2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷及答案

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（4分）設(shè)集合A＝{1，2}，B＝{2，4，則A∪B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}2．（4分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝3 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣3 D．a(chǎn)＝1，b＝33．（4分）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝3x+4y的最大值是（）A．20 B．18 C．13 D．64．（4分）設(shè)x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A．22π B．8π C．π D．π6．（4分）為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin（3x+）圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7．（4分）已知2a＝5，log83＝b，則4a﹣3b＝（）A．25 B．5 C． D．8．（4分）如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AC＝AA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，A1C1上的點(diǎn)．記EF與AA1所成的角為α，EF與平面ABC所成的角為β，二面角F﹣BC﹣A的平面角為γ，則（）A．α≤β≤γ B．β≤α≤γ C．β≤γ≤α D．α≤γ≤β9．（4分）已知a，b∈R，若對任意x∈R，則（）A．a(chǎn)≤1，b≥3 B．a(chǎn)≤1，b≤3 C．a(chǎn)≥1，b≥3 D．a(chǎn)≥1，b≤310．（4分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝an﹣an2（n∈N*），則（）A．2＜100a100＜ B．＜100a100＜3 C．3＜100a100＜ D．＜100a100＜4二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分。11．（4分）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，就是S＝，其中a，b，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊a＝，b＝，則該三角形的面積S＝．12．（6分）已知多項(xiàng)式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a2＝，a1+a2+a3+a4+a5＝．13．（6分）若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，則sinα＝，cos2β＝．14．（6分）已知函數(shù)f（x）＝則f（f（））＝；若當(dāng)x∈[a，b]時，1≤f（x），則b﹣a的最大值是．15．（6分）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，則P（ξ＝2）＝，E（ξ）＝．16．（4分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)為F的直線交雙曲線于點(diǎn)A（x1，y1），交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B（x2，y2）且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，則雙曲線的離心率是．17．（4分）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則2+2+…+2的取值范圍是．三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，bc，cosC＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面積．19．（15分）如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，AB＝5，DC＝3，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角為60°．設(shè)M，BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：FN⊥AD；（Ⅱ）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．20．（15分）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝﹣1，公差d＞1．記{an}的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）．（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；（Ⅱ）若對于每個n∈N*，存在實(shí)數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，求d的取值范圍．21．（15分）如圖，已知橢圓+y2＝1．設(shè)A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點(diǎn)（0，）在線段AB上，直線PAx+3于C，D兩點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；（Ⅱ）求|CD|的最小值．22．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝+lnx（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知a，b∈R，曲線y＝f（x）1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））處的切線都經(jīng)過點(diǎn)（a，b）．證明：（?。┤鬭＞e，則0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，則+＜+＜﹣．（注：e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】利用并集運(yùn)算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，8，6}，∴A∪B＝{1，6，4，6}，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了并集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣8，b＝3，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題．3．【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖象求解即可．【解答】解：實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，由已知可得A（2，4），由圖可知：當(dāng)直線3x+4y﹣z＝8過點(diǎn)A時，z取最大值，則z＝3x+4y的最大值是6×2+4×8＝18，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題．4．【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，充要條件的定義判定即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝6，①當(dāng)sinx＝1時，則cosx＝0，②當(dāng)cosx＝8時，則sinx＝±1，∴sinx＝1是cosx＝3的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．