電路方程的矩陣形式簡

電路方程的矩陣形式簡1第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一(1)在圖G上作一閉合曲面，使其包圍某些結(jié)點，如果把與此閉合面相切割的所有支路移去，G將被分離為兩部分，這樣的一組支路便構(gòu)成一個割集(2)Q1~Q7均為割集。連通圖(3)注意：支路的集合(a,d,e,f)和(a,b,c,d,e)不是G的割集。(4)同一割集的所有支路電流滿足KCL。(5)對應(yīng)一組線性獨立的KCL方程的割集稱為獨立割集。2第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一“樹”——一個連通圖G的“樹”T包含G的全部結(jié)點和部分支路，而“樹”T本身是連通的且不包含回路。樹支——樹中包含的支路。連支——除樹中包含的支路以外的其它支路圖中實線為樹支，虛線為連支借助“樹”的概念可以確定一組獨立割集。(2)樹是連接全部結(jié)點所需的最少支路的集合。(1)

連支的集合不能構(gòu)成一個割集。(3)每一條樹支都可以與相應(yīng)的一些連支構(gòu)成割集。這種割集稱為單樹支割集或基本割集。(4)

：具有n個結(jié)點和b條支路得連通圖，其樹支數(shù)為(n-1)，所以有(n-1)個單樹支割集或基本割集，即獨立割集組。3第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一基本割集組注意：獨立割集不一定是單樹支割集。如同獨立回路不一定是單連支回路一樣。對于右圖(1)選支路(2,3,4,6)為樹支，其余為連支。(2)G1,G2,G3,G4組成基本割集組。4第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣有向圖的拓撲性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述。圖的結(jié)點與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)一、關(guān)聯(lián)矩陣例：對于右圖(1)若一條支路與兩個結(jié)點相連，則稱該支路與這兩個結(jié)點相關(guān)聯(lián)。(2)

支路與結(jié)點的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣描述。(3)

對于n個結(jié)點、b條支路的有向圖，其有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為Aa=(n×b)階矩陣。ajk=+1表示支路k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)且它的方向背離結(jié)點ajk=-1表示支路k與結(jié)點j關(guān)聯(lián)且它的方向指向結(jié)點ajk=0表示支路k與結(jié)點j無關(guān)結(jié)點支路5第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一矩陣中，列對應(yīng)支路，行對應(yīng)結(jié)點分析以上矩陣，每一列只有兩個非零元素，(即每一條支路只與兩個結(jié)點有關(guān))任何一行可以由其他(n-1)行導(dǎo)出。將Aa中劃去任一行，得到如下降階關(guān)聯(lián)矩陣A注意：被劃去的行所對應(yīng)的結(jié)點可以作為參考結(jié)點6第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一用一個b階列向量表示b條支路電流用矩陣A左乘電流列向量i，得到一個(n-1)階列向量顯然，Ai=0——（15-2）是用A矩陣表示的KCL方程7第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一例如，對于右圖，有：8第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一用一個b階列向量表示b個支路電壓對于右圖，有：(n-1)個結(jié)點電壓可以用一個(n-1)階列向量表示有是用矩陣A表示的KVL方程——（15-3）9第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一二、回路矩陣(1)一個回路由某些支路組成，則這些支路與該回路關(guān)聯(lián)(2)

支路與回路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣描述。(3)

對于獨立回路為l、支路數(shù)為b的有向圖，其有向圖的回路矩陣(獨立回路矩陣)為B=(l×b)階矩陣。bjk=+1表示支路k與回路j關(guān)聯(lián),且它們的方向一致bjk=-1表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反bjk=0表示支路k與回路j無關(guān)例如，右圖獨立回路數(shù)為3，其回路矩陣為：12334回路支路10第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一如果所選獨立回路對應(yīng)一個“樹”的單連支回路組(基本回路組)，則此回路矩陣就稱為基本回路矩陣Bf

。例如，右圖選支路(3、5、6)為樹支，(1、2、4)為連支。則基本回路矩陣為：123注意：寫B(tài)f

時，(1)矩陣由第一列開始先排連支，再排列樹支。(2)取每一單連支的方向為對應(yīng)回路的繞行方向，所以有：Bf=[1l|Bt]顯然，Bf中有一個l

階的單位子矩陣11第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一用一個b階列向量表示b個支路電壓用矩陣B左乘電壓列向量u，得到一個l

