【2015屆備考】2014全國名校(數學)分類解析匯編(11月第三期)：N單元 選修4-4系列

教學資源網世紀金榜圓您夢想第5頁（共17頁）山東世紀金榜科教文化股份有限公司N單元選修4系列目錄N單元選修4系列 1N1選修4-1幾何證明選講 1N2選修4-2矩陣 1N3選修4-4參數與參數方程 1N4選修4-5不等式選講 1N5選修4-7優(yōu)選法與試驗設計 1N1選修4-1幾何證明選講【數學（理）卷·2015屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（201410）】14.如圖所示，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，則⊙O的半徑等于_____________．【知識點】與圓有關的比例線段．N1【答案解析】eq\f(3,2)解析：設垂足為D，⊙O的半徑等于R，則∵AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案為：1.5【思路點撥】設垂足為D，⊙O的半徑等于R，先計算AD，再計算R即可．【數學理卷·2015屆重慶南開中學高三10月月考（201410）word版】14.如圖，PQ為半圓O的直徑，A為以OQ為直徑的半圓A的圓心，圓O的弦PN切圓A于點M，PN=8，則圓A的半徑為___________【知識點】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】如圖所示，連接AM，QN．

由于PQ是⊙O的直徑，∴∠PNQ=90°．

∵圓O的弦PN切圓A于點M，∴AM⊥PN．∴AM∥QN，

∴．又PN=8，∴PM=6．

根據切割線定理可得：PM2=PO?PQ．

設⊙O的半徑為R．則62=R?2R，∴R=3，∴⊙A的半徑r=R=．

故答案為：．【思路點撥】利用圓的直徑的性質、圓的切線的性質可得：∠PNQ=90°=∠PMA．進而得到AM∥QN，可得．可得PM，再根據切割線定理可得：PM2=PO?PQ．可得PO．【數學理卷·2015屆寧夏銀川一中高三第三次月考（201410）】22.（本題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，是直角三角形，，以為直徑的圓交于點，點是邊的中點，連接交圓于點.（1）求證：、、、四點共圓；（2）求證：【知識點】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）略證明：（1）連接、，則所以ED為直徑.又由（1）知AB為圓的直徑，所以ED=AB.【思路點撥】(1)證明∠BDA是直角，或者用垂徑定理證明結論；（2）利用證明三角形全等證明結論.【數學文卷·2015屆寧夏銀川一中高三第三次月考（201410）】22.（本題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，是直角三角形，，以為直徑的圓交于點，點是邊的中點，連接交圓于點.（1）求證：、、、四點共圓；（2）求證：【知識點】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）略證明：（1）連接、，則又是BC的中點，所以又，所以所以所以、、、四點共圓（2）延長交圓于點.因為.所以所以【思路點撥】根據全等證明四點共圓，根據線段的關系證明結論。【數學文卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（201411）】22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講已知A、B、C、D為圓O上的四點，直線DE為圓O的切線，AC∥DE，AC與BD相交于H點（1）求證：BD平分∠ABC（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的長【知識點】選修4-1幾何證明選講N1【答案解析】（1）略（2）3（1）又切圓于點，而（同?。┧裕珺D平分∠ABC（2）由（1）知，又，又為公共角，所以與相似，，因為AB＝4，AD＝6，BD＝8，所以AH=3【思路點撥】根據同弧所對的圓周角相等，根據三角形相似求出AH=3。N2選修4-2矩陣N3選修4-4參數與參數方程【數學（理）卷·2015屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（201410）】15．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數方程是(t為參數)，圓C的極坐標方程是，則直線l被圓C截得的弦長為____________．【知識點】參數方程化成普通方程；點的極坐標和直角坐標的互化．N3【答案解析】2eq\r(2)解析：∵圓C的極坐標方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，化為（x﹣2）2+y2=4，其圓心C（2，0），半徑r=2．由直線l的參數方程（t為參數），消去參數可得y=x﹣4．圓心C到直線l的距離d==．∴直線l被圓C截得的弦長=2=．故答案為：2．【思路點撥】圓C的極坐標方程是ρ=4cosθ，利用可得直角坐標方程，可得圓心C及其半徑r．由直線l的參數方程（t為參數），消去參數可得y=x﹣4．利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線l的距離d．再利用弦長公式l=2即可得出．【數學理卷·2015屆重慶南開中學高三10月月考（201410）word版】15.已知曲線C1、C2的極坐標方程分別為，則曲線C1上的點與曲線C2上的點的最近距離為_____________【知識點】選修4-4參數與參數方程N3【答案解析】-1由于曲線C1、C2的極坐標方程分別為ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，

