2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-22年真題)專題06函數(shù)的概念

專題06函數(shù)的概念

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.函數(shù)的概念

(1)一般地，給定非空數(shù)集A,B,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則/,使得A中任意元素x,都有8中唯一確定的

y與之對(duì)應(yīng)，那么從集合A到集合3的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù).記作：

x->y-f(x),xeA.集合A叫做函數(shù)的定義域，記為。，集合｛y|y=/(x)，xcA｝叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.

(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=f(x),xeD

(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.

(5)同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.

2.基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

(3)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

(4)零次募或負(fù)指數(shù)次基的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是R,且XN日+ez|；

(6)已知“X)的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求/(力的定義域，遵

循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則J下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；

(7)對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.

3.基本初等函數(shù)的值域

⑴y=行+6(kw0)的值域是R.

(2)了=/+法+°("0)的值域是：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋鹹|y2生工法｝;當(dāng)口<0時(shí)，值域?yàn)?/p>

4ac-b2

4a

(3)y=：*0)的值域是{h0}.

(4)y=/(a>0且"1)的值域是(0,+oo).

(5)y=log“x(a>0且axl)的值域是A.

4.分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決,

即分段函數(shù)問題，分段解決.

【題型歸納目錄】

題型一：函數(shù)的概念

題型二：同一函數(shù)的判斷

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

題型四：抽象函數(shù)定義域

題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

題型六：函數(shù)解析式的求法

1.待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）

2.換元法或配湊法（適用于了/同尤）］型）

3.方程組法

4.求分段函數(shù)的解析式

5.抽象函數(shù)解析式

題型七：函數(shù)值域的求解

1.觀察法

2.配方法

3.圖像法（數(shù)形結(jié)合）

4.基本不等式法

5.換元法（代數(shù)換元與三角換元）

6.分離常數(shù)法

7.判別式法

8.單調(diào)性法

9.有界性法

10.導(dǎo)數(shù)法

題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用

【典例例題】

題型一：函數(shù)的概念

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)卡/㈤的圖象與直線x=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

A.至少1個(gè)B.至多1個(gè)C.僅有1個(gè)D.有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函數(shù)的定義判斷.【詳解】若1不在函數(shù)啟）的定義域內(nèi)，月⑴的圖象與直線x=l沒有交點(diǎn),

若1在函數(shù)40的定義域內(nèi)，的圖象與直線％=1有1個(gè)交點(diǎn)，

故選：B.

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)自變量值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值，或者多個(gè)自變量值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)函數(shù)值，顯然只有

(2)不滿足.

故選：C.

(多選題)例3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列對(duì)應(yīng)關(guān)系力能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是

)

A.例=七，1，養(yǎng)，N={--3,1},/出=-6,/(1)=-3,=1

B.M=N={x|x>-1},/(x)=2x+l

C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+l

-l,x為奇數(shù),

D.M=Z,N={-1[},.f(x)=

l,x為偶數(shù).

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

對(duì)于A中，集合例中的任意一個(gè)元素，按某種對(duì)應(yīng)法則，在集合N中存在唯一的元素相對(duì)應(yīng)，所以能構(gòu)

成從集合M到集合N的函數(shù)；

對(duì)于B中，集合A/={x|xN-l}中的任意一個(gè)元素，按某種對(duì)應(yīng)法則，在集合N={x|x2-1}中存在唯一的

元素相對(duì)應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)；

對(duì)于C中，集合"={1,2,3},當(dāng)x=3時(shí)，可得/(3)=5任N,所以不能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)；

-l,x為奇數(shù),

對(duì)于D中，集合M=Z中的任一元素，按/3)=,在集合N={-1,1}有唯一的元素與之對(duì)

Lx為偶數(shù).

應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù).

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的基本概念及判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本概念，結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)判定是解

答的關(guān)鍵，著重考查推理與判定能力，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）將函數(shù)y=2sin］（xe0弓］］的圖像繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到曲線

T,當(dāng)時(shí)都能使7成為某個(gè)函數(shù)的圖像，則6的最大值是（）

71「兀「3'2

A.—B.-C.—兀D.—it

6443

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的概念，一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y,所以找到在原點(diǎn)處的切線，使圖像旋轉(zhuǎn)過程中切線不能超過y

軸即可.

