勾股定理的證明及應用

勾股定理的證明及應用【重點】g學習勾股定理的文化背景，欣賞歷史上經典的勾股定理證明方法，體會其蘊含的創(chuàng)新思維，初步運用勾股定理分析處理具體問題【難點】：加通過圖示欣賞，還原推測圖示所含的證明方法【勾股文化學習】勾股定理是歐式平面幾何的一個核心結果，是三角學的出發(fā)點，與“黃金分割”一起被開普勒稱為“幾何學兩個寶藏”。它在'RT△的三條邊之間建立了固定關系'使人們對原來幾何學的感性認識精確化，其中體現(xiàn)出來的“數形統(tǒng)一”的思想方法，啟發(fā)了人類對數學的深入思考，促成了解析幾何與三角學的建立，使數學的兩大門類代數和幾何結合起來，許多大科學家都認為勾股定理以及處理數據的數學方法深深地影響了現(xiàn)在許多學科的思考模式。千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名的數學家、畫家，也有業(yè)余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。在西方國家，一般稱勾股定理為畢達哥拉斯（前500）定理，因為人們相信是畢達哥拉斯最早提出并證明了這一定理。并且據說，他在發(fā)現(xiàn)這一結論時，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈。因而這一定理又有了“百牛定理〃的稱法。在法國和比利時這個定理被稱為“驢橋定理”。在中世紀的阿拉伯國家和印度，這一定理還有一個綽號，叫“新娘圖。'至于綽號由來，現(xiàn)代人眾說紛紜，莫衷一是。在我國以前也稱這一定理為畢達哥拉斯定理。五十年代初，曾展開過關于這一定理命名的討論。有人主張叫“商高定理”。因這一結論的在我國最早是由西周初的商高提出的。在數學著作《周髀算經》（前1世紀）一書中，記載有商高（前1120）與周公的對話，其中商高提出了“勾三股四弦五〃的說法。不過據推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關系的特例情況，普遍性的結論，由陳子（前716）提出。他說：“……勾股各自乘，并而開方除之……”這是普遍勾股定理在我國的最早記載。故有人主張應稱為“陳子定理”。后來決定不用人名，而稱為“勾股定理”單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下一項平面幾何之最了。今天有人戲稱，勾股定理為'宇宙大定理'因為現(xiàn)在看來，世界上各民族都在差不多接近的時間內獨立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理及其逆定理。目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。據說我國著名數學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種“語言”的。勾股定理在每一個時代都會被當代的精英們給出新的內涵外延，從柏拉圖尋求不定方程通解到費馬大定理，到今天的分形勾股樹（如右上兩圖），每每讀到這些智慧的創(chuàng)造都會讓人神往。