則它們的直角坐標方程分別為x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．

曲線C1上表示一個半徑為1的圓，圓心為（0，1），

曲線C2表示一條直線，圓心到直線的距離為d=，

故曲線C1上的點與曲線C2上的點的最近距離為-1，故答案為：-1．【思路點撥】把極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離為d，再把d減去半徑，即為所求．【數學理卷·2015屆廣東省陽東一中、廣雅中學高三第一次聯考（201410）】15．（坐標系與參數方程選做題）曲線對稱的曲線的極坐標方程為。【知識點】簡單曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關系；點的極坐標和直角坐標的互化N3【答案解析】B解析：解：將原極坐標方程ρ=4cosθ，化為：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐標方程為：x2+y2﹣4x=0，它關于直線y=x（即θ=）對稱的圓的方程是x2+y2﹣4y=0，其極坐標方程為：ρ=4sinθ．故答案為：ρ=4sinθ．【思路點撥】先將原極坐標方程ρ=4cosθ兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程，再結合曲線關于直線的對稱性，利用直角坐標方程解決問題三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【數學理卷·2015屆寧夏銀川一中高三第三次月考（201410）】23.（本小題滿分10分）選修4—4；坐標系與參數方程．已知曲線的參數方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標系方程是，正方形的頂點都在上，且依逆時針次序排列，點的極坐標為（1）求點的直角坐標；（2）設為上任意一點，求的取值范圍。【知識點】選修4-4參數與參數方程N3【答案解析】（1）（1，），（-，1），（-1，-），（-1）（2）[32，52]（1）點A，B，C，D的直角坐標為（1，），（-，1），（-1，-），（-1），

（2）設P（x0，y0），則（φ為參數）

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]．【思路點撥】確定點A，B，C，D的直角坐標，利用參數方程設出P的坐標，借助于三角函數，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍．【數學文卷·2015屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（201411）】23．選修4－4：坐標系與參數方程已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數)．(1)寫出曲線C的參數方程、直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．【知識點】參數方程與普通方程的互化；點到直線的距離；三角函數式的最值.N3【答案解析】（1）見解析；（2）最大值為eq\f(22\r(5),5)，最小值為eq\f(2\r(5),5).解析：(1)曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數)，直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到直線l的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).【思路點撥】（1）由橢圓參數方程公式寫出橢圓參數方程，把直線參數方程中的參數消去得其普通方程；（2）設出)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)，利用點到直線的距離公式，Rt三角形的邊角關系得|PA|關于的三角函數式，再用三角函數的最值求結論.【數學文卷·2015屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考（201410）】11、在極坐標系中，點到直線的距離是.【知識點】極坐標的意義.N3【答案解析】解析：點的直角坐標為，直線的直角坐標方程為，所以所求距離為.【思路點撥】先把極坐標系下的坐標、方程，化為直角坐標系下的坐標、方程，利用直角坐標系中，點到直線的距離公式求解.【數學文卷·2015屆寧夏銀川一中高三第三次月考（201410）】23.（本小題滿分10分）選修4—4；坐標系與參數方程．已知曲線的參數方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標系方程是，正方形的頂點都在上，且依逆時針次序排列，點的極坐標為（1）求點的直角坐標；（2）設為上任意一點，求的取值范圍?！局R點】選修4-4參數與參數方程N3【答案解析】（1）（1，），（-，1），（-1，-），（-1）（2）[32，52]（1）點A，B，C，D的直角坐標為（1，），（-，1），（-1，-），（-1），

（2）設P（x0，y0），則（φ為參數）

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x02+4y02+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]．【思路點撥】確定點A，B，C，D的直角坐標，利用參數方程設出P的坐標，借助于三角函數，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍．【數學文卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（201411）】23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系和參數方程以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知某圓的極坐標方程為（1）將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；（2）若點在該圓上，求的最大值和最小值．【知識點】選修4-4參數與參數方程N3【答案解析】（1）（2）6和2（1）由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0，得ρ2-4ρ(cosθcos+sinθsin)+6=0，即ρ2-4ρ(cosθ+sinθ)+6=0，

ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，即x2+y2-4x-4y+6=0為所求圓的普通方程，

整理為圓的標準方程（x-2）2+（y-2）2=2，令x-2=cosα，y-2=sinα．

得圓的參數方程為（α為參數）；

（2）由（1）得：x+y=4+(cosα+sinα)=4+2sin（α+），∴當sin（α+）=1時，x+y的最大值為6，當sin（α+）=-1時，x+y的最小值為2．故x+y的最大值和最小值分別是6和2．【思路點撥】（1）展開兩角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圓的普通方程，化為標準方程后由三角函數的平方關系化參數方程；

（2）把x，y分別代入參數式，利用三角函數化積后借助于三角函數的有界性求最值．【數學文卷·2015屆云南省玉溪一中高三上學期期中考試（201410）】17、（本小題滿分分）選修：坐標系與參數方程已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的軸的正半軸重合．直線的參數方程是（為參數），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設直線與曲線相交于，兩點，求，兩點間的距離．【知識點】選修4-4參數與參數方程N3【答案解析】（1）x2+y2-x-y=0（Ⅱ）（1）將曲線C的極坐標方程化為ρ=2sin（θ+）=cosθ+sinθ

兩邊都乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2

代入上式，得方求曲線C的直角坐標方程為：x2+y2-x-y=0

（2）直線l的參數方程是（t為參數），消去參數t得普通方程：4x-3y+1=0，將圓C的極坐標方程化為普通方程為：x2+y2-x-y=0，

所以（，）為圓心，半徑等于所以，圓心C到直線l的距離d=所以直線l被圓C截得的弦長為：|MN|=2．即M、N兩點間的距離為．【思路點撥】（1）利用直角坐標與極坐標間的關系，將曲線C的極坐標方程：ρ=2sin（θ+）化成直角坐標方程：x2+y2-x-y=0，問題得以解決；