【詳解】

X

解：y'=cos］在原點(diǎn)處的切線斜率為女=1,切線方程為

當(dāng)y=2sin楙繞著原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，若旋轉(zhuǎn)甭。大于?，則旋轉(zhuǎn)所成的圖像與，軸就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn),

則曲線不再是函數(shù)的圖像.

所以e的最大值為

4

-2-

思路點(diǎn)睛,：函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)：每一個(gè)x都有唯一的一個(gè)確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，所以考慮函數(shù)的切線，當(dāng)函數(shù)

的切線超過y軸時(shí)，一個(gè)x會(huì)有2個(gè)y和它對(duì)應(yīng)，則不滿足情況，所以旋轉(zhuǎn)角度即為切線的旋轉(zhuǎn)角.

例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）存在函數(shù)/（x）,對(duì)于任意XWR都成立的下列等式的序號(hào)是.

?/(sin3x)=sinx；②/(5皿3同=;?+32+x；③/(x?+2)=|x+2]；④/(x?+4x)=|x+2].

【答案】④

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷①②③，采用換元的方法求解④中/(X)的解析式并進(jìn)行判斷.

【詳解】

①當(dāng)x=0時(shí)，f(O)=O；當(dāng)％時(shí)，f(O)=3,與函數(shù)定義矛盾，不符合；

②當(dāng)x=0時(shí)，f(O)=O；當(dāng)x時(shí)，/(O)=^J+^J+p與函數(shù)定義矛盾，不符合；

③當(dāng)x=-2時(shí)，/(6)=0；當(dāng)|x=2時(shí)，/(6)=4,與函數(shù)定義矛盾，不符合；

④令x+2=r,所以/(/-4)=M,令產(chǎn)-4=加€卜4,+00),所以f=±品+4,

所以f(w)=|±Jm+4|=J，"+4(/ne[-4,+8)),所以/'(x)=Jx+4(xe[-4,+oo)),符合，

故答案為：④.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于對(duì)于函數(shù)定義的理解以及換元法求解函數(shù)解析式的運(yùn)用，通過說明一個(gè)

自變量X的值時(shí)應(yīng)兩個(gè)不同的/(X)的值，判斷出不符合函數(shù)定義；同時(shí)在使用換元法求解函數(shù)解析式時(shí)，

新元取值范圍的分析不能遺漏.

【方法技巧與總結(jié)】

利用函數(shù)概念判斷

題型二：同一函數(shù)的判斷

例6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①〃X)=O■與g(x)=xjz.②/(X)=A^g(x)=J7.③/(x)=x°與g(x)=%.④

“x)=xJ2x—1與g(r)=/-2r—1.

A.①@B.①③C.③④D.①④

【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)函數(shù)的概念可知同?函數(shù)需滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，因此結(jié)合題目逐個(gè)分析即可得到結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于①，八力=/^3的定義域?yàn)?—>,0),g(x)=xE的定義域?yàn)?3,0),所以

f(x)=E^=-xE，則〃x)與g(x)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù);

對(duì)于②g(x)="=|x|,所以/(x)=xHg(x)=G■的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù)；

對(duì)于③f(X)=X"的定義域?yàn)閧x|x*o},g(x)=+的定義域?yàn)閧x|x*o},且y(x)=l,g(x)=l,因此函數(shù)

,“x)=x°與g(x)=g的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，則是同一函數(shù)；

對(duì)于④/(力=犬-2犬-1的定義域?yàn)間(f)=/一2f-l的定義域?yàn)??,因此函數(shù)〃x)=f-2*-1與

g(f)=--2f-l的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，則是同一函數(shù)；

故選：C.

例7.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(x)=elnx,g(x)=x

x2—4

B.f(x)=-—-,g(x)=x-2

x+2

c./(x)=x°,g(x)=l

D./'(x)=|x|,xe{-l,0,1},g(x)=x2,xe{-l,0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域和同一函數(shù)的定義逐一判斷可得選項(xiàng).

