晶面和晶向?qū)W習(xí)

晶面和晶向?qū)W習(xí)第1頁/共42頁§1.3晶向、晶面和它們的標(biāo)志1.3.1晶向及晶向指數(shù)1.晶向通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))。過一格點可以有無數(shù)晶列。第2頁/共42頁(3)晶列族中的每一晶列上，格點分布都是相同的；(4)在同一平面內(nèi)，相鄰晶列間的距離相等。(1)平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點；(2)晶列上格點分布是周期性的；第3頁/共42頁晶列的特點第4頁/共42頁2.晶向指數(shù)如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為(1)用固體物理學(xué)原胞基矢表示如[121]表示為固體物理學(xué)原胞基矢如遇到負(fù)數(shù)，將該數(shù)的上面加一橫線。其中為整數(shù)，將化為互質(zhì)的整數(shù)，記為[]，[]即為該晶列的晶列指數(shù)。第5頁/共42頁(2)以布拉維原胞基矢表示如果從晶列上一個格點沿晶向到任一格點的位矢為其中為有理數(shù),將化為互質(zhì)的整數(shù)m,n,p,記為[mnp]，[mnp]即為該晶列的晶列指數(shù).OABCDE例1：如圖在立方體中，D是BC的中點，求BE,AD的晶列指數(shù)。解：晶列BE的晶列指數(shù)為：[011]第6頁/共42頁AD的晶列指數(shù)為:OABCDE求AD的晶列指數(shù)。注意:(1)晶列指數(shù)一定是一組互質(zhì)的整數(shù)；(2)晶列指數(shù)用方括號表示[]；(3)遇到負(fù)數(shù)在該數(shù)上方加一橫線。晶列(11-1)晶列[11-1]晶列(111)晶列[111](4)等效晶向。第7頁/共42頁在立方體中有，沿立方邊的晶列一共有6個不同的晶向，由于晶格的對稱性，這6個晶向并沒有什么區(qū)別，晶體在這些方向上的性質(zhì)是完全相同的，統(tǒng)稱這些方向為等效晶向，寫成<100>。[100][001][010][100][010][001]1.3.2晶面及密勒指數(shù)在晶格中，通過任意三個不在同一直線上的格點作一平面，稱為晶面，描寫晶面方位的一組數(shù)稱為晶面指數(shù)。1.晶面第8頁/共42頁(1)平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點；(3)同一晶面族中的每一晶面上，格點分布(情況)相同；(4)同一晶面族中相鄰晶面間距相等。(2)晶面上格點分布具有周期性；同一個格子，兩組不同的晶面族第9頁/共42頁2.晶面指數(shù)晶面方位晶面的法線方向(法線方向與三個坐標(biāo)軸夾角)晶面在三個坐標(biāo)軸上的截距(1)以固體物理學(xué)原胞基矢表示第10頁/共42頁如圖取一格點為頂點，原胞的三個基矢為坐標(biāo)系的三個軸，設(shè)某一晶面與三個坐標(biāo)軸分別交于A1,A2,A3,設(shè)晶面的法線ON交晶面A1A2A3于N，ON長度為d，d為該晶面族相鄰晶面間的距離，為整數(shù)，該晶面法線方向的單位矢量用表示，則晶面A1A2A3的方程為：A2A3OA1Nd第11頁/共42頁取為天然長度單位，則得：晶面的法線方向與三個坐標(biāo)軸(基矢)的夾角的余弦之比，等于晶面在三個軸上的截距的倒數(shù)之比。A2A3OA1Nd第12頁/共42頁可以證明：r,s,t必是一組有理數(shù)---阿羽依的有理數(shù)定理。設(shè)的末端上的格點分別在離原點距離h1d、h2d、h3d的晶面上，這里

h1、h2、h3為整數(shù)。(2)同一晶面族中的晶面平行且相鄰晶面間距相等,故在原點與基矢的末端間一定只有整數(shù)個晶面。(1)所有格點都包容在一族晶面上；因此給定晶面族中必有一個晶面通過坐標(biāo)系的原點；在基矢末端上的格點也一定落在該晶面族的晶面上；第13頁/共42頁取為天然長度單位得：又晶面的法線與三個基矢的夾角余弦之比等于三個整數(shù)之比。A2A3OA1Nd第14頁/共42頁可以證明h1，h2，h3一定是互質(zhì)的，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記為(h1h2h3)。任一晶面在坐標(biāo)軸上的截距r，s，t必是一組有理數(shù)。因為h1、h2、h3為整數(shù)，所以r、s、t必為有理數(shù)。綜上所述，晶面指數(shù)(h1h2h3)表示的意義是；(3)晶面的法線與基矢夾角的方向余弦的比值。(2)以為各軸的長度單位所求得的晶面在坐標(biāo)軸上的截距倒數(shù)的互質(zhì)比；(1)基矢被平行的晶面等間距的分割成h1、h2、h3

等份；第15頁/共42頁設(shè)末端上的格點分別落在離原點的距離的晶面上——最靠近原點的晶面在坐標(biāo)軸上的截距——整數(shù)——晶面間距第16頁/共42頁的倒數(shù)是晶面族中最靠近原點的晶面的截距——同族中其它晶面的截距是的整數(shù)倍晶面指數(shù)——標(biāo)記這個晶面系以布拉維原胞基矢

為坐標(biāo)軸來表示的晶面指數(shù)稱為密勒指數(shù)，用(hkl)表示。第17頁/共42頁立方晶格的幾種主要晶面標(biāo)記

第18頁/共42頁例2：如圖所示，I和H分別為BC，EF之中點，試求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指數(shù)。AEG

ABCD

DIHG111121h'k'l'在三個坐標(biāo)軸上的截距OABCDEFGHI第19頁/共42頁

AEG

ABCD

DIHG111121h'k'l'在三個坐標(biāo)軸上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的密勒指數(shù)是(111)；OEFG的密勒指數(shù)是(001)；DIHG的密勒指數(shù)是(120)。OABCDEFGHI第20頁/共42頁ABCDEFG例3:在立方晶系中畫出(210)、晶面。晶面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為：1(210)11密勒指數(shù)是(210)的晶面是ABCD面；(121)密勒指數(shù)是

的晶面是EFG面；第21頁/共42頁§1.4倒格子

——晶格具有周期性，一些物理量具有周期性勢能函數(shù)勢能函數(shù)是以為周期的三維周期函數(shù)第22頁/共42頁1.4.1倒格與傅里葉變換在任意兩個原胞的相對應(yīng)點上，晶體的物理性質(zhì)相同。上式兩邊分別按傅里葉級數(shù)展開：是正格矢。一定是倒格矢。第23頁/共42頁§1.4倒格倒格正格（點位）矢：倒格基矢倒格（點位）矢：晶體結(jié)構(gòu)=晶格+基元正格基矢正格一個晶體結(jié)構(gòu)有兩個格子，一個是正格，另一個為倒格。第24頁/共42頁1.4.1倒格定義倒格基矢定義為：其中是正格基矢，

與所聯(lián)系的各點的列陣即為倒格。是固體物理學(xué)原胞體積第25頁/共42頁倒格基矢的方向和長度如何呢？一個倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。第26頁/共42頁第27頁/共42頁第28頁/共42頁1.1.4.2倒格與正格的關(guān)系其中分別為正格點位矢和倒格點位矢。2.(為整數(shù))第29頁/共42頁3.(其中和*分別為正、倒格原胞體積)第30頁/共42頁4.倒格矢與正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其長度為。(1)證明與晶面族(h1h2h3)正交。第31頁/共42頁BCOA

設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，

ABC在基矢上的截距分別為。由圖可知：所以與晶面族(h1h2h3)正交。第32頁/共42頁(2)證明的長度等于。由平面方程：得：在晶胞坐標(biāo)系中，第33頁/共42頁晶體結(jié)構(gòu)正格倒格1.1.2.與晶體中原子位置相對應(yīng)；2.與晶體中一族晶面相對應(yīng)；3.是與真實空間相聯(lián)系的傅里葉空間中點的周期性排列；3.是真實空間中點的周期性排列；4.線度量綱為[長度]4.線度量綱為[長度]-1第34頁/共42頁已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格呢？晶體結(jié)構(gòu)正格正格基矢倒格基矢倒格第35頁/共42頁例1：下圖是一個二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點的排列。第36頁/共42頁倒格是邊長為