機(jī)器視覺空間幾何變換

機(jī)器視覺空間幾何變換第1頁/共45頁攝像機(jī)成像的幾何變換？射影幾何是三維計(jì)算機(jī)視覺的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。2.1空間幾何變換攝像機(jī)的成像過程是一個(gè)射影變換（透視或中心射影）的過程。第2頁/共45頁Figures?StephenE.Palmer,2002DimensionalityReductionMachine(3Dto2D)3Dworld2Dimage第3頁/共45頁第4頁/共45頁第5頁/共45頁P(yáng)rojectioncanbetricky…Slidesource:Seitz第6頁/共45頁P(yáng)rojectioncanbetricky…Slidesource:Seitz第7頁/共45頁成像幾何（ProjectiveGeometry）Whatislost?LengthWhichiscloser?Whoistaller?第8頁/共45頁成像幾何（ProjectiveGeometry）空間實(shí)際長度與圖像中的長度成一定比例放縮第9頁/共45頁P(yáng)rojectiveGeometryWhatislost?LengthAnglesPerpendicular?Parallel?第10頁/共45頁P(yáng)rojectiveGeometryWhatispreserved?Straightlinesarestillstraight第11頁/共45頁成像幾何（ProjectiveGeometry）消失點(diǎn)/無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（VanishingPoint）第12頁/共45頁成像特點(diǎn)（PropertiesofProjection）點(diǎn)（points）投影后為點(diǎn)；線（lines）投影后為線；平面（planesorpolygon）投影后為平面（可能不是整個(gè)平面）。特殊情況：經(jīng)過光心的線投影后退變?yōu)辄c(diǎn)；經(jīng)過光心的平面投影后退變?yōu)榫€。第13頁/共45頁無窮遠(yuǎn)元素平行線交于一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn);平行平面交于一條無窮遠(yuǎn)直線;

無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無窮遠(yuǎn)無窮遠(yuǎn)第14頁/共45頁在一個(gè)平面上,所有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)組成一條直線,稱為這個(gè)平面的無窮遠(yuǎn)直線.平行線無窮遠(yuǎn)直線無窮遠(yuǎn)元素第15頁/共45頁3維空間中所有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)組成一個(gè)平面,稱為這個(gè)空間的無窮遠(yuǎn)平面.無窮遠(yuǎn)元素?zé)o窮遠(yuǎn)平面平行線平行平面和直線第16頁/共45頁Vanishingpointsandlines

第17頁/共45頁Vanishingpointsandlines

VanishingpointVanishing

lineVanishingpointVerticalvanishingpoint(atinfinity)SlidefromEfros,PhotofromCriminisi第18頁/共45頁VanishingpointsandlinesPhotofromonlineTatecollection第19頁/共45頁Noteonestimatingvanishingpoints第20頁/共45頁射影空間

對(duì)n維歐氏空間加入無窮遠(yuǎn)元素,并對(duì)有限元素和無窮遠(yuǎn)元素不加區(qū)分,則它們共同構(gòu)成了n

維射影空間.

1維射影空間是一條射影直線,它由我們所看到

的歐氏直線和它的無窮點(diǎn)組成;2維射影空間是一個(gè)射影平面,它由我們所看到

的歐氏平面和它的無窮遠(yuǎn)直線組成;3維射影空間由我們所在的空間與無窮遠(yuǎn)平面組

成.第21頁/共45頁

在n

維空間中,建立歐氏坐標(biāo)后,每一個(gè)有限的點(diǎn)的坐標(biāo)為,對(duì)任意n+1個(gè)數(shù),如果滿足:

則被叫作這個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo).被稱作非齊次坐標(biāo).不全為0的數(shù)組成的坐標(biāo)被稱作無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo).齊次坐標(biāo)（HomogeneousCoordinates）第22頁/共45頁一維齊次點(diǎn)坐標(biāo)定義齊次坐標(biāo)（HomogeneousCoordinates）第23頁/共45頁二維齊次點(diǎn)坐標(biāo)定義有窮遠(yuǎn)點(diǎn)方向?yàn)棣?x2/x1的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)非齊次齊次坐標(biāo)關(guān)系

y軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(x,y)x=x1/x3,y=x2/x3(x1,x2,x3)(x3≠0)(x1,x2,0)(x1≠0)(λ=x2/x1)(0,x2,0)(x2≠0)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)齊次坐標(biāo)（HomogeneousCoordinates）第24頁/共45頁Homogeneouscoordinates ConversionConvertingtohomogeneouscoordinateshomogeneousimagecoordinateshomogeneousscenecoordinatesConvertingfromhomogeneouscoordinates第25頁/共45頁HomogeneouscoordinatesInvarianttoscalingPointinCartesianisrayinHomogeneousHomogeneousCoordinatesCartesianCoordinates第26頁/共45頁BasicgeometryinhomogeneouscoordinatesLineequation:ax+by+c=0Append1topixelcoordinatetogethomogeneouscoordinateLinegivenbycrossproductoftwopointsIntersectionoftwolinesgivenbycrossproductofthelines第27頁/共45頁homogeneouscoordinates Intersectionofparallellines第28頁/共45頁齊次坐標(biāo)（HomogeneousCoordinates）為什么要用齊次坐標(biāo)表示？可以表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。第29頁/共45頁射影變換(projectivetransformation)n維射影空間的射影變換:射影變換由Tp矩陣決定，有(n+1)2個(gè)參數(shù)，獨(dú)立參數(shù)(n+1)2-1個(gè)第30頁/共45頁1維射影變換:射影變換(projectivetransformation)3維射影變換:第31頁/共45頁仿射變換（Affinetransformation）仿射變換是射影變換的特例，當(dāng)射影中心平面變?yōu)闊o限遠(yuǎn)處時(shí)，射影變換就變成了仿射變換。第32頁/共45頁1維仿射變換:仿射變換（Affinetransformation）3維仿射變換:第33頁/共45頁比例變換（Metrictransformation）比例變換是帶有一比例因子的歐氏變換，其三維空間變換形式：比例變換有7個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移和1個(gè)比例因子。比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小，所以有時(shí)將比例變換稱為相似變換。第34頁/共45頁歐氏變換（Euclideantransformation）歐氏變換是在歐氏空間進(jìn)行的變換，與比例變換很類似，只是比例因子取為1。在三維歐氏空間其變換形式可表示為歐氏變換有6個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移。第35頁/共45頁在幾何變換中，某些幾何特性在變換前后具有不變化的特性。這樣的特性或特征量稱為不變特性或不變量。

2.2.1簡比與交比直線L上三個(gè)點(diǎn)A,B,C。以A、B為基礎(chǔ)點(diǎn)，點(diǎn)C為分點(diǎn)，由分點(diǎn)與基礎(chǔ)點(diǎn)所確定的兩個(gè)有向線段之比稱為簡比，記為一條直線上四個(gè)點(diǎn)中兩個(gè)簡比的比值稱為交比以O(shè)點(diǎn)為交點(diǎn)的任意4條直線的交比稱為線束交比2.2幾何變換的不變量第36頁/共45頁射影變換不變性和不變量如下:（1）同素性和接合性（2）保持直線上點(diǎn)列的交比不變。（3）

保持線束的交比不變。（4）如果平面內(nèi)有一線束的四直線被任一直線所截，則截點(diǎn)列的交比和線束的交比相等。（5）點(diǎn)列交比是射影變換的基本不變量，是射影變換的充分必要條件，且共線四點(diǎn)交比具有如下特性：不變量第37頁/共45頁仿射變換除具有以上射影變換不變性外，還具有如下特性:（l）兩直線間的平行性是仿射不變換。（2）共線三點(diǎn)的簡比是仿射變換的基本不變量。（3）兩個(gè)三角形的面積之比是仿射不變量。（4）兩條封閉曲線所圍成的面積之比是仿射不變量。比例變換除具有仿射變換的不變性外，還保持兩條相交直線的夾角不變，因此其形狀保持不變;歐氏變換不僅保持兩條相交直線的夾角不變，而且還保持任意兩點(diǎn)的距離不變，因此，其形狀和大小均保持不變。不變量第38頁/共45頁不變量

特征矢量CR反映了空間平面多邊形的結(jié)構(gòu)和形狀.第39頁/共45頁在機(jī)器視覺中，剛體變換經(jīng)常用于1、計(jì)算一個(gè)剛體經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移后的新坐標(biāo);2、計(jì)算同一個(gè)剛體在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。假設(shè)在歐氏空間有一點(diǎn)p，其在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是和，有變換其中，

2.3歐氏空間的剛