高考數(shù)學(xué)5年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題專題11.1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)專題11.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程A組5年高考真題1．（2020全國(guó)Ⅰ文理21）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)時(shí)，是什么曲線？（2）當(dāng)時(shí)，求與的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩式平方相加得，∴曲線表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．（2）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴，曲線的參數(shù)方程化為為參數(shù)），兩式相加得曲線方程為，得，平方得，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程，整理得，解得或（舍去），，公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．2．（2020全國(guó)Ⅱ文理21）已知曲線的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)）．（1）將的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)的交點(diǎn)為，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和的圓的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）由得的普通方程為：，由得：，兩式作差可得的普通方程為：．（2）由得：，即．設(shè)所求圓圓心的直角坐標(biāo)為，其中，則，解得：，所求圓的半徑，所求圓的直角坐標(biāo)方程為：，即，所求圓的極坐標(biāo)方程為．3．（2020全國(guó)Ⅲ文理22）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）令，則，解得或（舍），則，即．令，則，解得或（舍），則，即．．（2）由（1）可知，則直線的方程為，即．由可得，直線的極坐標(biāo)方程為．4．（2019全國(guó)1文理22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．【解析】（1）因?yàn)?，且，所以C的直角坐標(biāo)方程為．的直角坐標(biāo)方程為．（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．C上的點(diǎn)到的距離為．當(dāng)時(shí)，取得最小值7，故C上的點(diǎn)到距離的最小值為．5．（2019全國(guó)II文理22）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過點(diǎn)且與垂直，垂足為P．（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）因?yàn)樵贑上，當(dāng)時(shí)，．由已知得．設(shè)為l上除P的任意一點(diǎn)．在中，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上．所以，l的極坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，在中，即．．因?yàn)镻在線段OM上，且，故的取值范圍是．所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為．6．(2019全國(guó)III文理22）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧．（1）分別寫出，，的極坐標(biāo)方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點(diǎn)在M上，且，求P的極坐標(biāo)．【解析】（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為，，，所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知若，則，解得；若，則，解得或；若，則，解得．綜上，P的極坐標(biāo)為或或或．7．(2018全國(guó)Ⅰ文理)在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求的直角坐標(biāo)方程；(2)若與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求的方程．【解析】(1)由，得的直角坐標(biāo)方程為．(2)由(1)知是圓心為，半徑為的圓．由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有兩個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)．綜上，所求的方程為．8．（2018全國(guó)Ⅱ文理)在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)求和的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．【解析】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為．當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為；當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為．(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程．①因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則．又由①得，故，于是直線的斜率．9．（2018全國(guó)Ⅲ）[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．【解析】(1)的直角坐標(biāo)方程為．當(dāng)時(shí)，與交于兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，記，則的方程為．與交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得或，即或．綜上，的取值范圍是．(2)的參數(shù)方程為為參數(shù)，．設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，且，滿足．于是，．又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù)，．10．（2017全國(guó)Ⅰ文理）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為QUOTEx=a+4t,y=1?t,(為參數(shù))．(1)若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若上的點(diǎn)到距離的最大值為，求．【解析】（1）曲線的普通方程為．當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為．由解得或，從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為．當(dāng)時(shí)，的最大值為．由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為．由題設(shè)得，所以．綜上，或．11．（2017全國(guó)Ⅱ文理）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為．由橢圓知，．由得的極坐標(biāo)方程，因此的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為．由題設(shè)知，，于是面積．當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以面積的最大值為．12．（2017全國(guó)Ⅲ文理）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線．(1)寫出的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)：，為與的交點(diǎn)，求的極徑．【解析】（1）消去參數(shù)得的普通方程，消去參數(shù)得的普通方程．設(shè)，由題設(shè)得，消去得，所以的普通方程為．（2）的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立得，故，從而，代入得，所以交點(diǎn)的極徑為．13．（2016全國(guó)I文理）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為QUOTEx=acost，y=1+asint，（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：．（I）說(shuō)明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，若曲線與的公共點(diǎn)都在上，求a．【解析】(1)（均為參數(shù)），∴ ①∴為以為圓心，為半徑的圓．方程為．∵，∴，即為的極坐標(biāo)方程．(2)，兩邊同乘得，，即 ②：化為普通方程為，由題意：和的公共方程所在直線即為，①—②得：，即為，∴，∴．14．（2016全國(guó)II文理）在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為．（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（II）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），l與C交于A、B兩點(diǎn)，，求l的斜率．【解析】（Ⅰ）整理圓的方程得，由可知圓的極坐標(biāo)方程為．(Ⅱ)記直線的斜率為，則直線的方程為，由垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式知：，即，整理得，則．15．（2016全國(guó)III文理）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