數(shù)學(xué)曹老師寒假?gòu)?fù)習(xí)資料

金榜學(xué)校高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

曹老師

第一部分函數(shù)專題

專題一函數(shù)及其表示法

【知識(shí)要點(diǎn)】

映射

1.映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系了,對(duì)于集合A中任意一個(gè)

元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從集合A到集合B的

映射。

2.一一映射：如果在某一個(gè)映射下對(duì)于集合A中不同的元素在集合B中都有不同的

象，而且B總的每一個(gè)元素在集合A中都有原象，那么這個(gè)映射叫做從集合A到集合B

的一個(gè)---映射。

二.函數(shù)

1.定義：非空數(shù)集A到B上的一個(gè)映射叫做A到B上的一個(gè)函數(shù)。y是x的函數(shù)記

作：y=/(x),其中x叫自變量。

【說(shuō)明】對(duì)符號(hào)/(x)的理解：

(1)/(x)只是一個(gè)符號(hào)，沒(méi)有實(shí)際的集合意義和物理意義。可以看作是在對(duì)應(yīng)法

則/下自變量為x的函數(shù)；

(2)對(duì)于給定的一個(gè)函數(shù)/(x),/(a)表示，即當(dāng)自變量等于。時(shí)的函數(shù)

值；

(3)在函數(shù)中自變量取值的集合A叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的取值集合C叫做

函數(shù)的值域(CqB)，函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則叫做函數(shù)的三要素；

(4)兩個(gè)函數(shù)相同的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同。

2.函數(shù)的表示法：列表法、解析法、圖象法。

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.設(shè)A={x|0Wx<2},6={y|l〈y<2},下圖中表示從A到B的函數(shù)的是()

/(x+2)(x<2)

2.已知函數(shù)/0)=<則/(—3)的值為(

2T(xN2)

A.2B.8C-14

3.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合，f:xTy=土五,A中的元素n映射到B中的元素

T+n,則在映射/下，20的原象是()

A.6B.3C.4D.5

4.下列對(duì)應(yīng)中是集合A到B的映射的是()

A.A-Q.B-{x|xe2,Jlx>0},/:x—>|x|

B.A=B=N+,f:x^\x-2\

C.A={x&N\x>2},B={yeZ|y>0},/:x—>y=x2-2x+1

D.A-{x|x>0},B={>jy&R},f:x—>y=±Vx

【典例示范】

考點(diǎn)一函數(shù)的解析式

例1.(1)已知/(九)=〈'('"°),g(x)=」(x>0)

則當(dāng)x>0時(shí)，求〃g(x)］。

x(x<0)[-x(x<0)

(2)已知+，■，求/(幻。

XX

1-x1-X2

(3)己知求人幻。

(4)設(shè)/(x)滿足關(guān)系式/(x)+2/d)=3x,求/(x)。

X

(5)已知一次函數(shù)/(x)滿足/(x—2)=3x—5,求/(x)。

考點(diǎn)二函數(shù)定義域問(wèn)題

例2.求下列函數(shù)的定義域:

(1)lg(2--^—+(x+l)°;

J12+X一r

(2)y=lg(ar-k2x)(a>0).

例3.⑴設(shè)函數(shù)〃x)=lng,則函數(shù)g(x)=〃泉+/，)的定義域?yàn)?/p>

(2)〃*-1)的定義域?yàn)椋?2,3),則/(2+&的定義域?yàn)?/p>

例4.若函數(shù)/3)=(a2-l)x2+(a-l)x+—的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

a+\

考點(diǎn)三函數(shù)的值域

例5.求下列函數(shù)的值域:

2x+5

(1)y~—

X+1

2x~—8x+3

(2))x2-4x+5

(3)y=x-J1-2x；

X"+X+1

(z4)xy=--------

x

例6.已知函數(shù)y=log(ax2+2x+l)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【互動(dòng)演練】

1.(1)已知+=+求/(X)。

XXX

(2)若浜?！?)+紈1-x)=2x,求?辦

2.已知函數(shù)/(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y都有/(x+y)—/(田=(犬+2)，+1口成立，且/(1)=0,

求/(x)。

3.已知“X)為二次函數(shù)，且f(O)=OJ(x+l)=/(x)+x+l,求/(x)。

4.求下列函數(shù)的定義域：

(1)產(chǎn)J%(3x_2)；

⑵/W=-72=+lg(3x+l);

\—X

(3)/*)=J1-2L

5.已知/(x)的定義域?yàn)椋?2,2］,則/(f-1)的定義域?yàn)?_；已知

/(X2+1)的定義域?yàn)椋?百,石］,則/(x)的定義域?yàn)?