【詳解】

解：對(duì)于A：/(X)的定義域是(0,+s),g(x)的定義域是R,兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，

對(duì)于B：fM=x-2,(XH-2),g(x)的定義域是R,兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，

對(duì)于C：f(x)的定義域?yàn)閧x|xx0},g(x)的定義域是R,兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，

對(duì)于D：/(x)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為{(-1,1),(0,0),(1,1)},g(x)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為{(T1),(0,0),(1,1)},兩個(gè)函

數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同，是同一函數(shù)，

故選：D.

(多選題)例8.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是()

A./(x)=|2x|,g(x)={B./(x)=x~,g(t)=t~C.f(x)=x+—,g(x)=x+-

\-Zx,x<u3J

r2-]6

D./(x)=x+4,g(x)=-——-

x-4

【答案】AB

【解析】

【分析】

確定函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否相同即可判斷.

【詳解】

A中兩個(gè)函數(shù)定義域都是R,對(duì)應(yīng)法則都是乘以2后取絕對(duì)值，是同一函數(shù)；

B中兩個(gè)函數(shù)定義域都是R,對(duì)應(yīng)法則都是取平方，是同一函數(shù)；

C中/*)定義域是｛x|x*O｝,g(x)的定義域是R,不是同一函數(shù)；

D中f(x)的定義域是R,g(x)的定義域是｛x|xx4),不是同一函數(shù).

故選：AB.

(多選題)例9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在下列四組函數(shù)中，Ax)與g(x)不表示同一函數(shù)的是

()

r2-1+1

A..f(x)=x-1,^(x)=-----B./W=|x+l|,g(x)='

x+1

C.fix')=1,g(x)=(x+l)°D.f(x)=x,g(x)=(4)2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)同一函數(shù)的要求，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則應(yīng)相同，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)分別進(jìn)行判斷，得

到答案.

【詳解】

A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)?―,-l)U(T”)，所以二者不是同一函數(shù)，故A符合題

忌；

/、?IfX4~1xN—1/、

B選項(xiàng)，/(x)=|x+l|=,,與g(x)定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，所以二者是同一函數(shù)，故

[^―1—XX<—1

B不符合題意；

C選項(xiàng)，“X)定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)?9，-l)U(T-)，所以二者不是同一函數(shù)，故C符合題

屈；

D選項(xiàng)，“X)定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閇(),??),所以二者不是同一函數(shù)，故D符合題意；

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三要素是定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系(解析式)，值域，而定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定值

域，所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同只需要判斷兩個(gè)要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則是否相同即可.

【方法技巧與總結(jié)】

當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

例10.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40cm,底邊長(zhǎng)y(m)是腰長(zhǎng)x(a〃)的函數(shù)，則

函數(shù)的定義域?yàn)?)

A.（10,20）B.（0,10）C.（5,10）D.[5,10）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用兩邊之和大于第三邊及邊長(zhǎng)為正數(shù)可得函數(shù)的定義域.

【詳解】

由題設(shè)有y=4（）-2x,

【點(diǎn)睛】

本題考查應(yīng)用題中函數(shù)的定義域，注意根據(jù)實(shí)際意義和幾何圖形的性質(zhì)得到自變量的取值范圍.

例11.（2022?全國(guó)?河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（x）=7；=小21,，八C的定義域?yàn)?/p>

【答案】（7,2）=（|,+8）

【解析】

【分析】

根據(jù)偶次根號(hào)下的被開方數(shù)大于等于零，分母不為0,根據(jù)真數(shù)列出不等式，進(jìn)行求解再用集合或區(qū)間的

形式表示出來.

【詳解】

由題意可知log2（2d-9x+14）-2>0,而以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，

因此2——9X+14>4,求解可得X<2或X>|.

故答案為：（-co,2）uf|,+co\例12.（2022.北京.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f（x）=岳工T+lg（2-x）的定義域是

【答案】⑵

【解析】

【分析】

依據(jù)題意列出不等式組，解之即可得到函數(shù)的定義域

【詳解】

f2x+l>01

由題意可得，c八，解之得-彳4X<2

\2-x>02

則函數(shù)f(x)=J-+lg(2—x)的定義域是[-g,2)

故答案為：[-g,2)

例13.(2022.上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí))函數(shù)/")=拈[[1的定義域?yàn)?

