初中數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案1：用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題 市賽一等獎(jiǎng)

用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題（3）學(xué)習(xí)目標(biāo)：使學(xué)生進(jìn)一步掌握銳角三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，比較熟練的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題學(xué)習(xí)難點(diǎn)：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)過(guò)程：一、給出仰角、俯角的定義在本章的開頭，我們?cè)?jīng)用自制的測(cè)角儀測(cè)出視線(眼睛與旗桿頂端的連線)與水平線的夾角，那么把這個(gè)角稱為什么角呢?如右圖，從下往上看，視線與水平線的夾角叫仰角，從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.右圖中的∠1就是仰角，∠2就是俯角.二、例題講解例為了測(cè)量停留在空中的氣球的高度，小明在某處利用測(cè)角儀器測(cè)得氣球的仰角（從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角）為27°，然后他沿氣球方向前進(jìn)了50米，再次測(cè)得氣球的仰角為40°.如果測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，那么氣球的高度是多少?(精確到0.1變式1．如圖，為了測(cè)量電線桿的高度AB，在離電線桿22.7米的C處，用1.20米的測(cè)角儀CD測(cè)得電線桿頂端B的仰角a＝22°，求電線桿AB2.熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高?3.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50°,觀察底部B的仰角為45°,求旗桿的高度(精確到0.1m)BABACD4.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（精確到0.01海里）三、點(diǎn)擊中考：1.（2013湖南婁底）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)救援，救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)到C處有生命跡象.已知A、B兩點(diǎn)相距4米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°（如圖9），試確定生命所在點(diǎn)C的深度.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）2.（2013湖北黃岡）如圖，小山頂上有一信號(hào)塔AB，山坡BC的傾角為30°，現(xiàn)為了測(cè)量塔高AB，測(cè)量人員選擇山腳C處為一測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得塔頂仰角為45°.然后順山坡向上行走100米到達(dá)E處，再測(cè)得塔頂仰角為60°，求塔高AB.(≈，≈，結(jié)果保留整數(shù))3.（2013江蘇鹽城，26，10分）如圖是某地下商業(yè)街的入口，數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)打算運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量側(cè)面支架的最高點(diǎn)E到地面的距離EF．經(jīng)測(cè)量，支架的立柱BC與地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，點(diǎn)F、A、C在同一條水平線上，斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC=30°，支撐桿DE⊥AB于點(diǎn)D，該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD=60°，又測(cè)得AD=1m，請(qǐng)你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長(zhǎng)度．ABCABCDEF1.解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD=m.在Rt△CBD中，∵∠CBD=45°∴∴m在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°∴∴（m）答：生命所在點(diǎn)C的深度約是5.5m.2.解：依題意可知：∠AEB=30°,∠ACE=15°,又∠AEB=∠ACE+∠CAE,∴∠CAE=15°.即△ACE為等腰三角形，∴AE=CE=100m.又在RT△AEF中，∠AEF=60°，∴EF=AE·cos60°=50m,AF=AE·sin60°=50m.又在RT△BEF中，∠BEF=30°,∴BF=EF·tan30°=50×=m,∴AB=AF－BF=50－=≈58米.答：塔高AB大約為58米.3.解法一：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于HHAHABCDEF∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝，∴AB＝3又∵AD＝1，∴BD＝2∵ED⊥AB，∠DBE＝60°∴在Rt△DBE中，cos∠DBE＝，∴BE＝4∵∠BCA＝∠BHF＝∠HFC＝90°，∴四邊形HFCB為矩形∴HF＝BC＝，CF∥BH∴∠HBA＝∠BAC＝30°∴∠EBH＝∠EBD－∠HBA＝30°∴在Rt△EBH中，EH＝BE＝2∴EF＝EH＋HF＝2＋＝答：該支架的邊BE的長(zhǎng)為4m，頂點(diǎn)E到地面EF的長(zhǎng)度為3.5m.解法二：由解法一得BE＝4分別延長(zhǎng)EF、BA點(diǎn)PABABCDEFP∵∠FAP＝∠BAC＝30°∴∠EPB＝∠90°－30°＝60°又∵∠EBD＝60°∴△EPB是等邊三角形∴EP＝BP＝BE＝4∵AP＝BP＝AB＝1在Rt△PAF中，∠FAP＝30°∴FP＝∴EF＝4－＝答：該支架的邊BE的長(zhǎng)為4m，頂點(diǎn)E到地面EF的長(zhǎng)度為3.5m.課后測(cè)試如圖,小島A在港口P的南偏西45°方向，距離港口8l海里處．甲船從A出發(fā)，沿AP方向以9海里/時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東6O°方向，以l8海里/時(shí)的速度駛離港口.現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，(1)出發(fā)后幾小時(shí)兩船與港口P的距離相等?(2)出發(fā)后幾小時(shí)乙船在甲船的正東方向?(結(jié)果精確到小時(shí))2．如圖，在A、B兩座工廠之間要修建一條筆直的公路，從A地測(cè)得B地的走向是南偏東52°，現(xiàn)A、B兩地要同時(shí)開工，若干天后公路準(zhǔn)確對(duì)接，則B地所修公路的走向應(yīng)該是()A北偏西52°B南偏東52°C西偏北52°D北偏西3.一船以每小時(shí)20海里的速度沿正東方向航行.上午8時(shí)，該船在A處測(cè)得某燈塔位于它的北偏東30°的B處，上午9時(shí)行到C處，測(cè)得燈塔恰好在它的正北方向，此時(shí)它與燈塔的距離是多少海里？(（畫出示意圖，結(jié)果保留根號(hào)）.東北BAC4．某學(xué)生站在公園的湖邊M處，測(cè)得湖心亭A位于北偏東30o方向上，又測(cè)得游船碼頭B位于南偏東60o方向上，現(xiàn)有一艘游船從湖心亭A處沿正南方向航行返回游船碼頭.已知M處與AB的距離MN為0.7千米，求湖心亭與游船碼頭的距離.（東北BAC5．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老