6.已知函數(shù)了=Jfc?一6心+9的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

7.求下列函數(shù)的值域:

1

(1)/?=

1+x2

x2-1

(2)=~2~7

X+1

8.已知函數(shù)/(x)二,一,(。>0,x>0)。

ax

(1)若/(x)在［m,n］上值域?yàn)榍髮?shí)數(shù)。的取值范圍，并求出相應(yīng)的m,n的值。

(2)若不等式/(x)42x在(0,+<)。)上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍。

專題二函數(shù)的奇偶性

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.奇偶性的定義

函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤?,且對(duì)于任意的xe￡>,都有-xe。。

(1)若總有f(-x)=-/(x)成立，則稱y=/(x)為奇函數(shù)；

(2)若總有〃-x)=〃x)成立,則稱y=/(x)為偶函數(shù)。

二.奇偶性的性質(zhì)

/(_月=-/*)o奇函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

f(-x)=/(x)Q偶函數(shù)一函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

三.奇偶性的判斷方法

判斷定義域-定義域不關(guān)于。對(duì)稱=>函數(shù)沒(méi)有奇偶性

1.定義法:

［定義域關(guān)于0對(duì)稱->求八-幻并與/(x)比較

2.圖象法：

奇函數(shù)。函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

偶函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

3.性質(zhì)法：

奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇*奇=奇；偶*偶=偶；奇*偶=奇、

四.重點(diǎn)結(jié)論

1.奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0。

2./(x)=c(c為常數(shù))

I.當(dāng)cwO時(shí)，"X)為偶函數(shù)；

II.當(dāng)c=()時(shí)，/a)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

3.f(|x|)為偶函數(shù)。

4.幕函數(shù))，=/,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)。

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.函數(shù)/。)=工-x的圖象關(guān)于()

X

A.y軸對(duì)稱B.直線y=-x對(duì)稱

C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱

2.已知函數(shù)/(x)=+ax'+bx-8,且/(一2)=10,那么/(2)=.

3.奇函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)()

A.(aj(-a))B.(-a,/(a))C.(-a,-/(a))D.(-a,-/(-a))

4.設(shè)〃x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A./(JC)/(-X)是奇函數(shù)B./(x)|/(—x)|是奇函數(shù)

C.是偶函數(shù)D./(x)+/(-x)是偶函數(shù)

【典例示范】

考點(diǎn)一奇偶性的判斷

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

,1

(I)/(x)=lgx+lg—;(2)/(x)=(x-l)

X

2

X+X(x<0)

⑶〃x)=|母一『)；⑷/(%)=

2,

|x~-2|—2-X+X(x>0)

考點(diǎn)二奇偶性的應(yīng)用

例2.已知f(xXxeR)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)/(x)=2*+l,求當(dāng)x40時(shí)函數(shù)的解析式。

例3.已知f(x)(xeR)是奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=/(x),又當(dāng)xe(0,1)時(shí)，

f(x)=2x-l,求"log?6)的值。

例4.定義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)于任意的x,yeR,有/,(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

且/(0)/0。

(1)求證：/(0)=1；

(2)判斷y=f(x)的奇偶性；

(3)若存在正常數(shù)c,使f=0o求證：對(duì)于任意的XGR,有了*+c)=-/(X)成

立;

【互動(dòng)演練】

1./(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意的X都有/(x+3)=〃x),且"2)=0,則

方程〃x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

2.已知定義在R上的奇函數(shù)/*)滿足對(duì)于任意的x都有/(x+2)=-/(x),則/(6)的

值

為()

A.-lB.OC.1D.2

3.己知函數(shù)/(X)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有切"(x+l)=

(l+x)f(x),則〃/(卞)=.