【答案】S0]

【解析】

【分析】

根據(jù)具體函數(shù)的定義域求法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】

解：由出-1>0,

所以x40,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0],

故答案為：(y>,0]

【方法技巧與總結(jié)】

對(duì)求函數(shù)定義域問題的思路是：

(1)先列出使式子“X)有意義的不等式或不等式組；

(2)解不等式組；

(3)將解集寫成集合或區(qū)間的形式.

題型四：抽象函數(shù)定義域例14.(2022.北京.高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,1),則函數(shù)

F(x)=/(|2"—l|)的定義域?yàn)?)

A.(-8,1)B.(-o),())50，l)C.(0,+8)D.[0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

抽象函數(shù)的定義域求解，要注意兩點(diǎn)，一是定義域是x的取值范圍；二是同一對(duì)應(yīng)法則下，取值范圍一致.

【詳解】

..f-1<-1<1

???y=〃x)的定義域?yàn)?0,1),即，

?“八，解得：工〈1且工工0,

[xwO

??.7（力=川2*川的定義域?yàn)椋?,O）u（O,l）.

故選：B.

例15.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)），=/（丁-4）的定義域是[-1,5],則函數(shù)y=〃2x+l）的定義

域?yàn)?

【答案】-|，io

【解析】

【分析】

由函數(shù)y=/（f-4）的定義域是[-1,5],可求數(shù)-4的值域,即函數(shù)“X）的定義域，再由2x+lw[-4,21],

即可求得y=/（2x+l）的定義域.

【詳解】

y="（f-4）的定義域是[—1,5],則幺-4注21],

即函數(shù)“X）的定義域?yàn)閇T21],

令2x+lw[T,21],解得xe-|,10.

則函數(shù)y=〃2x+l）的定義域?yàn)?|,10.

故答案為：-jjo.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了抽象函數(shù)定義域的求法，注意理解函數(shù)/（X）的定義域與函數(shù)/[g（x）]定義域的區(qū)別.例

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f（x-D的定義域?yàn)閇1,3],則函數(shù)），=〃蜒3可的定義域?yàn)?/p>

（）

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0,9]

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)X-1與log./的取值范圍一致，從而得到log3xe[0,2],進(jìn)而求得函數(shù)的定義域.

【詳解】

由x得x-lw[0,2],

所以log3xe[0,2],所以xe[l,9].

故選：B.

例17.(2022.全國(guó).高三專題練習(xí))若函數(shù)“X)的定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)g(x)=的定義域是

Vx-l

()

A.[1,4]B.(1,4]C.[U]D.(1,2]

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】

由于函數(shù)“X)的定義域?yàn)閇-1,2],對(duì)于函數(shù)g(x)=，[-2),有-142K2

'解得

yJX-i

因此,函數(shù)g(x)=，卜一?的定義域是(1,4].

故選:B.

/(2A)

例18.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇3,6],則函數(shù)y二不癡的定義域?yàn)?/p>

()

|，+8|,+8

A.B.C.D.P2

【答案】B

【解析】

【分析】

由函數(shù)的定義域得到2x的范圍，根據(jù)分母不為0及被開方數(shù)非負(fù)得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解

集.

【詳解】

解：由函數(shù)/(x)的定義域是[3,6],得到翊心6,

3

3

3凝x62

故，2-x>0即<2>x

logL(2-x)>01<x<2

2

3

解得:1,x<2；

所以原函數(shù)的定義域是：|,2，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)的定義域，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

例19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)“X）是定義在[2,—）的單調(diào)遞增函數(shù)，若

/（2/—5。+4）</（/+〃+4）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）.

A.^-°o,-JU（2,+<?）B.[2,6）

c.[o,lu[2,6）

D.（0,6）

【答案】C

【解析】

2a2-5a+422

根據(jù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性可得儼+。+422,解不等式組即可.

2a2-5a+4<a2+a+4

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/（力是定義在[2,+8）的單調(diào)遞增函數(shù)，且f（2/—5a+4）</（/+a+4）,

a<—或。>2

2a2-5a+4>22

所以</+。+422naeR

2a2-5a+4<a2+。+40<a<6

解得0<aVg或24a<6.

故選：C.

例20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：（1）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2,2],求函數(shù)

y=—的定義域.

⑵已知函數(shù)y=/（2x+4）的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)的定義域.

（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇—1,2],求函數(shù)y=/（x+l）-f（x2-l）的定義域.

