高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)題

多元函數(shù)微分學(xué)1：證明函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，但存在一階偏導(dǎo)數(shù).2：設(shè)函數(shù)問(wèn)在點(diǎn)處：（1）偏導(dǎo)數(shù)是否存在？（2）偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？（3）是否可微？均說(shuō)明理由..3：設(shè)為可微函數(shù)，且，證明：4：求二元函數(shù)在由直線所圍成的閉域上的極值、最大植和最小值.5：求平面和柱面的交線上與平面距離最短點(diǎn)的坐標(biāo).6：在橢球面上求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn).（答案：最近點(diǎn)，最遠(yuǎn)點(diǎn)）多元函數(shù)積分學(xué)一．重積分1：計(jì)算二次積分2：計(jì)算二重積分，其中是由直線以及曲線所圍成的平面區(qū)域.（答案：）3：設(shè)在上連續(xù)，且求.（答案：）4：設(shè)閉區(qū)域：為上的連續(xù)函數(shù)，且求（答案：）5：計(jì)算二重積分，其中由圓所圍成的平面區(qū)域.（答案：）6：計(jì)算其中.（答案：）7：計(jì)算二重積分，其中由所圍成的平面區(qū)域，是上的連續(xù)函數(shù).（答案：）8：證明9：設(shè)在上連續(xù)，證明所圍圖形面積為.（答案：）3：計(jì)算，其中是以點(diǎn)為中心，為半徑的圓周（），方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?（答案：）4：計(jì)算曲線積分，其中為正方形邊界的正向.（答案：）5：計(jì)算，其中積分路徑為過(guò)三點(diǎn)的圓.（答案：）6：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；求函數(shù)的表達(dá)式.（答案：）（2005年數(shù)學(xué)一）三．曲面積分1：設(shè)有一高度為（為時(shí)間）的雪堆在融化過(guò)程中，其側(cè)面滿足方程（設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí)），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù)），問(wèn)高度為（厘米）的雪堆全部融化需多少小時(shí)？（答案：小時(shí)）2：計(jì)算曲面積分，其中是由曲面及兩平面所圍的立體表面的外側(cè).（答案：）3：計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).（答案：）4：計(jì)算曲面積分，其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù).（答案：）5：設(shè)向量，曲面為上半球面被錐面所截得部分（滿足），且指向上。求A通過(guò)的流量.6：設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向閉曲面，都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且.求.（答案：）無(wú)窮級(jí)數(shù)一．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1：若級(jí)數(shù)（）收斂，證明（1）收斂；（2）收斂；（3）收斂；（4）收斂2：若級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為（）；（）；（）；（）（答案：（））3：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）（4）4：已知，證明級(jí)數(shù)收斂，并求這個(gè)級(jí)數(shù)的和.5：若，討論級(jí)數(shù)的斂散性.6：設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.7：已知求的值；試證：對(duì)任意的常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂.8：設(shè)滿足條件：對(duì)于任意的，存在常數(shù)，有，對(duì)于給定的，定義試證明：（1）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（2）極限存在，記為；（3）與無(wú)關(guān)，且.9：設(shè)若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（）收斂，發(fā)散；（）收斂，發(fā)散；（）收斂；（）收斂。（2005年數(shù)學(xué)三）（答案：（））10：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）若，則級(jí)數(shù)收斂；（）若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散；（）若級(jí)數(shù)收斂，則；（）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得.（答案：（））（2004年數(shù)學(xué)一）11：設(shè)有以下命題：①若收斂，則收斂②若收斂，則收斂③若，則發(fā)散④若收斂，則，都收斂則以上命題中正確的是（）①②（）②③（）③④（）①④（答案：（））（2004年數(shù)學(xué)三）12：設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，，若，則（）當(dāng)收斂時(shí)，收斂.（）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.（）當(dāng)收斂時(shí)，收斂.（）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.（答案：（））（2009年數(shù)學(xué)一）二．冪級(jí)數(shù)1：若在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處（）條件收斂；（）絕對(duì)收斂；（）發(fā)散（）斂散性不能確定（答案：（））2：求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).（2006年數(shù)學(xué)三）3：將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并求此級(jí)數(shù)的收斂域.一．一階微分方程1：求微分方程滿足初始條件的特解.2：求微分方程之通解.3：求微分方程之通解.4：求滿足方程的.5：設(shè)在上可導(dǎo)，，且滿足等式（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）證明當(dāng)時(shí)，成立不等式：6：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)。若曲線，直線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解.二．高階微分方程1：求方程的通解.2：求方程的通解.3：設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)且，，過(guò)曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線的方程.4：設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解，是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（）；