4.設(shè)函數(shù)/(x)(xeR)是奇函數(shù)，/(1)=1,/(x+2)=/(x)+/(2),則八5)等手()

A.0B.1C.-D.5

2

5./*)是奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=x(2—x),則x<0時(shí)，f(x)的解析式為_______.

6.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱。

(1)求〃0)的值;

(2)證明/(x+4)=/(x)；

專題三函數(shù)的單調(diào)性

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.單調(diào)性的定義

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間3,句是I的一個(gè)子集，匹，彳2是口，回上任

意兩個(gè)值，且看<》2，即Ar=X2-X］>0。

(1)若總有與=/(々)—/(為)>0成立，則稱y=/(x)在區(qū)間口,切為增函數(shù)；

(2)若總有約=/。2)-〃尤1)<0成立，則稱y=/(x)在區(qū)間力］為減函數(shù)。

【說(shuō)明】對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解：

(1)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間&們?yōu)樵龊瘮?shù)或減函數(shù)，則稱y=/(x)在區(qū)間口,力

具有單調(diào)性，區(qū)間［a,b］為y=/(x)的單調(diào)遞增或遞減區(qū)間；

(2)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間的上局部性質(zhì)，與函數(shù)在某一點(diǎn)處的函數(shù)值

無(wú)關(guān)，所以單調(diào)性不能取特殊值進(jìn)行判斷,且函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能取并集。

二.單調(diào)性的判斷方法

1.定義法：任取一作差一化簡(jiǎn)f定號(hào)7結(jié)論

2.圖象法：圖象自左向右上升o增函數(shù)；圖象自左向右下降o減函數(shù)。

3.性質(zhì)法：

①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；

減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)：減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)。

②y=/(X)與y=7-'(X)的單調(diào)性相同。

③奇函數(shù)在(-8,0)和(0,+00)上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)性相

反.

④復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)]的單調(diào)性：同增異減。

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.函數(shù)/(x)=W和g(x)=x(2-x)的單調(diào)區(qū)間依次為()

A.B.(_8,0],[1,+8)C.[0,+8),(-8,1]D.[0,+8),[l,+a>)

2.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

3

A.y=log05xB.y=(；)*C.y=xD.y=-x

3.如果函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,瓦)上為增函數(shù)，對(duì)于任意的X],82e3》2)，下列結(jié)論

中不正確的是()

A."上)一3<0B.(%,-x2)[/(%,)-/(x2)]>0

X]-x2

C.f(a)<f(XlXf(x2)<f(b)I).—7T^>°

4.函數(shù)y=log](x2-3x-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

3

【典例示范】

考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷

例1.判斷函數(shù)/(幻=一一的單調(diào)區(qū)間，并證明其單調(diào)性。

X+1

考點(diǎn)二單調(diào)性的應(yīng)用

例2.設(shè)函數(shù)/(x)=----^-r(xe7?),[3RJM=[a,b](a<b),^N={yly=f(x),x&M},

1+W

則使M=N成立的實(shí)數(shù)對(duì)(4/)有()

A.0對(duì)B.1對(duì)C.2對(duì)D.無(wú)數(shù)對(duì)

例3.已知y=log”(2-ax)在[0,1]上為減函數(shù)，則a的取值范圍是.

考點(diǎn)三奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用

例4.已知定義在R上的函數(shù)/(x)對(duì)任意是實(shí)數(shù)x,y都滿足/(x+y)=/(x)+f(y),且

當(dāng)x>0時(shí)/(x)>0?

(1)求/(0)；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；

(3)解關(guān)于。的不等式/(a-4)+f(2a+1)<0。

【互動(dòng)演練】

1.設(shè)y=/(設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且“X)在(0,+8)上為增函數(shù),則〃-2),/(-乃)，

”3)的大小關(guān)系為()

A./(一乃)>/(3)>/(-2)B./(-/r)>/(-2)>/(3)

C./(-2)>/(3)>/(-^)D./(3)>/(—2)>/(—萬(wàn))

2.函數(shù)在區(qū)間(-2,3)上為增函數(shù)，則y=/(x+5)的單調(diào)區(qū)間為()

A.(3,8)B.(-7,-2)C.(-2,3)D.(0,5)

3.若函數(shù)/*)=5-2)/+(°-1口+3為偶函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.

