研究生矩陣論及其應(yīng)用課后答案習(xí)題一

習(xí)題一

1.檢驗(yàn)以下集合對于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域的線性空間:

(1)設(shè)A是〃階實(shí)數(shù)矩陣.4的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式/(A)的全體，對于矩陣的加法

和數(shù)乘：

(2)平面上不平行于某一向量所組成的集合，對于向量的加法和數(shù)與向量的

乘法;

(3)全體實(shí)數(shù)的二元數(shù)列，對于如下定義的加法十和數(shù)乘。運(yùn)算:

(a,b)十(c,d)=(a+c,b+d+ac),女。(a,b)=(ka,kb+^—^-^-a2)

(4)設(shè)是一切正實(shí)數(shù)集合，定義如下加法和數(shù)乘運(yùn)算:

a@b-ab,koa-ak

其中a,bGR+,keR；

(5)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解的集合，對于通常函數(shù)的加法和數(shù)

乘；

(6)設(shè)V={x|x=qsinf+c,sin2,4\-cksinkt,cieR,O<t<24},V中

元素對于通常的加法與數(shù)乘，并證明：{sinf,sin2f,…,sink”是V的?個(gè)基，試

確定q.的方法.

解(1)是.

令匕={/(A)|/(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，A為"X”矩陣}.由矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)

算知，

/(A)+g(A)=KA),lrf(A)=J(A),

其中女為實(shí)數(shù)，/*),〃(x),d(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.匕中含有A的零多項(xiàng)式，為匕的

零元素./(A)有負(fù)元-/(A)e由于矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算滿足其它各條，故匕關(guān)

于矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.

(2)否例如以那個(gè)已知向量為對角線的任意平行四邊形的兩個(gè)鄰邊向量，它

們的和不屬于這個(gè)集合，因此此集合對向量的加法不封閉.

(3)是.封閉性顯然成立.下面證明此集合滿足線性空間的八個(gè)要求.

任取該集合中的三個(gè)元素，設(shè)為a=(a,b),/3=(c,d)，r=(7,g),以及任意實(shí)

數(shù)鼠/，則有

①a十￡=(a+c,Z?+d+ac)=2+a;

②(a十尸)十y=(a+c,b+4+ac)十y

=((a+c)+/,(b+d+ac)+g+(a+c)/)

=(a+(c+f),h+(d+g+cf)+a(c+/))

=a!?(c+/,</+/+cf)=[十(￡十y);

③存在(0,0),使得

(a,h)十(0,0)=(a+0/+0+aO)=(a,b),

即(0,0)為零元;

④存在(—a,a2—匕),使得

(a,b)?(-a,a2-b)-(a-a,b+(a2-b)+a(-a))-(0,0),

即(一a,)一協(xié)是(a,協(xié)的負(fù)元;

⑤1。(。,6)=(la,g+&//)=g,b)

⑥k。(I。a)=k。Q。(a,b))=k。(la,lb+—-a2)

2

/(/-1)2\k(k—1)2、

=(/zk(/l/a)x,k(lb+-----Q-)H-------------(la))

22

=(kla,(kl)b+a2)=(制)。伍,份=(&/)。。；

⑦(A+/)。a=(A+/)。(a,b)=((k+l)a,(k+l)b+(”+，)(("+4T])

2

=(ka+la,(kb+~~—a2)+(lb+—~~—a2)+(ka)Qa))

22

=(ka,kb+他二?a?)十Qa」b+國二*a?)

22

=A：o(a,0)+/o(a,/?)=Zoa++/oa；

⑧％。(a十,)=Zo(〃+c,b+d+ac)

,jj,jjk(k-1)2\/ijk(k—1)2xz?w

=(zka+kb,(kbH----------tz**)+(kdH-----------c2)(ka)(kc))

22

,jk(k—1)2\ZT\/ziJk(k-1)2\

=(ZJka.khd-----------a)十(kjkdd-----------c)

22

=(koa)@(k。0).