階列向量顯然，Bu=0

——（15-5）是用B矩陣表示的KVL方程12第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一123對于右圖13第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一若l個回路電流用一個l階列向量表示則每一對應(yīng)支路電流與回路電流的關(guān)聯(lián)情況為：例如，對于右圖，有：123即：為矩陣B表示KCL的矩陣形式——（15-6）14第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一三、割集矩陣(1)一個割集由某些支路構(gòu)成，則這些支路與該割集關(guān)聯(lián)(2)

支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述。(3)

對于結(jié)點數(shù)為n(獨立結(jié)點為n-1)

、支路數(shù)為b的有向圖，其獨立割集數(shù)為(n-1)。有向圖的割集矩陣(獨立割集矩陣)為Q=(n-1)

×b階矩陣。qjk=+1表示支路k與割集j關(guān)聯(lián),且它們的方向一致qjk=-1表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，且它們的方向相反qjk=0表示支路k與割集j無關(guān)對于右圖(注意割集方向)15第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一如果將一組單樹支割集選定為一組獨立割集，則此割集矩陣就稱為基本割集矩陣Qf

。例如，右圖選支路(3、5、6)為樹支，(1、2、4)為連支。則基本割集矩陣為：注意：寫Qf

時，(1)矩陣由第一列開始先排樹支，再排連支。(2)取每一單樹支序號與樹支所在列的序號相同，且割集方向與相應(yīng)樹支方向相同，則Qf=[1t|Q1]顯然，Qf中有一個lt

階的單位子矩陣16第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一由于屬于一個割集的所有支路電流的代數(shù)和等于零，所以有：Qi=0

——（15-9）對于右圖(注意割集方向)顯然，Qi=0，是用Q矩陣表示的KCL方程Q1Q2Q3即：為矩陣Q表示的KCL的矩陣形式17第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一若(n-1)個樹支電壓用(n-1)階列向量表示則每一條支路電壓與樹支電壓的關(guān)聯(lián)情況為：例如，對于右圖，有：即：支路電壓可以用樹支電壓(割集電壓)表示ut1ut2ut3即：為矩陣Qf表示的KVL的矩陣形式—（15-10）18第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一注意比較式（15-2）、（15-3）、（15-9）、（15-10），在形式上有相似之處，對于某些圖，有Qf=AAi=0——（15-2）是用矩陣A表示的KVL方程——（15-3）是用A矩陣表示的KCL方程Qi=0

——（15-9）為矩陣Q表示的KCL的矩陣形式為矩陣Qf表示的KVL的矩陣形式——（15-10）Bu=0

——（15-5）用矩陣B表示KCL的矩陣形式——（15-6）用矩陣B表示KVL的矩陣形式19第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一15-5結(jié)點電壓方程的矩陣形式結(jié)點電壓法以結(jié)點電壓作為電路的獨立變量，并用KVL列出足夠的獨立方程在結(jié)點電壓法中，復(fù)合支路為這里，(1)不允許存在無伴電壓源支路；(2)允許存在受控電壓源。20第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一1、復(fù)合支路中，且電感之間無耦合，則對于第k條支路有：則對于整個電路有：其中Y為支路導(dǎo)納矩陣，是對角陣——（15-15）2、復(fù)合支路中，且電感之間有耦合，則對于整個電路有：其中Y為支路導(dǎo)納矩陣，為非對角陣，其主對角線元素為各支路阻抗，非對角線元素為相應(yīng)的支路之間的互感阻抗21第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一3、復(fù)合支路中，則對于第k

條支路有：若為VCCS若為CCCS22第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一Ykj=gkj(為VCCS時)kjYj(為VCCS時)所以有：23第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一即：其中Y為支路導(dǎo)納矩陣，也不再是對角陣由KCL方程KVL方程(為支路電流列向量)可以推導(dǎo)出結(jié)點電壓方程的矩陣形式(表示了結(jié)點電壓列向量與支路電壓列向量的關(guān)系)和支路方程——（15-16）上式中的每一項均為(n-1)階列向量，其中AYAT

為(n-1)階方陣Yn為結(jié)點導(dǎo)納矩陣，為由獨立電源引起的注入結(jié)點的電流列向量。24第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期一