波利亞的解題理論與中學(xué)教學(xué)

波利亞的解題理論與中學(xué)教學(xué)第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日波利亞的解題表及評(píng)述波利亞的解題技巧關(guān)于波利亞解題表的解釋1個(gè)例子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要做到熟練化．熟能生巧，進(jìn)而出神入化．而要這樣，就必須練。——華羅庚第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日波利亞的解題技巧解題過(guò)程分為以下四個(gè)階段:一、

弄清問(wèn)題

（1）未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

（2）畫(huà)張圖,并引入適當(dāng)?shù)姆?hào).

（3）把條件的各部分分開(kāi),并把它們寫(xiě)下來(lái).

（4）題目要求你干什么?可否數(shù)學(xué)化?第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、擬訂計(jì)劃考慮以前是否見(jiàn)過(guò)它?是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題.能否利用它的結(jié)果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?能否用不同的方法重新敘述它?回到定義去.如果你不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題.是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念?第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、執(zhí)行計(jì)劃1、實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃,檢驗(yàn)每一步驟.2、你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?

3、把你想好的解題過(guò)程具體地用術(shù)語(yǔ),符號(hào),圖形,式子表述出來(lái).4、修正解題方向以及原來(lái)擬定的不恰當(dāng)?shù)姆桨?5、解題要求是:嚴(yán)密具有邏輯性.第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、回顧能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出結(jié)果?能不能一下子看出它來(lái)?能不能把這結(jié)果或方法用于其他問(wèn)題?第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1個(gè)例子例1已知k＞a＞b＞c＞0，求證：

k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0讀題，讀題，反復(fù)讀題，這是解題時(shí)首先要認(rèn)真做的事，切莫忽視第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日弄清問(wèn)題

問(wèn)題應(yīng)當(dāng)用自己的語(yǔ)言重新敘述．通過(guò)復(fù)述，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生是否理解了題意，有沒(méi)有忽略重要的部分．凡有學(xué)生來(lái)問(wèn)問(wèn)題，首先讓他復(fù)述，切不可急急忙忙地把解答告訴他．因?yàn)楸冉獯鸶匾氖墙夥?，即如何從已知走向未知，而將題目中的“信息”重新編排，適當(dāng)整理，正是走向未知的第一步．第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日弄清問(wèn)題實(shí)際上，改變問(wèn)題的提法已不僅是弄清題意，可以說(shuō)是向問(wèn)題的解決進(jìn)了一大步．波利亞主張“不斷地變換你的問(wèn)題”，“我們必須一再地變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”．第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日擬訂計(jì)劃問(wèn)題明確后，便是通常所說(shuō)的真正的解題階段．熟悉的問(wèn)題，有一定套路的問(wèn)題，不需太多思考．稍進(jìn)一步的問(wèn)題，需要一點(diǎn)變化，波利亞的表中“你是否見(jiàn)過(guò)相同的或形式稍有不同的問(wèn)題？”可用，以喚醒你的記憶，從大腦的信息庫(kù)中找到一個(gè)可以利用的模式．真正的問(wèn)題是不能照套的，需要解題者發(fā)揮某種程度的主動(dòng)性與創(chuàng)造性．主動(dòng)性與創(chuàng)造性程度越大，問(wèn)題的難度越大，質(zhì)量越高．對(duì)這類(lèi)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，波利亞所說(shuō)的“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？”等等，就不用再考慮了，沒(méi)有多大用處．這類(lèi)問(wèn)題往往是競(jìng)賽性的.第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日?qǐng)?zhí)行擬訂計(jì)劃例2已知k＞a＞b＞c＞0，求證：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0①解題：拋物線y=x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca開(kāi)口向上．如果二次多項(xiàng)式x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca②

的判別式△=(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)③滿足△＜0④那么拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，從而在x軸上方，恒有x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0．⑤于是①成立．故，原問(wèn)題化為證明④成立．這一計(jì)劃也很清楚，但是無(wú)法證明④一定成立．第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日實(shí)現(xiàn)計(jì)劃在解題中，這一步是最容易的，如果計(jì)劃是完善的，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃往往是“例行公事”，作一些機(jī)械性的計(jì)算，但計(jì)劃往往是不完善的，所以又往往需要回到上一步，出現(xiàn)一些反復(fù)．此外，計(jì)算或操作中也許有困難存在，甚至?xí)龅诫y以逾越的困難，這時(shí)原來(lái)計(jì)劃必須推倒重來(lái)．第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日檢驗(yàn)與回顧解題，如同在黑暗中走進(jìn)一間陌生的房間．回顧，則好像打開(kāi)了電燈．這時(shí)一切都清楚了：在以前的探索中，哪幾步走錯(cuò)了，哪幾步不必要，應(yīng)當(dāng)怎樣走，等等．朦朧變成了自覺(jué)．正如波利亞所說(shuō)，這是“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”，“當(dāng)讀者完成了任務(wù)，而且他的體驗(yàn)在頭腦中還是新鮮的時(shí)候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實(shí)質(zhì)，他可以對(duì)自己提出許多有用的問(wèn)題：‘關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒(méi)有覺(jué)察到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)我必須具備哪些知識(shí)？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒(méi)有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)應(yīng)用？’第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