【答案】⑴[-6,6]；

（2）[4,6]；

⑶[-百,1].

【解析】

【分析】

抽象函數(shù)定義域求解，需注意兩點(diǎn)：

①定義域是函數(shù)解析式中自變量“X”的范圍；

②對(duì)于同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系T',，了'后括號(hào)里面式子整體范圍相同.

⑴y=.f(x2-l)中一一1的范圍和“X)中x范圍相同，“6中x范圍是[-2,2]：

⑵“X)中X的范圍和y=〃2x+4)中2x+4范圍相同，y=f(2x+4)中x范圍是[0,1]；

⑶y=.f(x+1)--1)中x+I與f一1均與/(x)中x范圍相同，〃x)中x的范圍是[T,2].

(1)

令一一1、2得一人/夕,HP0<x2<3,從而一后

???函數(shù)y=1)的定義域?yàn)閇一

(2)

?.?y=/(2x+4)的定義域?yàn)閇0,1],即在y=/(2x+4)中xe[0,l],令尸2升4,xG[0,l],則fd[4,6],即

在/(/)中，re[4,6],

的定義域?yàn)閇4,6].

(3)

由題得匕“_142'.一6"8

；?函數(shù)y=/(x+i)—f，-i)的定義域?yàn)閇_百,小

【方法技巧與總結(jié)】

1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若人力的定義域?yàn)?4,力，

求〃g(x)]中a<g(x)<6的解X的范圍，即為。g(x)]的定義域，口訣：定義域指的是X的范圍，括號(hào)范圍相

同.已知〃x)的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域

2.若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求

出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集.題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

C,、2?+|+a

例21.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)"x)=7K—V的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

Ini2+I

()

A.(-2,+oo)B.(-l,+oo)C.(-2,-1)D,(-2,-l)u(-l,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意得到2，”2+a恒成立，根據(jù)定義域?yàn)镽得到2+a>0恒成立，且滿足

In（2?+l+a）h0n2?+,+aw1,2,%wl-a.解出。得范圍，二者取交集即可.

【詳解】

因?yàn)?，=+422+4，/（X）的定義域?yàn)镽,

所以首先滿足2+a>0恒成立，2,

再者滿足ln（2，"0=2?+,+a豐I,變形得到*5—a,?.2*e［2,+oo）/.l-a<2

:.a>-\,最終得到a>-1.

故選：B.

例22.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=++?的定義域?yàn)镽,則機(jī)的取值范

圍是（）

A.-1<m<2B.-\<m<2C.-\<m<2D.-\<m<2

【答案】C

【解析】

【分析】

由（加+1）9-（〃?+1戶+20在尺上恒成立，分〃?+1=0和帆+1/0結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可..

【詳解】

3

由題意得：（，"+1）/_（m+1）》+：20在R上恒成立.

加+1=0即m=-l時(shí)，/（x）=*恒成立，符合題意,

機(jī)+1>0

777+1刀0時(shí),只需

A=（〃？+1）2—3（根+1）W0

解得：綜上：wiF1,2］,

故選：C.

（多選題）例23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)y=在區(qū)間［-2,-1］上有意義，則實(shí)數(shù)

?？赡艿娜≈凳牵ǎ?/p>

A.-1B.1C.3D.5

【答案】AB

【解析】

【分析】

該題可等價(jià)于三+1*0在區(qū)間［-2,-1］上恒成立，分離參數(shù)即可求得.

【詳解】

函數(shù)y=+l石上有意義,

等價(jià)于￡+120在區(qū)間卜2,-1］上恒成立，

由x<0得a4—x在區(qū)間上恒成立，所以

故選：AB.

例24.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)1=丁I—,的定義域是R,則。的取值范圍是_________

\lajc~+QX+1

【答案】［0,4)

【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，可知當(dāng)定義域?yàn)镽時(shí)，說明?2+奴+1>0在R上恒成立，則對(duì)。進(jìn)行分類討論，確定

滿足條件的a的范圍.

【詳解】

由題意可得加+公+1>0在R上恒成立.

①當(dāng)a=0時(shí)，則1>0恒成立,

.,.4=0符合題意;

②當(dāng)awO時(shí),

a>0

則解得0<a<4.

a2-4a<0

綜上可得04a<4,

實(shí)數(shù)。的取值范圍為［0,4).