（2）先將直線l的參數方程化成普通方程：4x-3y+1=0，由（1）得曲線C是以（，）為圓心，半徑等于的圓，結合點到直線的距離公式及圓的幾何性質，可求得M、N兩點間的距離N4選修4-5不等式選講【數學（理）卷·2015屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（201410）】16．若不等式對任意的實數恒成立，則實數的取值范圍是_________．【知識點】絕對值不等式的解法．N4【答案解析】（﹣∞，0）∪{2}解析：令y=|x+1|+|x﹣3|，由絕對值不等式的幾何意義可知函數y=|x+1|+|x﹣3|的最小值為4，∵不等式對任意的實數x恒成立∴原不等式可化為≤4解得a=2或a＜0故答案為：（﹣∞，0）∪{2}．【思路點撥】不等式對任意的實數x恒成立轉化為a+小于等于函數y=|x+1|+|x﹣3|的最小值，根據絕對值不等式的幾何意義可知函數y=|x+1|+|x﹣3|的最小值為4，因此原不等式轉化為分式不等式的求解問題．三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）【數學理卷·2015屆重慶南開中學高三10月月考（201410）word版】16.若不等式的解集為R，則實數a的取值范圍是_______【知識點】選修4-5不等式選講N4【答案解析】[-2，5]∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10，

∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集為R?a2-3a≤10，解得-2≤a≤5．

∴實數a的取值范圍是[-2，5]．故答案為：[-2，5]．【思路點撥】利用絕對值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依題意，解不等式a2-3a≤10即可．【數學理卷·2015屆寧夏銀川一中高三第三次月考（201410）】24.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知(a是常數，a∈R)（1）當a=1時求不等式的解集；（2）如果函數恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．【知識點】選修4-5不等式選講N4【答案解析】（1）{x|x≥2或x≤-4}．（2）（-2，2）①當a=1時，f（x）=|2x-1|+x-5=．

由解得x≥2；由解得x≤-4．∴f（x）≥0的解為{x|x≥2或x≤-4}．

②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5．作出y=|2x-1|和y=-ax+5的圖象，觀察可以知道，當-2＜a＜2時，這兩個函數的圖象有兩個不同的交點，函數y=f（x）有兩個不同的零點．故a的取值范圍是（-2，2）．

【思路點撥】①當a=1時，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x-1|=-ax+5，作出y=|2x-1|和y=-ax+5的圖象，觀察可以知道，當-2＜a＜2時，這兩個函數的圖象有兩個不同的交點，由此得到a的取值范圍．【數學理卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（201411）】23．（本小題滿分10分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數)，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數）.（Ⅰ）若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；（Ⅱ）當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離．【知識點】選修4-4參數與參數方程N3【答案解析】（1）[-，]．（2）（1）曲線M（θ為參數），即x2=1+y，

即y=x2-1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[-，]．

把曲線N的極坐標方程為ρsin（θ+）=t（其中t為常數）化為直角坐標方程為x+y-t=0．

由曲線N（圖中藍色直線）與曲線M（圖中紅色曲線）只有一個公共點，則有直線N過點A（，1時滿足要求，

并且向左下方平行運動直到過點B（-，1）之前總是保持只有一個公共點，

再接著向左下方平行運動直到相切之前總是有兩個公共點，

所以-+1＜t≤+1滿足要求，當直線和曲線M相切時，由有唯一解，即x2+x-1-t=0有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=-．

綜上可得，要求的t的范圍為（-+1，+1]∪{-}．

（2）當t=-2時，曲線N即x+y+2=0，當直線和曲線M相切時，由（1）可得t=-．

故曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離，即直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離為=．【思路點撥】（1）把曲線M的參數方程化為y=x2-1，把曲線N的極坐標方程化為x+y-t=0．曲線N與曲線M只有一個公共點，數形結合求得t的范圍．

（2）當t=-2時，曲線N即x+y+2=0，當直線和曲線N相切時，由（1）可得t=-，故本題即求直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離，利用兩條平行線間的距離公式計算求得結果．24．（本小題滿分10分）對于任意的實數恒成立，記實數M的最大值是m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）解不等式．【知識點】選修4-5不等式選講N4【答案解析】（1）m=2（2）{x|≤x≤}（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M?|a|恒成立，即M≤對于任意的實數a（a≠0）和b恒成立，故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值．因為|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，當且僅當（a-b）（a+b）≥0時等號成立，

即|a|≥|b|時，≥2成立，也就是的最小值是2，

故M的最大值為2，即m=2．

（2）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．

由于|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，

而數軸上和對應點到1和2對應點的距離之和正好等于2，

故|x-1|+|x-2|≤2的解集為：{x|≤x≤}．【思路點撥】（1）由題意可得，M≤對于任意的實數a（a≠0）和b恒成立，再由≥2