電動(dòng)力學(xué)第一講

電動(dòng)力學(xué)第一講2023/4/131第1頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電動(dòng)力學(xué)特別重要的意義所在物理學(xué)經(jīng)典物理電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)近代數(shù)學(xué)量子物理2023/4/132第2頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/133第3頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一學(xué)習(xí)參考書(shū)：

1、經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)蔡圣善朱耘編著復(fù)旦大學(xué)出版社

2、ClassicalElectrodynamicsJ.D.Jackson(經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)J.D.杰克遜著）人民教育出版社2023/4/134第4頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

預(yù)備知識(shí)—矢量場(chǎng)論復(fù)習(xí)

2023/4/135第5頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一主要內(nèi)容標(biāo)量場(chǎng)的梯度算符矢量場(chǎng)的散度高斯定理矢量場(chǎng)的旋度斯托克斯定理在正交曲線坐標(biāo)系中運(yùn)算的表達(dá)式二階微分算符格林定理2023/4/136第6頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§0-1標(biāo)量場(chǎng)的梯度，算符2023/4/137第7頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、場(chǎng)的概念

場(chǎng)是用空間位置函數(shù)來(lái)表征的。在物理學(xué)中，經(jīng)常要研究某種物理量在空間的分布和變化規(guī)律。如果物理量是標(biāo)量，那么空間每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著該物理的一個(gè)確定數(shù)值，則稱此空間為標(biāo)量場(chǎng)。如電勢(shì)場(chǎng)、溫度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，那么空間每一點(diǎn)都存在著它的大小和方向，則稱此空間為矢量場(chǎng)。如電場(chǎng)、速度場(chǎng)等。若場(chǎng)中各點(diǎn)處的物理量不隨時(shí)間變化，就稱為穩(wěn)定場(chǎng)，否則，稱為不穩(wěn)定場(chǎng)。

2023/4/138第8頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)在一點(diǎn)處沿任意方向?qū)嚯x的變化率，它的數(shù)值與所取的方向有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，在不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如圖所示，為場(chǎng)中的任意方向，P1是這個(gè)方向線上給定的一點(diǎn)，P2為同一線上鄰近的一點(diǎn)。P1P22023/4/139第9頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一為p2和p1之間的距離，從p1沿到p2的增量為若下列極限存在，則該極限值記作，稱之為標(biāo)量場(chǎng)在p1處沿的方向?qū)?shù)。3、梯度

由于從一點(diǎn)出發(fā)，有無(wú)窮多個(gè)方向，即標(biāo)量場(chǎng)在一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，其中，若過(guò)2023/4/1310第10頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一該點(diǎn)沿某一確定方向取得在該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，則可引進(jìn)梯度概念。記作稱之為在該點(diǎn)的梯度（grad是gradient縮寫(xiě)），它是一個(gè)矢量，其大小，其方向即過(guò)該點(diǎn)取得最大方向?qū)?shù)的某一確定方向,即表示。方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：2023/4/1311第11頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一是等值面上p1點(diǎn)法線方向單位矢量。它指向增長(zhǎng)的方向。表示過(guò)p2

點(diǎn)的任一方向。顯見(jiàn)，p1p0p2等值面等值面θ2023/4/1312第12頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一該式表明：即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用來(lái)表征標(biāo)量場(chǎng)在空間各點(diǎn)沿不同方向變化快慢的程度。4、算符（哈密頓算符）算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)。在任意方向上移動(dòng)線元距離dl，的增量稱為方向微2023/4/1313第13頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一分，即顯然，任意兩點(diǎn)值差為2023/4/1314第14頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§0-2矢量場(chǎng)的散度高斯定理2023/4/1315第15頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、通量一個(gè)矢量場(chǎng)空間中，在單位時(shí)間內(nèi)，沿著矢量場(chǎng)方向通過(guò)的流量是dN，而dN是以ds為底，以vcosθ為高的斜柱體的體積，即稱為矢量通過(guò)面元的通量。對(duì)于有向曲面s，總可以將s分成許多足夠小的面元，于是通過(guò)θds2023/4/1316第16頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一曲面s的通量N即為每一面元通量之積對(duì)于閉合曲面s，通量N為2、散度

設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為，則2023/4/1317第17頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一就是矢量場(chǎng)在中單位體積的平均通量，或者平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面s及其所包圍的體積向其內(nèi)某點(diǎn)收縮時(shí)，若平均發(fā)散量的極限值存在，便記作稱為矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度(div是divergence的縮寫(xiě))。散度的重要性在于，可用表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，當(dāng)div，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量2023/4/1318第18頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一的正源；當(dāng)div，表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源；當(dāng)div，表示該點(diǎn)為無(wú)源場(chǎng)。3、高斯定理它能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。2023/4/1319第19頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