114-r

4.已知函數(shù)/(x)=±-log,3,求〃制的定義域，并討論了(x)的奇偶性，單調(diào)性。

X1-X

5.已知函數(shù)/(%)對(duì)任意是實(shí)數(shù)x,yeR都滿足f(x+y)=/(x)+且當(dāng)x>0時(shí)

(1)求證/(x)在R上為增函數(shù)；

(2)若"4)=5,解不等式/(3/-〃?一2)<3。

專題四二次函數(shù)

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.二次函數(shù)的解析式的三種形式

1.一般式：f(x)=ax2+bx+c(aw0)

2.頂點(diǎn)式：fM=a(x-h)2+攵3=0),(力,幻為定點(diǎn)

3.零點(diǎn)式：/(x)=。0-玉)(%-入2)(。*0)，其中Xj,x2分別為方程/(x)=0的兩個(gè)根

二.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)/(x)=QX?+bx+c(〃H0)的圖象特征：

1.開口方向：〃>0時(shí)，開口向上；〃<0時(shí)開口向下。

2.頂點(diǎn)坐標(biāo)：(__L4―%

2a4a

3.對(duì)稱軸方程：x=~—

2a

4.與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

⑴與y軸交點(diǎn)(0,c)

⑵與x軸交點(diǎn):設(shè)A=/—4ac

I.當(dāng)△>0時(shí)，與x軸交點(diǎn)為(-/，士正-4竺0

2a

II.當(dāng)A=0時(shí)，與x軸交點(diǎn)為(—2。

2a

in.當(dāng)A<o時(shí)，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

5.單調(diào)性:

I.當(dāng)〃>0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)為減函數(shù)，右側(cè)為增函數(shù)。

H.當(dāng)。<0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)為增函數(shù)，右側(cè)為減函數(shù)。

三.設(shè)事,工2是實(shí)系數(shù)一元二次方程。/+bx+c=0(“>0)的兩個(gè)根，下面列出幾種常見(jiàn)

根的分布情況

根的分布圖象條件

A>0

xx<x2<k

b

-----<k

2a

A>0

k<X]<x2f(k)>0

b.

----->k

2a

X]<k<x2/W<0

A>0

/(占)〉0

/(^2)>0

/a,)>o

，/心)<0

J(43)>0

門《）"（的）<0或

A=0

k'T<"

這類為題一般從四個(gè)方面來(lái)分析：

1.開口方向；n.對(duì)稱軸位置；m.判別式；iv.端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)。

四.一元二次不等式的解法

設(shè)修,了2是實(shí)系數(shù)一元二次方程o?+6x+c=0（a>0）的兩個(gè)根

2

1.ax+bx+c>0(a>0)<=>xe(-oo,七)U(x2,+oo)

2.ax2+bx+c<0(。>0)=xe(X],々)

【互動(dòng)演練】

1.若函數(shù)/*）=0-1）/+（〃?2-1h+1是偶函數(shù)，則在區(qū)間（-00,0］上“外是（）

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.常數(shù)函數(shù)D.增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)

2.已知函數(shù)/(x)=ax?+2ax+4(a>0),若》］<》2，*|+82=。，則()

A./(m)</(々)B./(為)=/(々)

C./(%1)>/(x2)D.〃X［)與〃*2)的大小關(guān)系不確定

3.已知二次函數(shù)/(x)滿足/(3+x)=f(3-x),且/(x)=0有兩個(gè)實(shí)根玉,》2，則內(nèi)+%2

等于()

A.0B.3C.6D.不確定

4.關(guān)于x的不等式(。2-1)--3-1)尤-1<0恒成立，則。的取值范圍是()