故答案為：［0,4).【點(diǎn)睛】

fa>0

不等式a^+fev+oO的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a=0時(shí)，"=0,c>0；當(dāng)awO時(shí).，/八；

［A<0

不等式?2+版+0<0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a=0時(shí)，QO,c<()；當(dāng)“HO時(shí)，

［A<0

例25.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=3(y711+5)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】［7,1］

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,得出77W+這>0恒成立，利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合圖象求出不等式恒成立時(shí)〃

的取值范圍.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)—lg(Jd+1+八)的定義域?yàn)镽，

/.而，1+以>0恒成立，

，」7+1>-以恒成立，

設(shè))=GTi，XGR，)，2-x2=l,y>[.它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一支，且漸近線方程為丫=";

令y=-or,xGR；它表示過原點(diǎn)的直線;

由題意知，直線y=-or的圖象應(yīng)在的下方，畫出圖形如圖所示;

/.0<-?<1或-10-4<0,

解得-

.??實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1].

故答案為[-1，1].

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

【方法技巧與總結(jié)】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對(duì)參

數(shù)進(jìn)行分類討論.題型六：函數(shù)解析式的求法

【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：

(1)當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解.

(2)當(dāng)已知表達(dá)式為/[g(x)]時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含x的式子配成g(x),用配湊法.

若易換元后求出X,用換元法.

(3)若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.

(4)求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求.

(5)當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解.

(6)若已知成對(duì)出現(xiàn)/(x),/(L)或/(X),/(-x),類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另

X

一個(gè)方程，消元的方法求出/(X).

1.待定系數(shù)法(函數(shù)類型確定)

(多選題)例26.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)是一次函數(shù)，滿足f(F(x))=9x+8,則

“X)的解析式可能為()

A./(x)=3x+2B..f(x)=3x-2

C./(x)=-3x+4D./(^)=-3x-4

【答案】AD

【解析】

【分析】

設(shè)〃x)=H+b,代入〃/(x))=9x+8列方程組求解即可.

【詳解】

^f[x)=kx+b,

由題意可知/(f(x))=X:("+6)+〃=%與+必+6=9x+8,

k1—9伙=3伙=—3

所以LAQ,解得/)或/

kb+b=8[6=2[b=-4

所以〃x)=3x+2或〃x)=-3x-4.

故選：AD.

例27.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè))，=/(x)是一次函數(shù)，若#))=1,且/⑴J(4),/(13)成等比數(shù)列,則

/(2)+/(4)+-+/(2〃)等于()

A.n(2/2+3)B.〃(”+4)

C.2〃(2〃+3)D.2〃(〃+4)

【答案】A【解析】

由已知可以假設(shè)一次函數(shù)為丫=丘+1,在根據(jù)/(D，/(4)J(13)成等比數(shù)列，得出左=3,利用等差數(shù)列的求

和公式求解即可.

【詳解】

由己知，假設(shè)/(x)=Ax+6,(火X。)

/(O)=1=A：XO+ZJ,：.h=\.

??"⑴J(4)J(13)成等比數(shù)列，

旦/⑴=%+1J(4)=4k+1J(13)=13%+1.

:.k+l,4)+1,13?+1成等比數(shù)列，即(必+1)2=e+1)(13工+1),

16爐+1+以=133+14%+1,從而解得女=()(舍去)，k=2,

/(2)+/(4)+---+/(2M)=(2x2+l)+(4x2+l)+...+(2nx2+l)=(2+4+…+2")x2+”=4x^^-+n=2n(n+l)+n

=3"+2n°=n(2n+3).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列和函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解

答，避免錯(cuò)誤，屬于中檔題.

例28.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知為二次函數(shù)，/(O)=O,/(2x+l)-/(x)=x2+3x+2,求

/(x)的解析式.

【答案】〃x)=gx2+|x

【解析】

【分析】

設(shè)/(x)=ar2+hx+c，由已知建立關(guān)系求出a,加c即可.