【勾股定理的證明】觀察下列圖形，推測勾股定理的證明方法1、下圖是《幾何原本》（公元前4世紀前后）中提供的一種證明方法，過A作AH丄BC于H延長交FK于G.可證明：&圧京矗個遲二'昶聲跡GR證明思路很多，較簡捷的是過F作FP丄AB于P也甌=爲_他D=云宦疋才晦盤阪易證△FPB9ACBA進而可知^iiABF二爲也F二昶矗述R而2、下圖最早是由我國三國時期數學家趙爽（東漢末至三國東吳人）提出的一種證法.該圖叫弦圖，由圖示可知F二4■+處二/+護3、下圖最早是由我國三國時魏國的數學家劉徽（公元三世紀）為注釋《九章算術》時提出的一種證法“青朱入出圖”由圖示.邊長為a、b的兩個正方形，如圖示裁割.M補入酬處，N補入亦處，Q補入2處4、下圖最早是由古代印度數學家婆什迦羅提出的一種證法.圖示的裁割線索很清晰，你試試給出解釋.【勾股定理的應用】 亦1、 已知在△ABC中，a，b，c分別是ZA、ZB,ZC的對邊，且a=3,b=4，且b〈c。若c為整數，則c= _li-i錯解：由勾股定理可得17=f分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五”的影響，沒有認真審題，錯在沒有注意到題目中的三角形是否為直角三角形。正解:―心士，又bcc,.?. ■，即卩4〈c〈7,???C為整數，???c為5或6評述：運用勾股定理解決問題時，必須是在直角三角形的條件下，不可不加分析就用勾股定理來進行計算。2、 已知：三角形兩邊的長分別是5和12，如果這個三角形是直角三角形，則其第三邊長為 圉錯解：設第三邊長為x，則由勾股定理可得：寧+1少=*,.??x=13分析：由于此題中己知直角三角形的兩邊長，但沒有明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，故需要分情況討論正解：當X為斜邊時，x=13；當X為直角邊時，忑=(帀故第三邊長為13或。評述：在運用勾股定理進行計算時，一定明確哪條是直角邊，哪條是斜邊，以防止運用不當。C^3、利用勾股定理求線段長的簡單應用一在RtAABC中，ZC=90°，①若a=7,b=24,則c= ；②若a=5,c=13，則TOC\o"1-5"\h\zb= ;③若b=15，c=25，則a= 等腰直角三角形的斜邊長為旋，則此直角三角形的腰長為 在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8，則斜邊AB= ，斜邊AB上的高線長為 。(與面積的結合)在RtAABC中，ZACB=90°，且c+a=9,c-a=4,則b= 。如果一個直角三角形有一條直角邊長為11,另兩條邊長為自然數，則這個直角三角形的周長是—解析：(1)①c二25②^=12③"20(2)224AB=10, 5護二u'-疋二？6Z?=622設斜邊長為c,另一直角邊為a,則Tc、a為自然數I十位-121c-a=2?????周長為1324、勾股定理在幾何中的應用。二己知：AABC中AB=AC=20,BC=32,D是BC上一點，且AD丄AC，求BD的長。

解：過A作AE丄BC于E。B^=SC=-BC=16???AB=AC,?：在RtAABE中，AB=20,BE=16,AE^AB^-BE1=203-163=144????AE=12故在RtAADE中，設DE=x，則恥'=山礦i44+*???AD丄AC于A,...血2+』u2=ud2,即144+/+2呼二〔花+片尸，解得x=°???BD=BE-DE=16-9=7評述：勾股定理是解決直線形中線段計算問題的常用方法，題目中含有直角三角形別忘記使用，題目中沒有給出直角三角形可以考慮作垂線構建直角三角形。C^5、利用勾股定理解決實際問題一(1)平面上有A、B兩點處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點C在A的東南方向，在B的西南方向。甲、乙兩只螞蟻同時從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速度都是30cm/min。結果甲螞蟻用了2min，乙螞蟻2分40秒到達C處分享食物，試問兩只螞蟻原來所處地點相距多遠？解析：首先結合題設畫出圖形，C在A東南，則A在C西北；C在B西南，則B在C東???可知ZACB=90°，依題設AC=60cm,BC=80cmAB=100cm(2)如圖A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直?，F(xiàn)要從點E處開設通往村莊A、村莊B的一條電纜，現(xiàn)在共有兩種鋪設方案：方案一：E—D—A—B；方案二：E—C—B—A。經測量得①=4占千米，bc=10千米，ZBDC=45°,ZABD=15°O已知：地下電纜的修建費為2萬元/千米,水下電纜的修建費為4萬元/千米。求：1)河寬AD(結果保留根號)；公路CD的長：哪種方案鋪設電纜的費用低?請說明理由。解析：過B作BF丄AD交DA延長線于F在RtAABF中可知ZBAF=60°,AB=耳①???BF=6,恥=2筋在RtABFD中，知ZBDF=45°???DF=BF=6?AD仝-亦??過B作BG丄CD于G,則BG=6,BC=10,有CG=8???DC=CG+DG=14設