33

A.(^?,--)U(1,+°°)B.(—―,1］

3

C.［一,1］或a=lD.以上都不對(duì)

【典例示范】

考點(diǎn)一二次函數(shù)解析式問(wèn)題

例1.設(shè)二次函數(shù)/(幻滿足/(x-2)=/(-x-2),且圖象在y軸上的截距為1,在x軸

截得的線段長(zhǎng)為20,求/(x)的解析式

考點(diǎn)二二次函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

vyi3

例2.已知/(x)=￡+2祖X+〃/一5一5，當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)，/(%)>0,

求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

例3.函數(shù)/(x)=x2-4x—4在閉區(qū)間[/J+1](feR)上的最小值記為g?),

(1)試寫出g(f)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)作出g(f)的圖像并求出g(r)的最小值

考點(diǎn)三二次方程根的分布問(wèn)題

例4.(1)方程/一2"+4=0的兩根均大于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

(2)方程--2.》+4=0的一根大于1,一根小于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍

(3)方程2ax+4=0的根在(0,1)內(nèi)，另一根在(6,8),求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【互動(dòng)演練】

1.關(guān)于x的方程2H2—2x-3k-2=0的一個(gè)根小于1,另一個(gè)根大于1,則實(shí)數(shù)上的取

值范圍是.

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2ax+1

(1)若xeR時(shí)恒有/(x)>0,則a的取值范圍是.

(2)若/(x)在［-1,+8)上為增函數(shù)，則a的取值范圍是.

3.已知二次函數(shù)/(x)=a/+bx滿足條件〃-x+5)=/(x-3),且方程/(x)=x有等

根。

(1)求〃x)的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)機(jī),〃(m<〃)，使〃x)的定義域和值域分別為［優(yōu),〃］和［3。3〃］?如

果存在，求出機(jī),”的值；如果不存在，說(shuō)明理由。

4.(1)求函數(shù)/(x)=x2+ax+3-a在［-2,2］上的最小值;

(2)求函數(shù)/(》)=。-1)2-3在上1+1］?€/?)上的最小值。

5.iSf(x)=3ax2+2bx+c,若a+6+c=0,/(O)-/(I)>0,求證:

(1)方程/(x)=O有實(shí)根；

b

(2)-2<-<-l；

a

(3)設(shè)片,彳2是方程〃x)=O的兩個(gè)實(shí)根，則#4歸-》2|<1。

專題五指數(shù)與對(duì)數(shù)

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.指數(shù)

1.定義：塞。"，其中。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)。

2.指數(shù)的運(yùn)算：

aman=；—=；(am)n=；

a"

(ab)"=；(—)n=；=

(g)"=o

二.對(duì)數(shù)

1.定義：a"=N=b=log〃N(a>0且axl),其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)。

2對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

(1)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)；

(2)1的對(duì)數(shù)等于0；

(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1；

(4)常用對(duì)數(shù)：k)g|oN=lgN：自然對(duì)數(shù)：log,N=lnN(e=2.71828)。

3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算：

M

log?(MN)=;loga—=;

N

logaM〃=;哨”M=

對(duì)數(shù)恒等式：a'°-N=；換底公式：log/=

【互動(dòng)演練】

1.下列運(yùn)算結(jié)果中錯(cuò)誤的是()

A.a2-a3=a5B.(a2)3=a6C.(a?)?=aD.(-a2)3=-(a3)2

2.若機(jī)<0,〃<0,則log”(mn)等于)

A.無(wú)意義B.logwin+log“〃

C.10ga(—〃7)+10g“(T7)D.10g〃％10g〃〃

3.(log43+log83)(log32+log92)的值是()

5

C.D

A-7B-7121g2-l

4,設(shè)a,4cwR+,且3"=#=6"那么()

A.ll1B.221122

=+一+一C.一=—I-D.

cabcabcabcab

5.方程4、+2、-2=0的解為

6.方程log?(x-1)=2-log2(x+1)的解為

7.求下列各式的值：

(1)(-)2x-―'1—；(2)(0.0081)^-[3x(-)0]-'

4(0.1)”(九4'

2log530854+IO￡232

(3)5-12''+log3^+2(4)(lg2)+lg2xlg50+lg25

33

117o

8.若X2+》2=3,求X+X3的值。

X2+x-2-2

9.(1)已知3"=5”,S.-+-=2,求a,b的值。

ab

(2)已知a=log23,Z?=logs7,求k)g42560

10.(1)若3〃+愴6=2愴3-2。),求log4—的值。

b

（2）若只有一個(gè)x值滿足方程（l-lg2。）/+（i—iga）x+2=0,求實(shí)數(shù)。。

專題六指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

注：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有形同的單調(diào)性，圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

【基礎(chǔ)自測(cè)】

xxx

1.如圖曲線6,。2，。3，°4分別是函數(shù)y=a\y=b9y=c,y=d的圖象，則a,b,c,d與

1的大小關(guān)系是（）

A.a<b<l<c<d

B.a<b<\<d<c

C.b<a<\<c<d

D.b<a<\<d<c

2.圖中曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，已知底數(shù)。取四個(gè)值：，則相應(yīng)曲線

3510

CPC2,C3,C4的底數(shù)一次是（）

A.

B.7mq

173--

C.

3，510

D.

3'10'5

3.函數(shù)/（幻=。1+］08“》（0>0且。31）在［1,2］上的最大值與最大值只和為。，則。

的值為（）

A.4B.-C.2D.

42

4.若定義在區(qū)間（-1,0）內(nèi)函數(shù)〃x）=log2“（x+l）滿足/（x）>0,則a的取值

范圍是（）

A.(0,fB.(0,1jC.(1,+a))

D.(0,+oo)

【典例示范】

考點(diǎn)一比較實(shí)數(shù)的大小問(wèn)題

例1.(1)0<a<b<\,則下列不等式中正確的是()

A.au<bbB.ha<bbC.aa<baD.ba<aa

(2)已知〃=log23.6,/?=log43.2,c=Iog43.6,貝lj()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題

x-1

例2.已知/(x)=-a----(a>0且。w1)o

ax+1

(1)求/(x)的定義域、值域；

(2)討論/(x)的單調(diào)性。

1+2*+4%.

例3.設(shè)/(x)=1g3，且“eH,若當(dāng)xw(-85時(shí)，/")有意義，求。的取值

范圍。

【互動(dòng)演練】

1.設(shè)a>0且awO,函數(shù)/(x)=k>ga(x2-2x+3)有最小值,則不等式log”(x-1)>0的

解集為.

2.若直線y=2〃與函數(shù))，=卜”-“(。>0且awl)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值

范圍是.

3.(1)已知函數(shù))；=lg(mx2-mx+2)的定義域是R,求加的取值范圍；

(2)已知函數(shù)y=lg(m/-mx+2)的值域?yàn)镽,求加的取值范圍。

Xx

4.已知2<256JLlog,X*g，求/（）=log2■log/-y-的值域。

5.已知/(x)=/J]+g)。

⑴判斷f(x)的奇偶性;

(2)求證：當(dāng)XW0時(shí)，/(x)>0?

6.設(shè)函數(shù)/(乃=2向收1|,求使“幻22行的x的取值范圍。

專題七函數(shù)的圖象及變換

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.利用描點(diǎn)法作圖的步驟

1.確定函數(shù)的定義域；

2.化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；

3.討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性)；

4.畫出函數(shù)的圖象。

二.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖

1.平移變換：左加右減，上加下減

⑴y=f(x+a)

I.當(dāng)。＞0時(shí)，將y=/(外向左平移。個(gè)單位；

II.當(dāng)。＜0時(shí)，將y=/(x)向右平移同個(gè)單位。

(2)y=/(x)+h

I.當(dāng)。>0時(shí)，將y=/(外向上平移。個(gè)單位；

II.當(dāng)6<0時(shí)，將y=/(x)向下平移網(wǎng)個(gè)單位。

2.對(duì)稱變換：

(1)y=/(x)與y=—/(%)關(guān)于工軸對(duì)稱；

(2)y=/(x)與y=/(r)關(guān)于y軸對(duì)稱;