(4)是.對任意a,b￡R+,有a十b=abeR'；又對任意攵￡R和〃wR'，

有左。a=a*eTT,即R+對所定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉。

下面來檢驗(yàn)R+對于這兩種運(yùn)算滿足線性空間的八條運(yùn)算律：

①a^b=ab=ba=b^a

②(a十。)十c=(ab)十c=(ab)c=a(bc)=a十S十c)

③1是零元素：a?l=a-l=a

④a的負(fù)元素是。一：a十a(chǎn)-=aa~]=1

⑤1。。="=a

⑥k。(/。a)=k。a'=(〃')"=alk—(Ik)。a

⑦(k+1)。a=ak+l=aka1=ak?a1=(k。a)十(l。a)

?ko(a?b)=ko(ab)=(ab)k=akbk=(k。a)十(k。b)

所以R+對這兩種運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間.

(5)否.設(shè)匕={y(x)a+%y'+aoy=/(x)J(x)#o}，則該集合對函數(shù)的

加法和數(shù)乘均不封閉.例如對任意的必，為+乃仁匕?故不構(gòu)成線性空間.

(6)是.集合V對函數(shù)的加法和數(shù)乘顯然封閉.零函數(shù)是V的零元素；對任意

的x=(7]sin，+。2sinItH-----Fcksinkt,-x=-qsinz-c2sin2t------cksinkt

是其負(fù)元素.由于函數(shù)的加法與數(shù)乘運(yùn)算滿足線性空間要求的其它各條，故集合V

關(guān)于函數(shù)的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.

為證明函數(shù)組sinf,sin2f,…,sink是"的-個(gè)基，由于丫中的任意函數(shù)均可

由該組函數(shù)表示，故只需證明sinf,sin2f,…,sinR線性無關(guān).設(shè)

/1sin/+4sin2fH■…+lksinkt-0,

分別用sin"(i=l,2,…，左)乘以上式，并從0到2萬求定積分，得

Ijjsintsinitdt+Z2Isin2tsinitdt-\-----F4]sinktsinitdt=0,

由于

Isinmtsinntdt=0(m,n=1,2,3???，加。幾)，

Isinmtsinntdt-7i(m-n-1,2,3---)?

故4=4=???=〃=0，即sin，,sin2，,???，sinh線性無關(guān).

設(shè)x=Gsin，+Qsin2f+…+qsinkt，則

Jxsinitdt=q],sintsinitdt+c2]sinItsinitdtH-----\-cksinktsinitdt=c/

故q=—[xsinifdf(i=1,2,…,A).

n*

2.求下列線性空間的維數(shù)與一個(gè)基：

(1)R"*"中全體對稱(反對稱、上三角)矩陣構(gòu)成的實(shí)數(shù)域R上的空間;

(2)第1題(4)中的空間；

(3)實(shí)數(shù)域R上由矩陣A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間，其中

■1001

八八-1+。3?2—31

AA=0CD0,CD=----------,CD=CD.0)=1

00/2-

解（1）設(shè)gj是第i行第j列的元素為1而其余元素全為0的〃階方陣.

E〃,i=j

①令瑞?二J上"，則今.是對稱矩陣，易證耳,…，居“*22,…，工”，

jj十口ji，I產(chǎn)J

…，工“線性無關(guān)，且對任意”階對稱矩陣4=（囪）…，其中傳=町，有

A=f聲」故尸”…，片”，尸22，…，尸2“，…，K"是R"、”中全體對稱矩陣所構(gòu)

,?=|J=1

成的線性空間的一組基，該線性空間的維數(shù)是"色+1）.

2

②令Gjj=Eu-EJivj）,則G..是反對稱矩陣，易證

Gm---,Gill,G23,--,G2n,…,Gi,線性無關(guān)，且對任意的〃階反對稱矩陣

4=（他）四，有4=￡￡*〃，故％,--0,&3，-一02.「一’％.“是上'中

r=lj=i+\

全體反對稱矩陣所構(gòu)成的線性空間的一組基，該線性空間的維數(shù)是四二D.

2

③對任意〃階上三角矩陣A=（%）”,“，其中閡=0?〉力，有

A=a>

EEA又…，耳”,后22,…，￡2“，…，E,”,均為上三角矩陣且線性無

,=1j=i

關(guān)，故它們是/?"*"中全體上三角矩陣所構(gòu)成的線性空間的一組基，該線性空間的

維數(shù)是妁上D.

