核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革

核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革第1頁(yè)/共92頁(yè)一、數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)十八大提出的“教育的根本任務(wù)在于立德樹人”就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)。數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人”。如何把這個(gè)要求在數(shù)學(xué)教育中落實(shí)下來(lái)，抓手在哪里？第2頁(yè)/共92頁(yè)教育部的頂層設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)學(xué)科的“立德樹人”是“以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為綱”。義教課標(biāo)中提出了八個(gè)“核心概念”：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想；高中課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要有具體措施，要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。第3頁(yè)/共92頁(yè)二、關(guān)于落實(shí)核心素養(yǎng)的思考“學(xué)科育人”要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量?！皵?shù)學(xué)育人”要用數(shù)學(xué)的方式，在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用。增強(qiáng)課程意識(shí)，把握教改方向，明確數(shù)學(xué)育人目標(biāo)，提升數(shù)學(xué)育人的實(shí)效性，提高教育教學(xué)質(zhì)量。第4頁(yè)/共92頁(yè)問題思考數(shù)學(xué)課程的育人力量是什么？什么叫“數(shù)學(xué)的方式”？一線教師的課程意識(shí)是如何表現(xiàn)的？第5頁(yè)/共92頁(yè)一線教師的課程意識(shí)（1）我教的是一門怎樣的課——課程性質(zhì)（2）這門課能發(fā)揮怎樣的育人功能，在學(xué)生發(fā)展中的不可替代作用是什么——課程目標(biāo)（3）如何教這門課——課程實(shí)施（4）這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功能——課程評(píng)價(jià)第6頁(yè)/共92頁(yè)數(shù)學(xué)是一門怎樣的課？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律。——課標(biāo)如是說(shuō)。第7頁(yè)/共92頁(yè)數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，具有“追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向”，有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號(hào)形式，這種結(jié)構(gòu)和符號(hào)形式是強(qiáng)大的，富有邏輯，簡(jiǎn)明而且精確，是人們可以借助于理解和處理周圍環(huán)境的一種思維方式，包括：抽象化、運(yùn)用符號(hào)、建立模型、邏輯分析、推理、計(jì)算，不斷地改進(jìn)、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、行之有效的科學(xué)方法，這是在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過程中必須使用的思維方式。第8頁(yè)/共92頁(yè)推理是數(shù)學(xué)的命根子，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”。思維訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算。數(shù)學(xué)是一門語(yǔ)言，與語(yǔ)文有相似的特性，它有自己的一套獨(dú)立的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式——閱讀、表達(dá)、交流的工具。第9頁(yè)/共92頁(yè)數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特育人功能主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)“有邏輯地思考”、創(chuàng)造性思考，使學(xué)生成為善于認(rèn)識(shí)問題、善于解決問題的人才。學(xué)會(huì)嚴(yán)格的邏輯推理，學(xué)會(huì)運(yùn)算的方法和技巧。學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、表達(dá)和交流。第10頁(yè)/共92頁(yè)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程：*數(shù)學(xué)研究對(duì)象的獲得

*研究數(shù)學(xué)對(duì)象

*應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫性，從“事實(shí)”出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)；第11頁(yè)/共92頁(yè)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究，要注重以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，通過數(shù)學(xué)的推理、論證證明結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過程，提升推理、運(yùn)算等素養(yǎng)；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題，體現(xiàn)建模的全過程，學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。第12頁(yè)/共92頁(yè)“兩個(gè)過程”的合理性從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)。前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題。第13頁(yè)/共92頁(yè)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì)。以“事實(shí)——概念——性質(zhì)（關(guān)系）——結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）——應(yīng)用”為明線；以“事實(shí)——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線。第14頁(yè)/共92頁(yè)從數(shù)學(xué)思維、思想或核心素養(yǎng)角度看“事實(shí)——概念”主要是“抽象”（對(duì)典型而豐富的具體事例進(jìn)行觀察、比較、分析，歸納共性，抽象出共同本質(zhì)特征，并推廣到同類事物中去而得出概念）；“概念——性質(zhì)”主要是“推理”，包括通過歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過（邏輯）演繹推理證明性質(zhì)；“性質(zhì)——結(jié)構(gòu)”主要也是“推理”，是建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程；“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)——應(yīng)用”主要是“建?！?，是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題。第15頁(yè)/共92頁(yè)強(qiáng)調(diào)獲得“事實(shí)”的教育價(jià)值“數(shù)學(xué)事實(shí)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“原材料”，也是數(shù)學(xué)育人的首要素材；真正的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷“感知—感悟—知識(shí)”的過程；以“事實(shí)”為支撐的概念理解才是真理解，才能形成對(duì)概念本質(zhì)的深刻體悟，教學(xué)應(yīng)從讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)事實(shí)開始。第16頁(yè)/共92頁(yè)增加概括概念、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)所需的素材，提供豐富的、真實(shí)的應(yīng)用問題；調(diào)動(dòng)所有感官參與學(xué)習(xí)，安排動(dòng)眼觀察、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生通過自主活動(dòng)獲取理解概念所需的“事實(shí)”；增加“悟”的時(shí)間，長(zhǎng)時(shí)間的“悟”，然后是有所體驗(yàn)、有所心得、有所發(fā)現(xiàn)。第17頁(yè)/共92頁(yè)在整個(gè)教學(xué)過程中，都要發(fā)揮“一般觀念”的作用，加強(qiáng)“如何思考”、“如何發(fā)現(xiàn)”的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概念的抽象要做什么、“幾何性質(zhì)”“代數(shù)性質(zhì)”“函數(shù)性質(zhì)”指什么等問題上要及時(shí)引導(dǎo)，以使學(xué)生明確思考方向。第18頁(yè)/共92頁(yè)教師的專業(yè)發(fā)展水平和育人能力

