2023高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 其次節(jié) 點直線面的位置關(guān)

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面面垂直的性質(zhì)

二、重難點提醒

重點：平面和平面垂直的性質(zhì)定理及二面角的平面角問題。難點：平面和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用及二面角的平面角問題

考點一：平面與平面垂直的性質(zhì)

簡記為：面面垂直?線面垂直2.平面與平面垂直的其他性質(zhì)

（1）假使兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于其次個平面的直線在第一個平面內(nèi)。其圖形語言和符號語言如下：

,,,,lAAaaaαβαβαβα⊥=∈∈⊥??

（2）假使兩個平面垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面，

即,αβγ⊥∥αγβ?⊥

（3）假使兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，即

,llαβλαλβλ=?

?⊥?⊥⊥?

（4）三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即

2,,,,,lmlmmnnlnαβαββγβγγαγα⊥=??⊥=?⊥⊥⊥??⊥=?

考點二：二面角的求法

作二面角的一般方法

（1）定義法：在二面角的棱上找一個特別點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，如圖①，則∠AOB為二面角α－l－β的平面角。

由定義法作出二面角的平面角，若已知二面角的兩個面是特別的三角形（如以棱為公共邊的兩個等腰三角形），這時可以選取棱上的特別點，如公共底邊的中點或公共底邊上高的垂足，從特別點出發(fā)根據(jù)定義作出二面角的平面角。

（2）垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角，如圖②，∠AOB為二面角α－l－β的平面角。

（3）線面垂直法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的A點向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補角，如圖③，∠AOB為二面角α－l－β的平面角，這種方法是求二面角大小最常用的方法。

（4）射影面積法

設(shè)二面角ABCA--為θ，過A作AAα⊥于點A，過A作ADBC⊥于點D，連接AD，則ADA

∠是二面角ABCA--的平面角，于是12cos12

ABCABCADBCSADADSADBCθ???===?。

對于特別圖形，不易作出二面角的平面角時，可用上述公式計算。

求二面角同求異面直線所成的角及斜線與平面所成的角一樣，步驟如下：

簡稱為“一作二證三算四答〞。

例題1（平面與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何證明題中的應(yīng)用）

（洛陽）如圖，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC。

思路分析：

答案：證明：過A作AE⊥PC于點E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC，

又BC?平面PBC，故AE⊥BC，

又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，故PA⊥BC，

∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAC，

又AC?平面PAC，故BC⊥AC。

技巧點撥：

1.在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題。

2.利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：（1）兩個平面垂直；（2）直線必需在其中一個平面內(nèi)；（3）直線必需垂直于它們的交線。

例題2（求二面角）如圖，四棱錐P－ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝2。

3

4

（1）求證：PD⊥面ABCD；

（2）求二面角A－PB－D的大小。

思路分析：（1）利用線面垂直的判定定理；（2）利用線面垂直法找出二面角的平面角，在三角形中計算角的大小。

答案：（1）證明：∵PD＝DC＝1，PC＝2，

∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，

又∵PD⊥BC，BC∩CD＝C，

∴PD⊥面ABCD；

（2）解：連接BD，設(shè)BD交AC于點O，過O作OE⊥PB于點E，連接AE，

∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD，

又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB，

∴AO⊥PB，

又∵OE⊥PB，OE∩AO＝O，

∴PB⊥平面AEO，從而PB⊥EO，

故∠AEO就是二面角A－PB－D的平面角，

∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD，

∴在Rt△PDB中，PB

=，又∵OEOB

PDPB=，∴OE

∴tan∠AEO＝ADOE

=AEO＝60，

故二面角A－PB－D的大小為60。

技巧點撥：

用線面垂直法作出二面角是最常用的找平面角的方法，關(guān)鍵是找到線面垂直關(guān)系。

垂面法求二面角的平面角

假使二面角α－l－β的平面角是銳角，點P到α，β和棱l的距離分別為22、4和42，求二面角的大小。

思路分析：點P可能在二面角α－l－β內(nèi)部，也可能在外部，應(yīng)分別處理。

答案：如圖（1）是點P在二面角α－l－β的內(nèi)部的狀況。圖（2）是點P在二面角α－l－β的外部的狀況。

∵PA⊥α，∴PA⊥l，

∵AC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面PAC，

同理，l⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC，

∴平面PAC與平面PBC應(yīng)重合，

即A、C、B、P在同一平面內(nèi)，則∠ACB是二面角α－l－β的平面角，

在Rt△APC中，sin∠ACP

＝

1

2PA

PC

==，

∴∠ACP＝30，

在Rt△BPC中，sin∠BCP

＝PB

PC

==，

∴∠BCP＝45，

故∠ACB＝30＋45＝75或∠ACB＝