2

（2）數(shù)1是該空間的零元素，于是非零元素2是線性無關(guān)的，且對于任一正

實(shí)數(shù)。，有。=2唾”'=10g2ao2,即R+中任意元素均可由2線性表示，所以2是

該空間的一組基，該空間的維數(shù)是1.事實(shí)上任意不等于1的正實(shí)數(shù)均可作為該空間

的基.

（3）因?yàn)?lt;y=-]+,ty2—co,co''=1,故

2

1,n=3m

n=3m+1(m=1,2,3---)

co1.n=3m+2

100E,n=3/77

于是A2=0?0,A3=E,An=<A,n=3m+1(加=1,2,3…)

00?A2,n=3m+2

則任意/(A)可以表示成E,A,1的線性組合.又E,A,A?是線性無關(guān)的.實(shí)際上,

設(shè)

攵1+&+攵3=0

2

kxE+k2A+k3A=0,即<勺+k2co+k3G=0,

勺+k2a)+k3a)=0

因?yàn)殛P(guān)于73的該方程組的系數(shù)行列式

111

1CDCD=3^(69—1)0,

1CDCD

故方程組只有零解，即匕=&=勺=0,于是E,A,A2線性無關(guān)，故E,A,T是

該空間的一組基，該空間的維數(shù)為3.

3.設(shè)P[x]表示實(shí)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式全體構(gòu)成的線性空間，問下列向量集合是否構(gòu)

成P[x]的子空間：

⑴{p(x)|p⑴=0}；

⑵{p(x)|p(x)的常數(shù)項(xiàng)為零};

⑶{p(x)|p(x)=p(—x)};

⑷{p(x)|p(x)=—p(—x)}.

解這四個(gè)向量集合都是P[x]的子空間.由于這些集合均包含零多項(xiàng)式，故非

空，下面證明這些集合對多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘是封閉的.

⑴設(shè)匕={p(x)|p⑴=0},對任意的p/x),p2(x)eVy,keR,由于

Pi⑴=026=。，故Pl⑴+。2⑴=°，31⑴=0，即

Pi(x)+。2(x)e匕,tip】(x)e匕，

因此匕是P[x]的子空間.

⑵設(shè)匕={p(x)\p(x)的常數(shù)項(xiàng)為零},對任意的P1(x),p2(x)eV2Je/?,

由于P](x),a。)的常數(shù)項(xiàng)均為零，故Pi(x)+J。)和kpQ)的常數(shù)項(xiàng)也均為零,

即

Pi(x)+P2(x)eV2,kp、(x)eV2,

因此匕是P[x]的子空間.

(3)設(shè)匕={p(x)|p(x)=p(—x)},對任意的P[(X)，P2(X)€匕,&eR,令

f(x)=Pi(x)+p2(x),g(x)=S(x),

由于PI(X)=PI(-X)，P2(X)=P2(-X)，故

f(x)=px(x)+p2(x)=px(-x)+p2(-x)=f(-x),

g(x)=kp](x)=kp](-X)=g(—x)

即

f(x)eV3,g(x)eV3,

因此匕是P[x]的子空間.

(4)設(shè)匕={p(X)|p(X)=-p(-X)},對任意的〃[0),〃2(了)€匕,攵€??,令

f(x)=Pi(x)+P2(x),g(x)=S](x)，

由于〃1（%）=一.|（一戲〃2（了）=一〃2（-%）,故

/（X）=P]（X）+。2（X）=-P\（-X）_P2（-X）=-/（-X）,

g（X）=kp]（x）=-kp{（-x）=-g（-x）

即

f（x）eV4,g（x）eV4,

因此％是P[x]的子空間.

4.證明下列向量集合組成線性子空間，并求基和維數(shù)：

（1）第偶數(shù)個(gè)坐標(biāo)為零的所有〃維向量；

（2）形如（。力,a力,…尸的所有〃維向量，其中a力為任意數(shù).

解（1）該集合可表示為

匕=<（為，了2,…，斗）|%cP,4=0?=1,2,…，->，

顯然該集合非空.又對任意的…,乙）6匕,月=（%,當(dāng)，…，式）《匕，

leP,由于a,力的第偶數(shù)個(gè)坐標(biāo)為零，故a+/和/a的第偶數(shù)個(gè)坐標(biāo)也均為零,

即

a+）3&Vt,laeVt,

因此匕是P"的線性子空間.