12條解題要訣——單撙

1．要享受到解題的樂(lè)趣．對(duì)解題有濃厚的興趣，能有幾分癡迷更好．

2．要有充足的信心．

3．要有百折不回的決心與堅(jiān)韌不拔的毅力．

4．要做100道有質(zhì)量的題目．

5．反復(fù)探索，大膽地跟著感覺(jué)走．

6．從簡(jiǎn)單的做起．

7．從不同的角度看問(wèn)題．

8．學(xué)、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生“好想法”．

9．設(shè)法創(chuàng)造條件，不斷變更問(wèn)題．10．引入適當(dāng)字母，向基本量靠攏．11．力求簡(jiǎn)單自然，直剖核心．12．注意總結(jié)．第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日關(guān)于波利亞解題表的解釋教師應(yīng)順其自然地幫助學(xué)生，把自己看成學(xué)生，去理解學(xué)生在想什么。了解學(xué)生和學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，再針對(duì)學(xué)生實(shí)際提供恰當(dāng)建議。

任何僵化的、機(jī)械的、迂腐的步驟必然是不利的。解題表必須簡(jiǎn)短，有利于形成良好的思維習(xí)慣。第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日關(guān)于波利亞解題表的解釋好問(wèn)題、建議的標(biāo)準(zhǔn)：如果學(xué)生已經(jīng)接近于問(wèn)題的解答，那么他也許會(huì)理解這個(gè)問(wèn)題所給的暗示；但如果不是這樣，他可能根本看不到這個(gè)問(wèn)題所要指向的要點(diǎn)，那么無(wú)法在他最需要的地方給他幫助如果學(xué)生理解了問(wèn)題的暗示，所有的奧秘都被揭開(kāi)了，幾乎沒(méi)有什么留給學(xué)生做的了。建議太特殊即使學(xué)生能應(yīng)用他來(lái)解決手頭的這個(gè)問(wèn)題，但對(duì)以后會(huì)碰到的題目他們就不會(huì)了，什么也沒(méi)學(xué)到，故這個(gè)建議沒(méi)有啟發(fā)性。第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日關(guān)于波利亞解題表的解釋值得注意的四個(gè)方面(1)只要學(xué)生按照這個(gè)過(guò)程去尋找解法，久而久之，不僅可以提高解題能力，而且還可以養(yǎng)成規(guī)范的思維習(xí)慣．并不是所有的題目都要像表中那樣“面面俱到”．(2)解題教學(xué)中，在教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法和解題方法的同時(shí)，應(yīng)重視拓寬學(xué)生的認(rèn)知面，經(jīng)歷探索，溫故知新，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，形成創(chuàng)新技能．(3)解題教學(xué)時(shí)，要關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成．(4)正確理解解題的內(nèi)涵，謹(jǐn)防將解題異化為“題海戰(zhàn)術(shù)”．第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日波利亞的‘‘啟發(fā)法’’和

‘‘合情推理’’啟發(fā)法啟發(fā)法的目的是要學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造和規(guī)則啟發(fā)法的具體模式或方法：分組分解、笛卡爾模式（即‘‘萬(wàn)能模式’’）、遞歸模式、疊加模式、特殊化模式、一般化方法；‘‘從前往后退’’、設(shè)立次目標(biāo)、合情推理模式；畫(huà)圖法、看著未知數(shù)、回到定義去、考慮相關(guān)問(wèn)題、對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形、類(lèi)比法，等等。第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日波利亞的‘‘啟發(fā)法’’和

‘‘合情推理’’合情推理合情推理就是從已有的知識(shí)和具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、類(lèi)比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段在某種情境和過(guò)程中推出可能性結(jié)論的推理．這種推理的途徑是從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，通過(guò)類(lèi)比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過(guò)歸納而作出猜想．合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”。波利亞呼吁:"讓我們教猜想吧!"我國(guó)的理科教學(xué),歷來(lái)較多強(qiáng)調(diào)邏輯推理,而對(duì)合情推理有所忽視.

第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日波利亞解題理論的評(píng)述及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響教師培訓(xùn)的方法

根據(jù)波利亞的做法，用來(lái)培訓(xùn)教師的方法主要有２種：一種是“研討”．為了提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)（主要是解題能力），波利亞說(shuō)：“我并沒(méi)有什么萬(wàn)靈藥方，但我曾試過(guò)一些做法．我曾經(jīng)介紹和多次重復(fù)主持過(guò)一些教師研討班，研究如何解題……”；一種是“演示法”或“示范法’’第20頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日波利亞解題理論的評(píng)述及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響教師的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程與素質(zhì)

波利亞非常重視作為教師應(yīng)有的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素質(zhì)，他提出：“教師要掌握２個(gè)方面的東西——知識(shí)和技巧．技巧是運(yùn)用知識(shí)的能力．當(dāng)然沒(méi)有不帶獨(dú)立思考、獨(dú)到見(jiàn)解和創(chuàng)造力的技巧．?dāng)?shù)學(xué)上的技巧就是做題的能力，給出證明的能力，審斷論據(jù)的能力，流利地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力以及在具體情況下辨認(rèn)數(shù)學(xué)概念的能力等．第21頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日“教師十戒”

波利亞在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)思維加工，歸納提煉出“一套見(jiàn)解”，他稱(chēng)之為“教師十戒”；前４條是教師搞好教學(xué)的“充分必要條件”：（１）要對(duì)自己所教課程有若趣；（２）要“熟知自己的科目”；（３）要清楚學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程；（４）是要了解學(xué)生實(shí)際．（５）--（７）條是講教學(xué)目的的，著重強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的“解題能力”、“猜想能力”和“證明能力”．（８）是說(shuō)解題教學(xué)中要讓學(xué)生獲得“一些可能用于解今后題目的特征”；（９）--（10）條是強(qiáng)調(diào)“在現(xiàn)有條件下留給學(xué)生盡可能多的自由余地，讓他們發(fā)揮其首創(chuàng)精神和積極性”第22頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日參考資料【1】楊騫.波利亞數(shù)學(xué)教育理論的現(xiàn)代啟示.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，5：11-2.【2】互動(dòng)百科