【解答】解：由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，所以幾何體的體積為：+π×12×3+＝π．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是中檔題．6．【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解．【解答】解：把y＝2sin（3x+）圖象上所有的點(diǎn)向右平移）+．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象平移，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】直接利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【解答】解：由2a＝5，log33＝b，可得8b＝83b＝3，則6a﹣3b＝＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C3中，AC＝AA1，∴正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，如圖，過F作FG⊥AC，連接GE4A∥FG，∴EF與AA1所成的角為∠EFG＝α，且tanα＝，又GE∈[0，8]，1]，∴EF與平面ABC所成的角為∠FEG＝β，且tanβ＝，+∞），∴tanβ≥tanα，...①，再過G點(diǎn)作GH⊥BC，垂足點(diǎn)為H，又易知FG⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴BC⊥FG，又FG∩GH＝G，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角為∠GHF＝γ，且tanγ＝，1]，∴tanγ∈[1，+∞），...②，又GE≥GH，∴tanβ≤tanγ，由①②③得tanα≤tanβ≤tanγ，又α，β，），y＝tanx在[0，，∴α≤β≤γ，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．9．【分析】取特值，結(jié)合選項(xiàng)直接得出答案．【解答】解：取x＝4，則不等式為a|4﹣b|﹣6≥0，且b≠4，觀察選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查絕對值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題效率，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】分析可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，根據(jù)題意先確定上限，得到，由此可推得100an＜3，再將原式變形確定下限，可得，由此可推得，綜合即可得到答案．【解答】解：∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，∴{an}為遞減數(shù)列，又，且an≠8，∴，又a1＝5＞0，則an＞0，∴，∴，∴，則，∴；由得，得，累加可得，，∴，∴；綜上，．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調(diào)性等知識，對化簡變形能力要求較高，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，屬于難題．二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分。11．【分析】直接由秦九韶計(jì)算可得面積．【解答】解：由S＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生的閱讀能力，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．12．【分析】a2相當(dāng)于是用（x+2）中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以（x﹣1）4展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)加上（x+2）中的常數(shù)項(xiàng)乘以（x﹣1）4展開式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和，分別令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（x﹣1）4＝x6﹣4x3+8x2﹣4x+2，∴a2＝﹣4+12＝5；令x＝0，則a0＝2，令x＝1，則a0+a7+a2+a3+a7+a5＝0，∴a5+a2+a3+a6+a5＝﹣2．故答案為：5，﹣2．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．【分析】由誘導(dǎo)公式求出3sinα﹣cosα＝，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出sinα＝，由此能求出cos2β的值．【解答】解：∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，∴4sinα﹣cosα＝，∴cosα＝3sinα﹣，∵sin2α+cos5α＝1，∴sin2α+（7sin）2＝1，解得sinα＝，cosβ＝sinα＝，cos2β＝8cos2β﹣1＝8×﹣1＝．故答案為：；．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】直接由分段函數(shù)解析式求f（f（））；畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，∴f（+2＝，∴f（f（））＝f（+﹣1＝；作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：由圖可知，若當(dāng)x∈[a，1≤f（x）≤6．故答案為：；3+．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．15．【分析】根據(jù)組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的均值定義即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得：ξ的取值可為1，2，7，4，又P（ξ＝1）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，∴E（ξ）＝1×+2×+4×＝，故答案為：；．【點(diǎn)評】本題考查組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的均值定義，屬基礎(chǔ)題．16．【分析】過點(diǎn)A作AA′⊥x軸于點(diǎn)A′，過點(diǎn)B作BB′⊥x軸于點(diǎn)B′，依題意，點(diǎn)B在漸近線上，不妨設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程，化簡可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AA′⊥x軸于點(diǎn)A′，由于B（x2，y2）且x2＞0，則點(diǎn)B在漸近線上，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則，則，即，則|FB′|＝4m，∴|OF|＝c＝3m，又，則＝，又，則，則，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．【分析】以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出正八邊形各個頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），進(jìn)而得到2+2+…+2＝8（x2+y2）+8，根據(jù)點(diǎn)P的位置可求出x2+y2的范圍，從而得到2+2+…+2的取值范圍．