當(dāng)”=2攵（女=1,2,…）時(shí)-，V,中向量的一般形式為

匕的維數(shù)是左，向量組

弓=（1,0,0,0,…,0,0）,02=（0,0,1,0,…,0,0）,……,0=（0,0,0,0,…,1,0）

是匕的一組基.

當(dāng)〃=2k+l伙=1,2,…）時(shí)，乂中向量的一般形式為

(%,0,々,0廣、五,0,4+1),

匕的維數(shù)是攵+1,向量組

4=(1,0,0,0,…,0,0,03=(0,0,1,0,…,0,0,()口??,

,=(0,0,0,0,…，1,0,0),線u=(0,0,0,0,…,0,0,1)

是匕的一組基.

(2)該集合可表示為匕={(a,b,a/j-)[a,bep},顯然該集合非空.又對

任意的a=(%,伉,可，4，…)'W匕,/?=(。2，匕2,42,62'…)'€匕，I€P，有

T

?+/?=(?1+a2,b]+^2,?1+a2,bt+b2,---)&V2,la=(lavlb},lavlbv---YeV2

故匕是P"的線性子空間.

匕的維數(shù)是2,4=(1,0,1,0,…產(chǎn)品=(0,1,0,1,…尸是匕的一組基.

5.在尺4中求由基芻■2,芻,1到7,%,773，%的過渡矩陣，并求向量自在指定基

下的坐標(biāo)，設(shè)

a,2-i,o/,7=21,0,1)1

^=(1-1,1,17,%=初1,2,2)7,

芻=G121,1)「，〃3=G2,1,1,2)T,

1=61,-1,0,DI%=(1,3』,2)。

、=(1,0,0,0/在芻芻下的坐標(biāo);

。=(1,1,7i=(1,1,0,1)。

%=<2,1,3,17,

r

(1,-1,1,~17,73=a,i,o,o),

r

^4=a-1-1,17,74=0,l,-l,-D,

J=(1,0,0,-l)7在7,%，〃3，〃4下的坐標(biāo).

解設(shè)與=(1,0,0,0)r,4=(0,1,0,0)T,￡3=(0,0』,0了,句=(0,0,0,l)r.

(1)因?yàn)?/p>

（。,務(wù)芻，扁）=（￡i，￡2，q，￡4）A，(7，%，％，/)=(%，￡2，￡3,，

11-120-2r

2-121113

其中A,B=

-1110211,

011222

故(/，小，小，/)=(J，4，小，&)B=&,44，公A"B,

即由基。，芻,芻,1到的過渡矩陣為

001

101

111

010

又

則j=（1,o,o,oy■在。$,芻，4下的坐標(biāo)為

（2）因?yàn)?/p>

&,§2,43,4）=（鳳，G，％，〃）A,（7，%,〃3，%）=（￡1，￡2，￡3，￡4）8,

'11111Fl21o-

11-1-11111

其中A=,B=,

1-11-1030-1

1-1-11J[110-1

故(7-，〃4)=(G，卬/，4*=(0444)4"，

即由基。42,3,芻到7，%，小，”的過渡矩陣為

372-1

11-123

B=匕

4-130-1

1-10-1

、1卬j1、

00.0

又4=0=（￡|，￡2，￡3，電）0=（7,%，/，?。┑V

則g=（1,0,0,-1/在7,%，/，”下的坐標(biāo)為

6.在A,中給定兩個(gè)基

。=(1,0,0,0)。7九=21,-1,1)7

<2=0，1，0,0咒%=Q,3,I,O)T,

芻=0,0,1,0)7,小=6,3,2,1)T,

1=(0,0,0,1)7.%=66,1,3)7.

求一非零向量，使它在兩個(gè)基下有相同的坐標(biāo).

解設(shè)所求向量為它在給定的兩組基下的坐標(biāo)均為（X1,X2，X3，X4）T，即

=(7,%，%，%)

又

2056

]336

(%，%，%，/)=其中A="

—1121

1013

則

'xQ-1056

xxx1236x

2=A2，即(A-E)2=0,也即2=

-1111

X3X3

<X4>1012_kX4>

解之，得該方程組的通解為（c,c,c,-c）T,其中C為任意常數(shù).

故所求向量為g=(c,c,c,-c)T,其中C為任意非零常數(shù).

7.設(shè)

'100-

A=010,

312

求/?3*3中全體與A可交換的矩陣所生成子空間的維數(shù)和一個(gè)基.