(3)y=/(x)與y=-/(-x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(4)y=/(x)與y=/7(x)關(guān)于y=x對(duì)稱；

(5)y-/(x)與,=_/_|(彳)關(guān)于,=_1對(duì)稱；

(6)y=f(x)-^y=/(2〃-外關(guān)于工=。對(duì)稱；

(7))，=/(幻保留)'，軸右側(cè)部分，并把這部分沿y軸翻折得y=f(k|)；

(8)y=/(x)保留x軸上方部分，再把x軸下方部分沿x軸翻折得)，=|/(刈。

三.函數(shù)的對(duì)稱性

1.若函數(shù)y=/(x)滿足/3+幻=/(〃-1)，則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱；

2.若函數(shù)y=/(x)滿足/(幻=/(2。-幻，則函數(shù)圖象關(guān)于工=。對(duì)稱。

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.函數(shù)y=l——L的圖象是()

ABCD

2.已知函數(shù)y=log2%的反函數(shù)為y=/7(x),則函數(shù)y=/々(l-x)的圖象是()

ABCD

3.若函數(shù)y=/T(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0),則y=/(九+5)的圖象過(guò)點(diǎn)()

A.(5,-2)B.(-2,-5)C.(-5,-2)D.(2,-5)

2~x-1(x<0)

4.設(shè)函數(shù)/(元)=1，若則%的取值范圍是()

x2(x>0)

A.(―1,1)B.(—l,—oo)C.(—co,—2)U(0,+co)D.(—co,—1)(J(1,+co)

【典例示范】

考點(diǎn)一判斷函數(shù)圖象問(wèn)題

例1.函數(shù)/(x)=2'-2,則函數(shù)y=|/(x)|的圖象可能是()

考點(diǎn)二利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)性質(zhì)

例2.作函數(shù)y=|og2k-4的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【互動(dòng)演練】

1.用語(yǔ)言敘述：

（1）怎樣由y=（g），的圖象得到y(tǒng)=log2X的圖象？

（2）已知函數(shù)y=/（x-l）的圖象，通過(guò)怎樣的變換得到y(tǒng)=/（-》+2）的圖象?

2.分別畫出下列函數(shù)的圖象:

(1)y-lg|x+1|(2)^=|x2+2x1-3(3)y-x2+2|x|-3

3.設(shè)奇函數(shù)〃x）的定義域?yàn)閇-5,5],當(dāng)xe[0,5]時(shí)

函數(shù)圖象如圖所示，則不等式/（尤）＜0的解集為

4.設(shè)函數(shù)/(x)=卜2-4x-5|0

(1)在區(qū)間02,6］上畫出函數(shù)/(x)的圖象；

(2)設(shè)集合4={力。)25},3=(7,—22。4］山6,+8),試判斷集合A與8之間的

關(guān)系，并給出證明；

(3)當(dāng)k>2時(shí)，求證：在區(qū)間［T,5］上，y=fcc+3k的圖象位于函數(shù)〃無(wú))圖象的

上方。

5.設(shè)函數(shù)/(x)=x+，的圖象為G，G關(guān)于點(diǎn)A(2，1)的對(duì)稱圖象為。2,02對(duì)應(yīng)的函

X

數(shù)為g(x)。

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)若直線y=b與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求〃的值，并求出交點(diǎn)的坐標(biāo)；

Q

（3）解不等式log3g（X）＜log3］。

第二部分立體幾何初步專題

專題一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

【知識(shí)要點(diǎn)】

一.多面體的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱的上下底面平行，側(cè)棱都平行且長(zhǎng)度相等，上底面和下底面是全等的多邊形。

2.棱錐的地面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。

3.棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形相似。

二.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

1.圓柱可以由矩形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)得到。

2.圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)得到。

3.圓臺(tái)可以由直角梯形繞其直角腰所在直線或等腰梯形繞上下底中線連線旋轉(zhuǎn)得到,

也可以由平行于圓錐地面的平面截圓錐得到0

4.球可以由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)得到。

三.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的

影子與平面圖形留下點(diǎn)形狀和大小是完全相同的，三視圖包括：主視圖、左視圖、俯視

圖。

在繪制三視圖時(shí)，分界線和課件輪廓線都用實(shí)現(xiàn)畫出，被遮擋部分的輪廓線用虛線。

三視圖與空間幾何體中的幾何量的關(guān)系：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。

四.空間幾何體的直觀圖

直觀圖的斜二測(cè)畫法（略）

【基礎(chǔ)自測(cè)】

1.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角為.

