勒貝格積分和黎曼積分的聯(lián)系與區(qū)別

勒貝格積分和黎曼積分的聯(lián)系與區(qū)別摘要本文討論勒貝格積分是與黎曼積分的聯(lián)系與區(qū)別，勒貝格積分和黎曼積分積分之間有一種相依賴、相互補(bǔ)充、相互幫助及在特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，勒貝格積分在積分與極限換序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處。在實(shí)變函數(shù)里引入勒貝格積分是為了彌補(bǔ)黎曼積分的不足，可以擴(kuò)大可積函數(shù)類，降低逐項(xiàng)積分與交換積分順序的條件。勒貝格積分拓廣了黎曼積分的定義,使得可積性的條件要求減弱了。它斷言可測(cè)集上的有界可測(cè)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)必勒貝格可積,這比黎曼積分中要求連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的條件放松多了。它放松了黎曼積分要求函數(shù)序列的一致收斂的過強(qiáng)的要求。關(guān)鍵詞：勒貝格可黎曼可積勒貝格積分黎曼積分1、定義1.1黎曼積分定義設(shè)f(x)在kb］上有定義分割分劃，將C,b)添加n-1個(gè)分點(diǎn)T:x=a<x<x???<x<b=x將la,b]分成n0 1 2 n—1 n個(gè)小區(qū)間lx,x01lx,x01lx,x12n—1,xnAx2Ax21取近似VgL,x]s.t.f毛)Axii—1iii￡f毛)Axiii=1取極限令T=maxtx.}—T的細(xì)度，若lim工f《hx存在TOC\o"1-5"\h\zi ■I iiTi=1Jb(x味=lim藝f(g)A

a ItL0i=1 '1.2勒貝格積分定義設(shè)f(x)在有限可測(cè)集E上有界EE…E為E的n個(gè)互相不相交的可測(cè)子集且E=Ue稱D=(EE…E｝為E的一1 2 n i 1 2 ni=1個(gè)L-分劃設(shè)D=^EE…E},D'=￡'E'…E'h勻?yàn)镋的一個(gè)L-分劃，若對(duì)VE'eD存在12n 12nEeDs.t.E'uE稱D比D細(xì)(D是D的加細(xì))j i j設(shè)D=^EE…E}為E的一個(gè)L-分劃，b=inff(x)B=supf(x)稱1 2 n i ixeEi xeEiis(D',fL區(qū)bmE在劃分D下f(x)的小和iii=1