解將A分解為

'000-

A=E+S,其中S=000,

311

abc

設(shè)5=q&q與A可交換，即=則有（￡+S）3=8（￡+S）,

a2b2c2

于是￡B=3S.即

000

000

3a+6+a23b+bt+b23c+G+c2

根據(jù)矩陣相等的定義，有

c=0

q=0

3。+%+2一3c2=0

3b+Z?|+h-,—C-)-0

解此方程組，得其通解為

11,1

"l=LM=，2'。2=，3'02，4，。2="'a=_§，3+，5，b=一§f：

其中4(i=1,2,…,5)為任意常數(shù).

于是

1111

-12-/+"0

B，20+t,B?+,383++,585

’3J’5

其中

222

000000

333

100,也010%000

000000100

則中任一與可交換的矩陣均可由表示，又

R3X34B?B2,B.,B4,B5

5”2,鳥,紇，區(qū)線性無關(guān)，則耳,屈,弱，線,紜是產(chǎn)中全體與A可交換的矩陣

所生成子空間的一組基，該子空間的維數(shù)是5.

8.設(shè)K,S是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間口劃中的兩個(gè)子集，其定義為

K={p(x)|p(x)=—p(—x),Vxe/?},S={p(x)|p(r)=p(x),Vxe/?}

證明:P[X]=zees.

證明對任意的p(X)€P[X],有

p(x)=g[p(x)+p(-x)]+g[p(x)-p(-x)]=Pl(x)+P2(x)，

其中P|(x)=g[p(x)+p(—x)]eK,p2(x)=^[p(x)-p(-x)]GS

即P[x]中的多項(xiàng)式均可表示為K中的多項(xiàng)式與S中的多項(xiàng)式的和，故

P[x]=K+S.

又KP|S={0},因?yàn)槿魀(x)eKnS,則p(x)=p(-x)=-p(x),故

p(x)=0.

從而K+S是直和，故P[x]=K十S.

9.設(shè)匕與匕分別是齊次線性方程組玉+x?+…+x,=0和%=々=-=x”

的解空間，證明：R"=K十匕.

證明方程組x,+x2+---+x?=0的解空間是n-\維

的0=(-1,1,0,…,0)7,。2=(一1，0，1L?，0)1一，%7=(-1，0,0「??，1尸是其一

組基，即

匕=Span(al,a2,---,an_l)t

方程組玉=X2=3=x.的解空間是1維的，a=(1,1,1,…,1),是其一組基.，即

V2=Span(a).

由于囚,。2,…，&T，。線性無關(guān)，故

乂+匕=Span(a1,a2<??,an_})+Span(a)=Span{ax,a2,???,an_x,a)=R〃,

又dimR〃=dimV+dim%,根據(jù)維數(shù)定理,有匕0匕={0},故R〃=匕十％.

10.設(shè)

匕={4=(他”/?“與=0,當(dāng)蜂/},

匕={4=(%€/?叫他=0,當(dāng)碑/},

證明：/?'"*"=X十匕.

證明：對任意的A=(羯)€即*",均存在矩陣8=(%)6匕及矩陣

C=(c..)€V2,其中

,[0，'>J[?,?；,i>j

nxnmxn

則R'=Vt+V2,又Kn%={。}，故R=Vt?V2.

ii.證明：和空間之匕為直和的充要條件是匕nz%={0}a=i,2,…,左).

i=lj*i

kA

證明必要性.設(shè)￡匕為直和，則對任意的aef匕，其分解式是唯一的.現(xiàn)

i=l/=1

對任意i證明匕={0}(i=l，2,…,左)任取a,用住匕，則零向量可表

評j豐i

示為

0=%+(f)(a,GVi,aieZ匕)，

刑

由于零向量的分解是唯一的，且0=0+0,故/=—6=(),即vnz%={0}-

件i

充分性.設(shè)匕nz%={0}a'=1,2,…,左),她ix匕中存在向量/有兩種分

jwi/=1

解式

/=%+%+…+%=4+尾+…+4a，匹￡匕/=1,2,???，幻

現(xiàn)證%=/?”％=夕2,…，%=4?假設(shè)有。產(chǎn)力，即％-力。0,由上式得

(%—/?[)+(%-42)---卜(％-A)=。，

則Z(4—%)=a廠gh。，而￡(4一%)=%-笈e匕ng匕，這與

j汨萬，間

匕nz%={o}矛盾，故e=/，。2=22，,、&=鳳，即之匕中任意向量的

，對/=1

分解式是唯一的，即￡匕為直和.

i=\

12.求下列由向量{a,}生成的子空間與由向量{?}生成的子空間的交與和的

維數(shù)和基：

%=(1,2,1,0)7,^=(2,-1,0,1/,

1?2=(-1,1,1,1/,2=(1，-1，3,7尸；

/=(1,2,一卜,2)7

/=(2,5,-6,-5)、

⑵?[2=(3,1,1,1)7,

[四=(-1，2,-7,3)7.

%=(—1,0,1,—17

解(1)設(shè)叱=印4〃@,02),%=小?！ㄈ裕?)，則

W}+W2-Span(a},a2)+Spa〃(4,/72)=Span(a},a2,,/72)

考慮向量組,,。2，4，河的秩和極大線性無關(guān)組，對矩陣(?1,。2，綜尸2)作初等變

換，

1-121121121

cc21-103017

(<Z],(X，2,B\,p2)_]]

0302-220013

011701170000

則因,。2,以為向量組囚,。2,四,河的極大線性無關(guān)組，故叱+嗎的維數(shù)為3,

%,%，自是叱+%的一組基,

因?yàn)閐imW|=dimW2=2，由維數(shù)定理知

dim(W1口嗎)=dim叱+dim%-dim(叱+%)=1，

設(shè)ae叱Pl必，a=%，+x2a2=芻夕]+x4瓦，有

-1-1-2-T

%22111

（。］，。2，-B\,-尸2）Z=0,即Z二0,

110-3不

<X4>01-1-7_kX4>

求其通解為（一猊43-3%,攵），攵為任意常數(shù).則a=+依%=%（一5,2,3,4）1,

故叱0%=卜（一5,2,3,4f為任意常數(shù)｝，（—5,2,3,4）「是叱口明的一組基?

（2）設(shè)％=Span?,a2,a3）,W2=Span（儀,/72）,則

陰+%=Span{a.,a2,a,)+Span(px,p2)=Span(a,,a2,a3,p,,p2)

對矩陣（囚,。20,晶尾）作初等變換，

-13-12~r■13-12-r

21052010-1-2

(a,a,a,/7,/?)=—>

l23l2-111-6-7001-2-3

-21-1-5300002

則%,。3，河為向量組%,見，。3，4，A的極大線性無關(guān)組，故叱+嗎的維數(shù)為

4,,,％,。3，力2是叱+卬2的一組基?

因?yàn)閐imW；=3,dim%=2，由維數(shù)定理知

dim(叱口嗎)=dim"+dimW2一dim(%+%)=1,

由于四=3%一。2-2%，故4€叱0也，則丹是叱口皿2的一組基.

13.設(shè)4=(%)是一個(gè)”階正定矩陣，而a^(xt,x2,---,xnY,

4=(M，%，…，K)'，在R"中定義內(nèi)積(a,/?)=&[/?，試證明：在這個(gè)定義下，

R"為歐氏空間.

證明由于矩陣A是正定矩陣，故47=A,且對任意的非零向量。，有

a'Aa〉。.則對任意的a,￡有

①(a,P)-aTA/3-(a7A/?)r=pTA'a=gAa=(￡,a)

②(ka,/3)-(ka)rA/3-k{a'A(3)=k(a,/3)

③(a+夕,y)=(a+/3)TAy=aTAy+0TAy=(a,/)+(￡,/)

?(?,?)=a'Aa>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)等號成立

則運(yùn)算(a,/7)=a,A6是內(nèi)積，故在這個(gè)定義下，R"為歐氏空間..

14.設(shè)

aa+b\

V=<a,b,ce/?>,

一J

作出V到R3的同構(gòu)對應(yīng).

解令A(yù)=II,4=°I,4=°°,則A，A,,4是v的一組

1oo-oo311123

基,

對于V中任意矩陣A=aa+b在基A，4，A3下有唯一的坐標(biāo)（a，b，c）r，則在

CC

矩陣與其坐標(biāo)之間建立對應(yīng)關(guān)系，即

「QQ+Z71

A=fT

cc

顯然，此對應(yīng)是同構(gòu)對應(yīng)，而這正是丫到R3的一個(gè)同構(gòu)對應(yīng).

15.設(shè)X是微分方程x"+x=0的解的全體

X=1x|x=acost+bsint,a,heR,0<t<2]}

證明：X與Aa同構(gòu).

證明由于函數(shù)組sinr,cost線性無關(guān)，且X中的函數(shù)均可由sin/,cost表

示，故函數(shù)組sinf,cost是X的?組基.對于X中任意函數(shù)x=acosf+bsinr在基

sin，,cost下有唯一的坐標(biāo)（。力尸，則在函數(shù)與其坐標(biāo)之間建立對應(yīng)關(guān)系，即

x-acost+hsint->（a,b）'

顯然，此對應(yīng)是同構(gòu)對應(yīng)，而這正是X到R?的一個(gè)同構(gòu)對應(yīng)，故X與心同構(gòu).

16.在R4中求一單位向量與（1,1「1,13C，一1:1,1）7（2,1,1,3）T正交.

解設(shè)a=（X”X2，X3，X4）T與已知的三個(gè)向量正交，貝IJ

玉+工2-工3+Z=0

<再一%一+%4=0

2xl+/+七+34=0

解之，得方程組的通解為

41

Xj=--t,x2=0,x3=--t,x4=f（r為任意常數(shù)）

取f=-3,得a=（4,0』,—3尸，單位化得

77=a=■■,—(4,0,1,—3)r

aV26

即為所求.

17.設(shè)￡1,￡2,q,Q,弓是中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，V=Span{al,a2,a3],Jt'P

%=￡i+￡5,4=￡1-J+4，。3=2與+￡2+J，求V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

解顯然%,a2，%是線性無關(guān)的?將其正交化，得

P\=%=0+￡5,

(%,4)。11

22=%-A=5巧-f2+￡4--￡5,

(凡㈤

⑸笈)(田，尸2)

A=?3-￡1一尸2=￡|+4+邑一￡5

(綜⑷(外△)

單位化，得

+/)，％=^(￡|-2￡2+2j—￡5)，〃3=g(￡|+4+J-￡5)

7

則7，%,小是丫的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.

18.設(shè)丫=。3,并對丫中任意的向量a=(陽,%2，無3)，夕=(%，、2，》3)，設(shè)內(nèi)積

3_

為(a,0)=Ex?,若a=(2,l+i,i)7,/?=(2-i,2,l+2i)r,計(jì)算(a/),

《=1

M』例及距離P(a,B),并驗(yàn)證Cauchy-Schwarz不等式.

解(a,^)=2-r^+(l+z)-2+z-l+21=8+5z；

||a||=J(a,a)=722+(l+z)(l-z)-i2="；

Ml=，(■〃)=7(2-0C2+D+22+(1+20(1-20=V14

因?yàn)閨(a,/7)|=J(8+5i)(8—5i)=底，底勺麻二不歷,故

|(a,創(chuàng)41alM

又a—，=(i,—1+i,-1—i)，貝II

P(a,尸)=||a-夕||=^a-/3,a-/3)=>J-i2+2-(l+z)(-l-z)=A/5.

19.用Schmidt正交化方法，將內(nèi)積空間V的給定子集S正交化，再找出V的

標(biāo)準(zhǔn)正交基，并求出給定向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)：

(1)V=/?4,S={(1,2,2,-l)r,(1,1,-5,3)r,(3,2,8,-7)r},a=(3,1,1,-3)r；

(2)V=R\s=卜2』,3,—1尸,(1,1,—6,0)T,(5,7,7,8)，},a=(2,1,3,-1/；

(3)V^P^x],定義內(nèi)積為(九g)=,6=|l,x,x2}j(x)=l+x.

7r

解：(1)設(shè)a,=(1,2,2,-1),a2=(l,l,-5,3),a3=(3,2,8,-7/,由于

線性無關(guān)，令

4=%=(1,2,2,—1尸,

（%，四）

自=(2,3,-3,2尸,

P2=a2—

（四㈤

（%，4）（%，￡2）

43=%.A-(2,-1-1-2r)

(凡⑷（夕2血）

則目，片,四是與%,%，%等價(jià)的兩兩正交的向量組?

設(shè)一=（%,尤2，彳3，苫4）'是與?，夕2,尸3均正交的向量，即

玉+2X2+2X3-x4=0,

v2xl+3X2-3X3+2X4=0,

2玉-x2-x3-2X4=0

解之，得方程組的通解為C（L-1,1,1）,，其中c為任意常數(shù).

令A(yù)=（l,—1,1,1）"則片，夕2,夕3,凡是丫的一組正交基，將其單位化得V的

一組標(biāo)準(zhǔn)正交基:

(1,2,2,—1尸,匕=」(2,3,—3,21,

726

r3

向量a=(3,1,1,-3尸在標(biāo)準(zhǔn)正交基八,七,九，九下的坐標(biāo)為

((a,6),。,%),。,%),。,％))'=(所，。，麗,。)’.

(2)設(shè)/=(2,1,3,-1)',。2=(1』,一6,0),,a3=(5,7,7,8)，,/。2,火線

性無關(guān)，令

4=%=(2,1,3,-1y，

(a2,笈)

/?=a—月=(3,2,-3,-1了,

22(玲⑷

(%,22)

(。3,4)用=(1,5,1,10)。

43=%一P\~

(四4)

則回，夕2，河是與%％等價(jià)的兩兩正交的向量組?

設(shè)A=(%,％2，苫3，34)'是與/?1,/?2，四均正交的向量，即

2X1+x2+3X3-%=0,

3X1+2X2-3X3-x4=0,

玉+5X2+x3+IOX4=0

解之，得方程組的通解為c(-121,157,6,-67/■，其中c為任意常數(shù).

令4=(—121/57,6,-67尸，則%,g2,A，用是V的一組正交基，將其單位

化得V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：

1(2,1,3,—1)"=七(3,2,一3,一1了,

1(1,5,1,101,為=11(-121,157,6,—67)，

V43815

向量a=(2,1,3,-1)’在標(biāo)準(zhǔn)正交基外,外,%，九下的坐標(biāo)為

（（。,％）,（。,%）,（。，73），（。，%））'=（而,0,0,0）,

（3）設(shè)%=1,%=工"3=九？,由于%,%，％線性無關(guān)，令

B1=%=1,

（見，⑷

02=。2P\=X~~

0伙）1"

（。仇）_（%M）2卜""

3‘oP-x_1

-x+—

3,外'的血）2"f（X-；）2dx6

則回，尸2,四是與.，4，。3等價(jià)的兩兩正交的向量組?

由于Lx,/,/線性無關(guān)，由Schmidt正交化方法，令

2520

則目，夕2,夕3,A是V的一組正交基，將其單位化得V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基:

=

/i=1,/226x-G,

2空31+九」）

/3=6^5x-6小x+y/5,y4

5892520

317

向量/（x）=l+x在這組基下的坐標(biāo)為反汲°。-

20.用向量/=（1,0,2,11,%=（2,1,2,3y,%=（0,1,-2,1/生成子空間V,

求V的

正交補(bǔ)V1的基底及正交補(bǔ)空間vx.

解由于向量組,,<22,中，％=。2-2%，且％,。2線性無關(guān)，故四，。2是

向量組四,。2，。3的極大線性無關(guān)組，則V==Spa"(，,。2｝，即

ax,a2是V的一組基.

如果向量夕與正交，則僅與v正交；反之，如果夕與V彼，則尸

與囚,。2均正交，故丫的正交補(bǔ)V由滿足方程組

(/7,?,)=0,

(7?,a2)=0

的所有向量/?組成，設(shè)4=(斗乙,%3，%4)"則V就是方程組

%,+2X+x=0,

<34

2xl+4+2X3+3X4=0

的解空間.該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即V1的基底為

4=(-2,2,1,0)7,&=(-1,-1,0,1)7

而廠=Spa〃｛4,四｝.

21.判斷下列所定義的變換，哪些是線性變換，哪些不是？

(1)在線性空間V中，TC)=￡+a,其中awV是一固定向量；

(2)把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，7?)=孑；

(3)在。中,T(xl,x2,x3)=(x^,x2+x3,Xj)；

(4)在川中，T(xt,x2,x3)-(2X)-x2,x2+X3,Xj)；

(5)在7rx"中，T(Z)=BZC,其中E