2.一個(gè)幾何體的主視圖為一個(gè)三角形,則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的.

①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱

3.一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)合體的主視圖、左視圖如圖所示，

則其俯視圖不可能為：①長(zhǎng)方形：②正方形;

③圓；④橢圓。其中正確的是.

4.三視圖如下圖的幾何體是（）

A.三棱錐

B.四棱錐

C.四棱臺(tái)左視圖

D.三棱臺(tái)

【典例示范】

題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)

例1.(1)設(shè)有以下四個(gè)命題:

①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；

②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；

③直四棱柱是平行六面體；

④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)。

其中正確的命題是.

(2)以下命題：

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓錐；

②一直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圓臺(tái)；

③圓柱、圓臺(tái)、圓錐的底面都是圓；

④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)。

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

題型二幾何體的三視圖

例2.如圖4ABC為正三角形，AAI〃BBI〃C3,CC」平面ABC,

3

且3AA尸二BB產(chǎn)CG=AB.

2

畫出該幾何體的三視圖。C

AB

例3.將正三棱柱（圖1）截去三個(gè)角得到如圖幾何體（圖2）,則該幾何體的左視圖為（

題型三幾何體的直觀圖

例4.已知AABC的直觀圖ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求原三角形ABC的面積。

題型四截面中的計(jì)算問(wèn)題

例5.棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

若過(guò)該球的球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角

形的面積。

【互動(dòng)演練】

1.如圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）

2.下列命題中，成立的是（）

A.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐

B.四面體一定是三棱錐

C.棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐

D.底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)棱相等的棱錐一定是正棱錐

3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

①正方體②圓錐③三桂臺(tái)④正四棱錐

4.棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E、尸分別是

A4、0a的中點(diǎn)，則直線EF被球。截得的線段長(zhǎng)為（）

歷歷

A.—B.1C.1+—D.V2

22

5.用任一個(gè)平面去截正方體，下列平面圖形可能是截面的是.

①正方形；②長(zhǎng)方形；③等邊三角形；④直角三角形；⑤菱形；⑥六邊形.

6.下列命題中:

①用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺(tái)；

②棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后一定相交于一點(diǎn)；

③圓臺(tái)可以看做直角梯形以其垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成

的曲面圍成的幾何體；

④半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球.

12T

其中所有正確命題的序號(hào)是.左視圖

7.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖.若它的體積是36，則

a-.

8.一個(gè)正方體內(nèi)接于高為40cm,底面半徑為30cm的圓錐中，求正方體的棱長(zhǎng).

9.正四棱錐的高為側(cè)棱長(zhǎng)為近，求側(cè)面上斜高（棱錐側(cè)面三角形的高）為多少？

10.已知正三棱錐V—ABC的主視圖、左視圖和俯視圖如圖所示.

(1)畫出該三棱錐的直觀圖;

(2)求出左視圖的面積.

俯視圖B

專題二空間幾何體的表面積和體積

【知識(shí)要點(diǎn)】

旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖

圓柱：圓錐：圓臺(tái):

二.幾何體的表面積和體積公式

圓柱：V=；S=

圓臺(tái):v=；s=.

棱柱:v=；s=

棱臺(tái):v=；s=

棱錐:v=；s=

球：v=；s=

【基礎(chǔ)自測(cè)】

i.母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于3萬(wàn)，則該圓錐的體積為（）

3

2.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為“，則球的體積為（）

A8口8收（…悔n32

A.-7iB.------7iC.8。27rD.—n

333

3.正方體的棱長(zhǎng)為行，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（）

4.一個(gè)棱錐的三視圖如下圖，則該棱錐的全面積為（

A.48+1272B.48+2472