BmE在劃分D下f(x)的大和iii=12黎曼積分和勒貝格積分的聯(lián)系對(duì)于定義在訂上的函數(shù)f，如果它是黎曼可積的，則它勒貝格可積的，而且有相同的積分值，故我們平時(shí)解題算勒貝格積分時(shí)，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解，因?yàn)槲覀冊(cè)趯W(xué)數(shù)分時(shí)，已經(jīng)熟悉了黎曼積分。對(duì)于無界函數(shù)的積分或函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分，黎曼積分是作為廣義積分來定義的，這時(shí)要求右｝是單調(diào)增加的可測(cè)集合列，其并為E，若極限limJIf(x)dx存在，則f在Ek kT8 Ek上勒貝格可積，且有Jf(xbx=limJIf(x)dxE kT8EK當(dāng)E是矩體I且f(x)在每個(gè)I上都是有界連續(xù)函數(shù)，同時(shí)滿足kkklimJf(x)dx<s時(shí)，可以通過計(jì)算黎曼積分JfCkx而得到勒貝格積分EJ|f(x)dxEk而且計(jì)算方法與I的選擇沒有關(guān)系，只需保證b｝單調(diào)增加到并集E。kk例1：設(shè)f是區(qū)間b〕上的有界單調(diào)函數(shù)，f的不連續(xù)點(diǎn)至多是可列集，因此f在b〕上是幾乎處處連續(xù)的，又因?yàn)閒在la,b〕上是有界的，f在la,b〕上是黎曼可積的，所以也是勒貝格可積。但是，必須指出，具有廣義黎曼積分的函數(shù)并不一定勒貝格可積。例2:設(shè)f(x)=sinx，在數(shù)分中，f在t),8〕上的廣義黎曼積分收斂的，但不是絕對(duì)收斂x的而f在H8〕上不是勒貝格可積的平時(shí)我們?cè)诮饫肇惛穹e分時(shí)，有很多可以先化為求黎曼積分，下面我們看看幾個(gè)例子。例3:計(jì)算f(x)= 1在1,2〕上的積分解：用截?cái)嗪瘮?shù)求解f(x)是1,2］上的非負(fù)函數(shù)，作截函數(shù)[f(x)]<n1<x<[f(x)]<n1<x<1+—n31+—<x<2n3顯然，對(duì)每個(gè)［f(x)］均黎曼可積，故也勒貝格可積nff(x)]dx=(R?打ndx+(R)f2dx[1,]匚1\<3 3]n1+-n+1n3丿(2 2n2丿13-1=2 2n2于是ff(x)dx=limf[f(x)]dx[1,2] nTg[1,2] n(3 3 \=limnTg例4:設(shè)E=(0,g),E上函數(shù)[1]xxe(0,1]x-x-2xe(1,g)求ff(xbxE解：作截?cái)嗪瘮?shù)0<x<丄n2f(f(x)]=<n1<x<1n21<x<g1,nn1,nn2n=1,2,由于f(X)]在Enn上黎曼可積，故J[f(x)]dx=(R)J1x-2dx+(R)Jnx-2dx

En n卞 1n2=3-3n2=3-3n(L)f(x)dx=limJf(x)]dxE nsEn n‘3-3]n丿=limnT8=3勒貝格積分是黎曼積分的推廣與發(fā)展,是一種新型積分理論。相對(duì)于黎曼積分而言,勒貝格積分處理一些問題是相當(dāng)靈活與自然的，上面的例題就充分的說明了這點(diǎn)。3勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別黎曼積分相對(duì)勒貝格積分有明顯的局限性。勒貝格積分比黎曼積分有明顯的優(yōu)勢(shì)，它將可積函數(shù)類拓廣為有界可測(cè)函數(shù)。勒貝格積分的可積圍比黎曼積分廣泛，比如：b]上的連續(xù)函數(shù)黎曼可積，也勒貝格可積，此外，還有非黎曼可積，但勒貝格可積的例子有很多，如[0，1]上的狄立克萊函數(shù)[2]D(x當(dāng)"是無理數(shù)時(shí)就是黎曼不可積，但是勒貝格可積?！?當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)勒貝格積分包含了黎曼積分，這樣的結(jié)論：f(x)在la,b]上黎曼可積，則有勒貝格可積，且積分值相同。在數(shù)分中,經(jīng)常遇到的一個(gè)重要問題是兩種極限過程的交換次序問題,尤其是積分與函數(shù)列的極限的交換問題在那里，一般都是用函數(shù)列一致收斂的條件來保證極限運(yùn)算與

