第4章傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間實現(xiàn)

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線性系統(tǒng)理論鄭大鐘版

第四章傳遞函數(shù)矩陣的

狀態(tài)空間實現(xiàn)

4.1實現(xiàn)的基本概念和屬性

4.2有理分式傳遞函數(shù)矩陣的典型實現(xiàn)4.3基于MFD的典型實現(xiàn)4.4不可簡約MFD的最小實現(xiàn)

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4.1實現(xiàn)的基本概念和屬性

一實現(xiàn)的定義和屬性1實現(xiàn)的定義

假設(shè)已知線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣G(s)，若找到狀態(tài)空間模型{A,B,C,E}使得

G(s)C(sIA)BE

1

成立，則稱此狀態(tài)空間模型為已知的傳遞函數(shù)矩陣的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)。

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2實現(xiàn)的屬性：

實現(xiàn)維數(shù)=dimA

：

維數(shù)可不同，同維的參數(shù)也可不同

對于傳遞函數(shù)陣G(s)的一個維數(shù)最低的實現(xiàn)，稱為G(s)的最小實現(xiàn)或不可約簡實現(xiàn)。

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二最小實現(xiàn)的相關(guān)定理

：

設(shè)嚴(yán)格真有理函數(shù)陣G(s)的實現(xiàn)為{A,B,C},則其為最小實現(xiàn)的充要條件是{A,B,C}既對給定的傳遞函數(shù)矩陣G(s),其最小實現(xiàn)不是唯一的，但所有

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：

設(shè)分子分母互質(zhì)的真有理函數(shù)g(s)的實現(xiàn)是{A,b,c,d},當(dāng)且僅當(dāng)時，實現(xiàn){A,b,c,d}是g(s)的最小實現(xiàn)。：

設(shè)真有理函數(shù)矩陣G(s)的實現(xiàn)是{A,B,C,D},當(dāng)且僅當(dāng)時，實現(xiàn){A,B,C,D}是G(s)的最小實現(xiàn)。

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三能控類實現(xiàn)和能觀測類實現(xiàn)

{A,B,C，E}為G(s)的一個能控類實現(xiàn)的充要條件是：

G(s)C(sIA)BE{A,B}能

控且有指定形式

1

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{A,B,C，E}為G(s)的一個能觀類實現(xiàn)的充要條件是：

G(s)C(sIA)BE{A,C}能觀且有特定形式

1

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4.2有理分式傳遞函數(shù)矩陣的典型實現(xiàn)

一

標(biāo)量傳遞函數(shù)的典型實現(xiàn)

能控規(guī)范形實現(xiàn)能觀測規(guī)范形實現(xiàn)

并聯(lián)形實現(xiàn)（約當(dāng)形實現(xiàn)）串聯(lián)形實現(xiàn)

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二傳遞函數(shù)矩陣的典型實現(xiàn)G(s)嚴(yán)格真，有理分式形式表達，即

G(s)[gij(s)],i1,2,q;j1,2,p;令d(s)為gij(s)的最小公分母,記為d(s)skk1sk11s0則G(s)可表為11G(s)P(s)[Pk1sk1P1sP0]d(s)d(s)形式上類似于SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù),只不過分子的系數(shù)變成了矩陣.

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1.能控形實現(xiàn)

Ip0pp

0

Akpkp

0

0Ip1Ip

C[P0,P1,,Pk1]qkp

Ip

0

0,Bkpp

0Ip

Ik1Ipp

注：(1)形式上與SISO系統(tǒng)的能控規(guī)范形一樣,數(shù)都變成了矩陣.

(2)一定是能控的,但不一定是能觀的.

(3)由此求最小實現(xiàn)時,要按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解.

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2.能觀測形實現(xiàn)

0qq00Iq

IqAkqkq

0

Iq

C[0,0,,0,Iq]qkq

0IqP0

P1Iq

1

,Bkqp

P

k2Pk1Iq1k

注：(1)形式上與SISO系統(tǒng)的能控規(guī)范形一樣,數(shù)都變成了矩陣.

(2)一定是能觀的,但不一定是控的.

(3)由此求最小實現(xiàn)時,要按能控性進行結(jié)構(gòu)分解.(4)維數(shù)與能控性實現(xiàn)可能不同.

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4.3基于MFD的典型實現(xiàn)

G(s)qp嚴(yán)格真

右MFD:G(s)N(s)D(s)左MFD:G(s)A(s)B(s)

1

1

D(s)列既約,控制器形實現(xiàn)A(s)行既約,觀測器形實現(xiàn)

一.構(gòu)造控制器形實現(xiàn)

1控制器實現(xiàn)的定義

G(s)N(s)D(s)嚴(yán)格真,D(s)列既約,ciD(s)ki,i1,2,,p

1

稱一個狀態(tài)空間描述

p

AcxBcuxyCcx

為控制器形實現(xiàn),

其中dimAkn,C(sIA)1BN(s)D1(s)

icccc

i1

{Ac,Bc}為完全能控且具有指定形式

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2MFD的核

引入列次表達式：

ss1

(s)

k11

D(s)DhcS(s)Dlc(s)N(s)Nlc(s)sS(s)

k1

p

kn,ikpi1s

kp1

s

s1

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可導(dǎo)出構(gòu)造(s)u

(Ac,Bc,Cc)0(s)u

的結(jié)構(gòu)圖0(s)y

D

1hc

(s)S1(s)

Nlc

(s)y

1DhcDlc

稱

(s)S1(s)

為核心右MFD。

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1(s)(s)N(s)ysNsD()()(s)u(s)D(s)(s)u(s)u[DhcS(s)Dlc(s)](s)(s)y(s)Nlc(s)0(s)y11(s)S(s)(s)DhcDlc(s)(s)Dhcu0(s)u

(s)u0(s)S(s)(核)(s)yss()()011(s)u0(s)DhcDlc(s)(s)Dhcu(外圍)(s)Nlcy0(s)y

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3核實現(xiàn)(Aoc,B

,C)的構(gòu)造

1

ococ

只要構(gòu)造出(s)S(s)的實現(xiàn),后面就只是代數(shù)運算了.(s)10(s)S(s)(s)u(s)核:,(s)yss()()(s)0

ps

k1

k11(s)s1(s)

u(s)u00(s)

kpkpsp(s)s(s)p

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ss1

0(s)y

k11

(s)sk1111(s)(s)1(s)2kp1kp1sp(s)s

(s)p

(s)sp

1

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定義狀態(tài)變量

1(k11)(k1)1(k2)120推出u0,取xy0(kp1)(kp)pppy0Inx0Cc0x0

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01(k11)0(k1)1011(k1)1(1)010(k2)1120