|1

|2定理3.3.3設(shè)V是歐氏空間,1,2,,VmVm

1,2,...,m，并1,2,...,iiSidt正交化方法已知1,2,3正交化1

(2,1) (1,1 3

(3,1)(1,1)

(3,2)(2,2 單位化1 1，2

2，3

3|1例已知R3

|2

|31

1.正交1

(2,1)

11

,1)

3 3

(3,1)(1,

(3,2)(2,2 11

(19

1,2)

(12

122.單位1

13666），1|1 13666），12

1|1

|2

1,23

|

|3

122則1,2,322定義3.3.7VV中由正V例歐氏空間

Rn

1,2n定理 設(shè)VRn是歐氏空間，且11例11

R3331量1 331

1,

),2

0)322322

R3解1.

1,2擴(kuò)充

R3

30,0,1

1,2,3線性無

R32令2

1,2,3

R3

(3,2) 1 1

,2

1(1333

1,133(1,1,2)33 31,23R3

1,2,3

R33

|

|

1

1,2666則1,2,3666

R3定義3.3.8設(shè)ARnn

ATA

IA

A1

設(shè)Aaij]nna11

a1n a21

a22

a2n

an1

an2

ann為A由ATAAAT T 1 TAA

2

nT n

T

0 n

T2

Tn

022 22 T

1 niTi

ii又iRn（歐氏空間

a1jT

a nj

a2ia2

(i

j

(i,j)

ii即1,2,,n是Rn定理3.3.5

ARnn，則A的充分必要條件是A（行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正例設(shè)B 2T，其

21 3

33證明（法一131

323 BI3∵B∴B（法二

BT

2TIT(2TI2(TI2T(∴BTB

(II

2T)22I(2T)(2T)2I4T4(T)2(T

(T)(T23

21 2 1 2