積分運(yùn)算的次序可以交換但是，“一致收斂”這個(gè)條件是過于苛刻了,這也暴露出黎曼積分定義的缺陷。其實(shí)黎曼積分與勒貝格積分大體上是相似的，僅從分割函數(shù)的定義域的角度來說，其區(qū)別在于黎曼積分所考慮的分劃（如定義），只是把原來的區(qū)間分解成有限多個(gè)小區(qū)間，而勒貝格積分的分劃則是把訂分成有限多個(gè)互不相交的可測(cè)子集，由定義對(duì)比可知，前者的分劃必是后者的分劃，所以黎曼意義下的大、小和必是勒貝格意義下的大、小和，故得到相同的積分值。因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的優(yōu)越性，所以平時(shí)我們運(yùn)用勒貝格積分解決黎曼積分中較難的問題。例5：計(jì)算61）黎曼函數(shù)R（x）=<*當(dāng)"二f為互質(zhì)正整數(shù)的積分「RCdx［3］。、0 當(dāng)x是無理數(shù)時(shí) 0這個(gè)函數(shù)在所有無理點(diǎn)處事連續(xù)的，在有理點(diǎn)是不連續(xù)的，雖然在61）中有無窮多個(gè)有理點(diǎn)，即黎曼函數(shù)在61）上的不連續(xù)點(diǎn)有無窮多個(gè)，但這個(gè)函數(shù)在61）仍然是黎曼可積的，且有卩f（x）dx二0，但是用黎曼積分方法來求其積分值比較復(fù)雜，然而用勒貝格積分的方法來求積分值就顯然十分簡(jiǎn)單了。解：由Rx）是黎曼可積ORx）幾乎處處連續(xù)，所以令A(yù)=B=（0,1）-A，貝I」ABAB=0+（L）JR=0+（L）JR（x）dx（L）J0?dm=0x2x3xet）,1大于3無理點(diǎn)xe（0,1］小于無理點(diǎn)xe（0,11有理點(diǎn)求打（x）求打（x）dx解：令gc）＜x2x3xefG)=gG)a.e.于t),1]f f(xl/x=f g(xl/x=f1gCxI/x1X3303b,1]1X3303=f3X3dx+f1X2dx=—0143=103324利用勒貝格積分可得出較黎曼積分比較深刻的結(jié)論,其中之一就是函數(shù)黎曼可積條件的推廣。利用勒貝格積分理論中的積分極限定理，可以證明［4］：la,b］上的有界函數(shù)fC）,黎曼可積的充分必要條件是fC）在L,b］上幾乎處處連續(xù)即不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度長度為0，這是黎曼積分的本質(zhì)特性,從黎曼積分的自身理論是推不出來的,必須借助勒貝格積分理論才能得到。但是黎曼積分也有它的優(yōu)勢(shì)，比如在非均勻分布時(shí)“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等等的問題上，用黎曼積分比較簡(jiǎn)捷方便?？偨Y(jié)：1、 勒貝格積分和黎曼積分積分之間有一種相依賴、相互補(bǔ)充、相互幫助及在特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系,它從數(shù)學(xué)側(cè)面驗(yàn)證了科學(xué)哲學(xué)思想中的對(duì)應(yīng)原理。2、 勒貝格積分拓廣了黎曼積分的定義,使得可積性的條件要求減弱了。它斷言可測(cè)集上的有界可測(cè)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)必勒貝格可積,這比黎曼積分中要求連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的條件放松多了。3、 勒貝格積分在積分與極限換序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處。它放松了黎曼積分要求函數(shù)序列的一致收斂的過強(qiáng)的要求。由勒貝格控制收斂定理可知,只要所給函數(shù)列可測(cè)、有界、收斂,積分與極限就可換序,這一點(diǎn)在三角級(jí)數(shù)、熱學(xué)研究中非常重要。4、 勒貝格積分并沒有完全否定和拋棄黎曼積分,它把黎曼積分作為一種特例加以概括,并且在一定條件下勒貝格積分可以轉(zhuǎn)化為黎曼積分。由此可見,勒貝格積分和黎曼積分各有自己的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值。在計(jì)算連續(xù)函數(shù)的積分時(shí),黎曼積分要比勒貝格積分簡(jiǎn)便、優(yōu)越。但勒貝格積分是積分發(fā)展史上的一次革命,它使得積分論在集合論、測(cè)度論的基礎(chǔ)上走向現(xiàn)代化,從而有可能在現(xiàn)代水平的層次上向其它現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支滲透,促進(jìn)了其它學(xué)科的發(fā)展,特別是三角級(jí)數(shù)和函數(shù)序列方面。概率論,