§0-3矢量場(chǎng)的旋度斯托克斯定理2023/4/1320第20頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、矢量場(chǎng)的環(huán)流

在數(shù)學(xué)上，將矢量場(chǎng)沿一條有向閉合曲線L（即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分稱為沿該曲線L的循環(huán)量或流量。2、旋度

設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近，那么2023/4/1321第21頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小，也將逐漸減小，一般說(shuō)來(lái)，這兩者的比值有一極限值，記作即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無(wú)關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向，且通常L的正方向與規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義2023/4/1322第22頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一稱為矢量場(chǎng)的旋度（rot是rotation縮寫(xiě)）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點(diǎn)附近各方向上環(huán)流強(qiáng)弱的程度，如果場(chǎng)中處處rot稱為無(wú)旋場(chǎng)。3、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。2023/4/1323第23頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§0-4正交曲線坐標(biāo)系中運(yùn)算的表達(dá)式2023/4/1324第24頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、度量系設(shè)x,y,z是某點(diǎn)的笛卡兒坐標(biāo)，x1,x2,x3是這點(diǎn)的正交曲線坐標(biāo)，長(zhǎng)度元的平方表示為其中2023/4/1325第25頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一稱度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標(biāo)系完全由三個(gè)拉梅系數(shù)h1,h2,h3來(lái)描述。2、哈密頓算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式2023/4/1326第26頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1327第27頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中為正交曲線坐標(biāo)系的基矢；是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)；是一個(gè)矢量函數(shù)，只有在笛卡兒坐標(biāo)系中，，在其它正交坐標(biāo)系中2023/4/1328第28頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3、不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式a)笛卡兒坐標(biāo)x1=x，x2=y，x3=zh1=1，h2=1，h3=1xyzZ為常數(shù)平面y為常數(shù)平面x為常數(shù)平面(x,y,z)p2023/4/1329第29頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1330第30頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

b)圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量:x1=r

x2=φ

x3=z與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系：

x=rcosφ

y=rsinφz=z拉梅系數(shù):h1=1h2=rh3=1φzxyz為常數(shù)平面r為常數(shù)平面φ為常數(shù)平面r2023/4/1331第31頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1332第32頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一將應(yīng)用于圓柱坐標(biāo)可得：2023/4/1333第33頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一c)球坐標(biāo)系z(mì)θrφy(r,θ,φ)xθ為常數(shù)平面r為常數(shù)平面φ為常數(shù)平面2023/4/1334第34頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一坐標(biāo)變量：與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系：拉梅系數(shù)：2023/4/1335第35頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1336第36頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一其中2023/4/1337第37頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1338第38頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§0-5二階微分算符格林定理Second-orderDifferentiationOperator,Green’sTheorem2023/4/1339第39頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、一階微分運(yùn)算

將算符直接作用于標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)，即分別得到梯度、散度和旋度，即這些都叫一階微分運(yùn)算。舉例：

a)設(shè)為源點(diǎn)與場(chǎng)之間的距離，r的方向規(guī)定為源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)，試分別對(duì)場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)求r的梯度。2023/4/1340第40頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一步：源點(diǎn)固定，r是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)求梯度用r表示，則有而場(chǎng)點(diǎn)（觀察點(diǎn)）場(chǎng)源點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)o2023/4/1341第41頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同理可得：故得到：2023/4/1342第42頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第二步：場(chǎng)點(diǎn)固定，r是源點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)源點(diǎn)求梯度用表示。而同理可得：2023/4/1343第43頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一所以得到：

b)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明2023/4/1344第44頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證：這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法則，有2023/4/1345第45頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

c)設(shè)求解：而同理可得2023/4/1346第46頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一那么這里同理可得故有2023/4/1347第47頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

d)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：2023/4/1348第48頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

e)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：2023/4/1349第49頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、二階微分運(yùn)算將算符作用于梯度、散度和旋度，則稱為二階微分運(yùn)算，設(shè)為標(biāo)量場(chǎng)，為矢量場(chǎng)。2023/4/1350第50頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一并假設(shè)的分量具有所需要的階的連續(xù)微商，則不難得到：（1）標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無(wú)旋場(chǎng)（2）矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng)（3）無(wú)旋場(chǎng)可表示一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度（4）無(wú)散場(chǎng)可表示一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度2023/4/1351第51頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（5）標(biāo)量場(chǎng)的梯度的散度為（6）矢量場(chǎng)的旋度的旋度為3、運(yùn)算于乘積（1）2023/4/1352第52頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2023/4/1353第53頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（2）2023/4/1354第54頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）2023/4/1355第55頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（4）（5）2023/4/1356第56頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，