【詳解】

解：因?yàn)?(x)為二次函數(shù)，所以設(shè)〃力=加+版+。，因?yàn)椤?)=0,所以c=0,

所以=,

所以/(2x+l)=a(2x+l)'+Z>(2x+l)=4ar2+(4a+2匕)x+(a+b),

因?yàn)?(2x+l)-/(x)=x2+3x+2,所以3ax2+(4a+b)x+(a+￡>)=x2+3x+2,

a=-b=-/(x)=-x2+-x

所以3a=l,4a+b=3,a+h=2,所以3,3,所以''33.

2.換元法或配湊法(適用于了/[g(x)]型)

例29.(2022.陜西西安?高三階段練習(xí)(文))已知了(》+1)=1/，則/'(x)=()

A.ln(x+l)2B.21n(x+l)

C.21n|x-l|D.ln(x2-1)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，利用換無法求出/(x)即可作答.

【詳解】

因/(x+l)=ku2,則設(shè)x+l=f,有x=r—l,而XHO,則有「工1,

于是得〃f)=ln(f-l)2=21n|f-l|,

所以/。)=2111|了-1|,戶1,

故選：C

例30.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù)詈卜舟，則“X)的解析式為()

0VOV*

A.B,/(同=一五了(》工-1)

C.〃x)=7^7(xw-l)D,/(■^)=-1A-(x*-l)

【答案】A

【解析】

【分析】

令'=*'則”=旨’代入已知解析式可得的表達(dá)式'再將f換成X即可求解?

【詳解】

令t=-―-,則X=-~,

14-X14-f

所以f(X)=X-1),

故選：A.例31.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)"X)滿足"cosx-l)=cos2xT,則〃x)的解析式

為()

A.f(x)=2x2+4x(-2<x<0)B.f(x)=2x2+4x(xe7?)

C./(x)=2x-l(-2<x<0)D./(x)=2x-l(xe/?)

【答案】A

【解析】

利用換元法，Scosx-l=ze[-2,0],將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于f的關(guān)系式，進(jìn)行整理即得了(力的解析式.

【詳解】

函數(shù)“X)滿足/(COSXT=COS2X-1=2COS2X-1-1=2COS2X-2,

設(shè)cosx-l=f,則cosx=f+l,由cosxe[—1,1]知fw[-2,0],

故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為/(r)=2(z+l)2-2=2?+4z,re[-2,0],

即/(x)的解析式為/(X)=2x2+4x(-24x40).

故選：A.

例32.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(6+2)=x+4&+5,則/(x)的解析式為

【答案】/(X)=X2+1(X>2)

【解析】

【分析】

令五+2=f,貝卜22,且x=(f-2)2,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的表達(dá)式，再將f換成x即可求解.

【詳解】

令4+2=r,貝!]r22,且x=(r-2)-,

所以/(r)=(r-2)2+4(r-2)+5=?+l,(r>2)

所以〃X)=X2+1(X22),

故答案為：/(X)=X2+1(X>2).

例33.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知/(x—=則函數(shù)y(x)=,/(3)=

【答案】f+211

【解析】

【分析】

利用換元法可求出/(x),進(jìn)一步可得/(3).

【詳解】令x-'=f,則i+3=(x—,y+2=/+2,

XXX

所以/?)=產(chǎn)+2,所以/(幻=1+2,

所以-(3)=32+2=11.

故答案為：x2+2；11.

例34.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知/(|x-l|)=f-2X+3,則/(3)=()

A.6B.3C.11D.10

【答案】C

【解析】

利用拼湊法求出/(X)解析式，即可得出所求.

【詳解】

,.,/(|x-l|)=x2-2x+3=(x-l)2+2=|x-l|2+2,

/(x)=x2+2,

.-./(3)=32+2=11.

故選：C.

例35.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知/(f)=1嗅》，則〃8)=()

1111

-

A.2B.-46-D.8-

【答案】A

【解析】

先利用換元法求函數(shù)解析式，再代入自變量計(jì)算函數(shù)值即可.

【詳解】

6

由題設(shè)可知：/(x)=log2x,令f>0,則x=J,則/(f)=10g2R="ogy,

131

故/"(8)=7log,8=二=二.

662

故選：A.

3.方程組法

例36.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,Ji/(x)+2/(-x)=x2-x,則〃X)=

()

.x2+2x_2x22x2+2xx2

A.-----B.——+xC.------D.—+x

3333

【答案】D【解析】

【分析】

令x為-x,則/(-x)+2/(x)=x2+x,然后與./?。)+2/(-力=/-丁聯(lián)立可求出了。)

【詳解】

令x為-x,I)1|J/(-X)+2/U)=A2+X,

4，(X)+2/(-X)=x2-X聯(lián)立可解得，/(x)=y+X.

故選：D.

例37.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(X)對(duì)XH0的一切實(shí)數(shù)均有〃》)+2/［三生］=3》，則

/(2018)等于

A.2016B.-2016C.-2017D.2017

【答案】B

【解析】

【分析】

將x換成干再構(gòu)造一個(gè)等式,然后消去〃呼)，得到“幻的解析式,最后可求得了(20I8).

【詳解】

v/W+2/(——)=3x①

X

,,2018、、3x2018^

——)+2/W=-----②

XX

3x2x2018

①一②x2得-3/(x)=3x-

x

2x2018

/.f(x)=-x+

.?./(2018)=—2018+2=-2016故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求解析式的一種特殊方法：方程組法.如已知4(X)+/■(■!■)=g(x)，求/(x),則由已知得

X

af(-)+bf(x)=g(-),把f(x)和fd)作為未知數(shù)，列出方程組可解出J(x).如已知4(x)+/(-幻=g(x)

XXX

也可以用這種方法求解析式.

例38.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(x),g(x)滿足“X)-2/[￡|=2X-1,且/(x)+g(x)=x+6,

則/⑴+g(-D=?【答案】9

【解析】

根據(jù)方程組法求解函數(shù)/(x)的解析式，代入求出/⑴，/(-I),再利用/(-1)代入求出g(-D.

【詳解】

由〃幻-2/仁]=2》,，可知氏L)-2f(x)=2-4x,聯(lián)立可得/(X)=2X,所以〃1)=2,/(-1)=-2又

\x)XXX

因?yàn)?(_l)+g(T)=T+6=5,所以g(_l)=5+2=7,所以f(l)+g(_l)=9.

故答案為：9

例39.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知3/(X)+5/[￡|=：+1,則函數(shù)/(x)的解析式為.

【答案】/(')=—二4+》5+I(

OAOO

【解析】

以:代替X得出3f(/)+5f(x)=2x+l,與已知等式聯(lián)立，解出函數(shù)7W的解析式.

【詳解】

V3/(x)+5/^=|+l,①

3/(-)+5/(x)=2x+l,(2)

①x3-②x5,得：

-16/(^)=----[Ox-2,

X

?\351

v78x88

as1

故答案為：/(x)=

oXoo

4.求分段函數(shù)的解析式

x,-]<x<0

例40.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/")=14。八〃，若函數(shù)y=/(x)-2r在區(qū)間(-1,1)

內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()

A.卜g,+8)B.(—,0)C.[-J,。]D.總。)

【答案】C

【解析】【分析】

先求出分段函數(shù)在(T，I)上得解析式，進(jìn)而根據(jù)解析式做出函數(shù)圖象，由于函數(shù)y=/(x)-力在區(qū)間(-11)

內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)/(X)的圖象與直線y=2t在區(qū)間(-U)內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合

即可求出結(jié)果.

【詳解】

x,-l<x<0

若0<x<l,則一所以〃x)=/(：_】+故f(x)={1.?.

-----+1,0<X<1

故選：c.

例41.(2022?浙江?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=；,,則/(/(x))=___________,"的最大值

[-2,x<-lf(x)

是.

【答案】-20

【解析】

【分析】

根據(jù)〃X)=：；工：分"-1,金1求解；由懸，結(jié)合函數(shù)分轉(zhuǎn)0,-S—求解.

【詳解】

因?yàn)椤╔)二)

當(dāng)x>-l時(shí)，/W=-l,則/(/(x))=〃T)=-2,當(dāng)xV-I時(shí)，/。)=一2,則/(/(切=/(-2)=-2,

綜上：/(/(x))=-2；

當(dāng)轉(zhuǎn)。時(shí)，焉=亍*°，

,,Ixl-X八

當(dāng)一1vxvO時(shí)，=—r=x<0,

f(x)-1

\x\-xX,1

當(dāng)』1時(shí)，7^^=?--2

綜上：篇的最大值是。;

故答案為：20

例42.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)1%)=一/+4工一1在區(qū)間上，f