大一下學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

大一第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請(qǐng)將合適的答案填在空中。1、已知球面的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為和，則該球面的方程為______________________2、函數(shù)在點(diǎn)處沿點(diǎn)指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為3、曲面與平面平行的切平面方程為4、5、設(shè)二元函數(shù)，則_______________二、選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）。以下每道題有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)選出合適的答案填在空中，多選無效。1、旋轉(zhuǎn)曲面是（）（A）．坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成；（B）．坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成；（C）．坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成；（D）．坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成．2、微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（）其中都是待定常數(shù).(A).;(B).;(C).;(D).3、已知直線與平面,則（）(A).在內(nèi);(B).與不相交;(C).與正交;(D).與斜交.4、下列說法正確的是（）(A)兩向量與平行的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；(B)二元函數(shù)的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù),在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)必相等；(C)二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的充分條件；(D)二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的必要條件.5、設(shè)且（即函數(shù)具有連續(xù)的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），則（）(A);(B);(C);(D).三、計(jì)算題（本大題共29分）1、（本題13分）計(jì)算下列微分方程的通解。(1)（6分）(2)（7分）2、（本題8分）設(shè)，，，求全導(dǎo)數(shù)。3、（本題8分）求函數(shù)的極值。四、應(yīng)用題（本題8分）1、某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的機(jī)床，其產(chǎn)量分別為臺(tái)和臺(tái)，成本函數(shù)為（萬元），若市場(chǎng)調(diào)查分析，共需兩種機(jī)床8臺(tái)，求如何安排生產(chǎn)使其總成本最少？最小成本為多少？五、綜合題（本大題共21分）1、（本題10分）已知直線，，求過且平行于的平面方程．2、（本題11分）設(shè)函數(shù)在球面上求一點(diǎn)，使函數(shù)取到最大值．六、證明題（本題共12分）1、設(shè)函數(shù)，其中是常數(shù)，函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)．試證明:第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期中考試試卷答案一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）1.、2、．3、．4、05、；二、選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）三、計(jì)算題（本大題共29分）1、（1）解：將原微分方程進(jìn)行分離變量，得：上式兩端積分得即：其中為任意常數(shù)．（2）解：題設(shè)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為于是，該齊次方程的通解為因是特征方程的單根，故可設(shè)題設(shè)方程的特解：代入題設(shè)方程,得比較等式兩端同次冪的系數(shù),得于是，求得題沒方程的一個(gè)特解從而，所求題設(shè)方程的通解為2、解：，，依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，全導(dǎo)數(shù)為3、解：解方程組，得駐點(diǎn)。由于，，在點(diǎn)處，，，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，極小值為。四、應(yīng)用題（本題8分）1、解：即求成本函數(shù)在條件下的最小值構(gòu)造輔助函數(shù)解方程組解得這唯一的一組解，即為所求，當(dāng)這兩種型號(hào)的機(jī)床分別生產(chǎn)臺(tái)和臺(tái)時(shí)，總成本最小，最小成本為：（萬）五、綜合題（本大題共21分）1、解：直線與的方向向量分別為，，作，取直線上的一點(diǎn)，則過點(diǎn)且以為法向量的平面，就是過且平行于的平面方程．2、解：設(shè)球