【解答】解：以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A7A1所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A1（6，1），，A3（1，7），，A4（0，﹣1），，A7（﹣7，0），，設(shè)P（x，y），則2+2+…+8＝|PA1|2+|PA5|2+|PA3|7+|PA4|2+|PA7|2+|PA6|4+|PA7|2+|PA5|2＝8（x5+y2）+8，∵cos22.3°≤|OP|≤1，∴，∴，∴12≤5（x2+y2）+7≤16，即2+2+…+5的取值范圍是[12+2，16]，故答案為：[12+7，16]．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)cosC＝，確定C的范圍，再求出sinC，由正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根據(jù)A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面積公式計(jì)算即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閏osC＝＞2，），且sinC＝＝，由正弦定理可得：＝，即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因?yàn)?a＝c?a＝，所以A＜C，故A∈（0，），又因?yàn)閟inA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；由正弦定理可得：＝＝＝4，所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝＝22．【點(diǎn)評】本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意證出FN⊥平面ABCD，即可得證；（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如圖建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解．【解答】證明：（I）由于CD⊥CB，CD⊥CF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，CF?平面CDEF，所以∠FCB為二面角F﹣DC﹣B的平面角，則∠FCB＝60°，CD⊥平面CBF．又，則△BCF是等邊三角形，則CB⊥FN，因?yàn)镈C⊥FC，DC⊥BC，F(xiàn)C?平面FCB，所以DC⊥平面FCB，因?yàn)镕N?平面FCB，又因?yàn)镈C∩CB＝C，DC?平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，因?yàn)锳D?平面ABCD；解：（Ⅱ）由于FN⊥平面ABCD，如圖建系：于是，則，，設(shè)平面ADE的法向量＝（x，y，則，∴，令x＝，z＝，∴平面ADE的法向量，設(shè)BM與平面ADE所成角為θ，則．【點(diǎn)評】本題考查了線線垂直的證明和線面角的計(jì)算，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）由等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝﹣1及S4﹣2a2a3+6＝0可得關(guān)于公差d的方程，再由公差d的范圍可得d的值，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn的解析式；（Ⅱ）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，可得關(guān)于cn的二次方程，由判別式大于0可得d的表達(dá)式，分類討論可得d的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝﹣1，公差d＞4，因?yàn)镾4﹣2a7a3+6＝2，可得2a5+6＝0，即6（a1+a4）﹣2a2a3+3＝0，a1+a3+3d﹣（a1+d）（a6+2d）+3＝2，即﹣1﹣1+3d﹣（﹣1+d）（﹣1+6d）+3＝0，整理可得：d5＝3d，解得d＝3，所以Sn＝na5+d＝﹣n+＝，即Sn＝；（Ⅱ）因?yàn)閷τ诿總€n∈N*，存在實(shí)數(shù)cn，使an+cn，an+3+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，則（a4+nd+4cn）2＝[a6+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+4）d+15cn]，a1＝﹣1，整理可得：cn6+[（14﹣8n）d+8]cn+d4＝0，則Δ＝[（14﹣8n）d+2]2﹣4d5≥0，即（7﹣8n）d+4≥d或（7﹣7n）d+4≤﹣d，整理可得（3﹣8n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣7，當(dāng)n＝1時，可得d≥﹣2或d≤﹣3，所以d≤﹣1（舍），所以d的范圍為（1，+∞）；n＝2時，d≤2或?，所以此時d∈（1，4]，當(dāng)n為大于2的任何整數(shù)，d≤，而d＞1，所以d≤（舍）；綜上所述，n＝2時，7]；n為不等于2的正整數(shù)時，d的取值范圍為（1，都存在cn，使an+cn，an+8+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，恒成立的判斷方法，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（Ⅱ）設(shè)直線AB方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，進(jìn)而表示出|x1﹣x2|，再分別聯(lián)立直線AP，直線BP與直線，得到C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可表示出|CD|，再轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M（x，y）2＝x2+（y﹣3）2＝12﹣12y2+y8﹣2y+1＝﹣11y3﹣2y+13，y∈[﹣1，而函數(shù)z＝﹣11y2﹣2y+13的對稱軸為，則其最大值為，∴，即點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為；（Ⅱ）設(shè)直線AB：，聯(lián)立直線AB與橢圓方程有，消去y并整理可得2+5）x2+12kx﹣9＝2，由韋達(dá)定理可得，，∴＝，設(shè)C（x3，y3），D（x7，y4），直線AP：，聯(lián)立以及，可得，∴由弦長公式可得＝＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)，∴|CD|的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，涉及了兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，弦長公式等基礎(chǔ)知識點(diǎn)，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，屬于難題．22．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）（i）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切時切點(diǎn)坐標(biāo)為（），求出切線l的方程為（﹣）a﹣b++lnx0﹣1＝0，令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），由題意得到函數(shù)g（x）有三個不同的零點(diǎn)，推導(dǎo)出g（x）極大值＝g（e）＞0，g（x）極小值＝g（a）＜0，b＜，要證明b﹣f（a）＜，只需證明lna+，令h（a）＝lna+，則＝＞0，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a＞e，則0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；（ⅱ）g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx