2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點突破專題10指數(shù)函數(shù)含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE9專題10指數(shù)函數(shù)模塊一：指數(shù)冪運算1．根式⑴假如存在實數(shù)，使得(，，)，則叫做的次方根．⑵當(dāng)有意義的時候，叫做根式，叫做根指數(shù)．⑶根式的性質(zhì)：①，(，且)；②2．分數(shù)指數(shù)⑴規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義：⑵規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義：3．實數(shù)指數(shù)冪的運算法則；；（其中，，對隨意實數(shù)，）．考點1：分數(shù)指數(shù)冪運算例1.（1）．【解答】解：，故答案為：110例2.（1）已知，且，求的值．【解答】解：，①又，，②．，．③將②、③代入①式得．（2）已知，求的值．【解答】解：由，則，則，則，則，模塊二：指數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)且，叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)：圖象定義域值域性質(zhì)⑴過定點，即時，⑵在上是減函數(shù)⑵在上是增函數(shù)考點2：指數(shù)冪比較大小例3.(1)已知，，，則A． B． C． D．【解答】解：，，，又，，又，．故選：．(2)已知；；，則A． B． C． D．【解答】解：為減函數(shù)，，故，為增函數(shù)，，故，故，故選：．模塊三：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)重點講解內(nèi)層是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性的問題考點3：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)例4.（1）求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．【解答】解：依據(jù)題意，函數(shù)的定義域明顯為．令．是的增函數(shù)，當(dāng)時，（1），而．，即值域為，．當(dāng)時，為增函數(shù)，是的增函數(shù)，由越大推出越大，越大推出越大即越大越大即原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，；當(dāng)時，為減函數(shù)，是的增函數(shù)，由越大推出越小，越小推出越小，即越大越小即原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，．證明同上．（2）函數(shù)的值域為A． B． C．， D．，【解答】解：令單調(diào)遞減即故選：．（3）當(dāng)時，函數(shù)的值域為A．， B．， C．， D．，【解答】解：，設(shè)，，，則函數(shù)等價為，，，即函數(shù)的值域為，．故選：．例5.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）推斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．【解答】解：（Ⅰ）是上的奇函數(shù)，，則，解得，的解析式為；（Ⅱ），是上的減函數(shù)；證明如下：在上任取，則；，，，，；即；上的減函數(shù)．例6.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求，的值；（2）若在上是增函數(shù)，求不等式的解集．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，由題意知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)可知，解得由（1），知，解得．（2）由在上是增函數(shù)且為奇函數(shù)，即，則有，解得，不等式的解集為．例7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)．（1）求的值；（2）證明：函數(shù)是上的增函數(shù)；（3）是否存在使對隨意，均成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)．，解得．證明：（2）由（1）知，定義域為，在上任取，，令，，，，，，函數(shù)是上的增函數(shù)．解：（3）假設(shè)存在使對隨意，均成立，在上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，對隨意，均成立，，即，，解得．的取值范圍是，．課后作業(yè)：1.已知，則A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，故選：．2．．【解答】解：．故答案為：．3．已知，則7；．【解答】解：，，，，．故答案為：．4．假如函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是14，則實數(shù)的值為．【解答】解：設(shè)，則函數(shù)等價為，對稱軸為，若，則，此時函數(shù)的最大值為（a），即，即或，即或（舍，若，則，此時函數(shù)的最大值為，即，即或，即或（舍，解得，綜上3或；故答案為：3或；5．求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．【解答】解：函數(shù)的定義域為；令，則，，，，，即函數(shù)的值域為，，在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，為減函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，6．已知．（1）推斷函數(shù)的奇偶性