是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)當(dāng)前的主要問題是教師在“理解數(shù)學(xué)”上不用功，數(shù)學(xué)水平不高導(dǎo)致數(shù)學(xué)課教不好數(shù)學(xué)，甚至數(shù)學(xué)課不教數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)越來(lái)越難學(xué)，使學(xué)生越學(xué)越糊涂。第19頁(yè)/共92頁(yè)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界

知其然知其所以然何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！第20頁(yè)/共92頁(yè)三、系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)觀的內(nèi)涵：整體性——把研究對(duì)象看成一個(gè)整體，從整體出發(fā)，在組成系統(tǒng)的各要素相互關(guān)系中探究研究對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律。層次性——系統(tǒng)是由要素組成的整體；每個(gè)系統(tǒng)又是它的上位系統(tǒng)的組成要素，由此構(gòu)成具有層級(jí)關(guān)系的整體，這就是層次性。先把握基本要素，再看要素組成的子系統(tǒng)，然后再看子系統(tǒng)組成的上位系統(tǒng)……這樣才能具有思想性、觀念性。第21頁(yè)/共92頁(yè)聯(lián)系性系統(tǒng)和系統(tǒng)之間、各要素之間、系統(tǒng)和要素之間是相互聯(lián)系、相互作用的。任何事物都由若干部分、要素構(gòu)成，各部分、要素相互依存、相互聯(lián)系。只有這樣，事物才能成為有機(jī)整體。任何事物都與周圍的其他事物相互聯(lián)系著，包括橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系。第22頁(yè)/共92頁(yè)目的性數(shù)學(xué)育人目標(biāo)有一個(gè)從宏觀到微觀的層級(jí)系統(tǒng)。教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該把教學(xué)過程看成具有一定發(fā)展規(guī)律和趨勢(shì)的系統(tǒng)，在宏觀目標(biāo)指導(dǎo)下分析具體目標(biāo)和內(nèi)容，要注意把宏觀目標(biāo)落實(shí)在具體課堂中，使每一堂課都為達(dá)到宏觀目標(biāo)服務(wù)。問題：數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的層級(jí)系統(tǒng)是怎樣的？第23頁(yè)/共92頁(yè)宏觀到微觀的目標(biāo)體系教育方針課程目標(biāo)單元目標(biāo)課時(shí)目標(biāo)課堂教學(xué)中，三維目標(biāo)融為一體，內(nèi)容為載體，過程中體現(xiàn)思想方法、思維能力，挖掘內(nèi)容所蘊(yùn)含的育人資源，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐步提升。第24頁(yè)/共92頁(yè)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問題仍然是：碎片化教學(xué)，做題目成為一切，充其量只是培養(yǎng)了做題目的機(jī)器。從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點(diǎn)和歸宿看，思維的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，發(fā)展學(xué)生的理性精神，這是根本。問題是：依靠什么來(lái)實(shí)現(xiàn)？教學(xué)內(nèi)容的整體性——載體；系統(tǒng)思維——目標(biāo)；單元教學(xué)——途徑。第25頁(yè)/共92頁(yè)單元教學(xué)的組織要義整體——局部——整體前一個(gè)“整體”是先行組織者，認(rèn)識(shí)的結(jié)構(gòu)、普適性的思想方法、解決問題的策略，等等?！熬植俊笔菍?duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵、要素、概念的定義和表示、分類、性質(zhì)、特例……的研究，在這個(gè)過程中加強(qiáng)“如何歸納、抽象概念”、“如何發(fā)現(xiàn)值得研究的問題”、“如何研究性質(zhì)”、“如何找到證明的方法”……的引導(dǎo)。第26頁(yè)/共92頁(yè)后一個(gè)“整體”，在分課時(shí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的歸納、總結(jié)，不僅完善本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且建立與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第27頁(yè)/共92頁(yè)系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的單元教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量起始課課標(biāo)要求：構(gòu)建研究平面向量的基本線索，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和基本要素。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：體現(xiàn)先行組織者思想，要在數(shù)學(xué)的整體觀指導(dǎo)下，構(gòu)建研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（平面向量）的基本線索，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建平面向量的概念。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。第28頁(yè)/共92頁(yè)先行組織者：構(gòu)建研究路徑“平面向量”是高中數(shù)學(xué)中典型的“新對(duì)象”：既是幾何研究對(duì)象，也是代數(shù)研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁；向量理論是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具。問題思考：①“幾何對(duì)象”指什么？“代數(shù)對(duì)象”指什么？②向量是怎樣的基本工具，如何使它好用？——方向很重要，方向如何“運(yùn)算”是關(guān)鍵。第29頁(yè)/共92頁(yè)研究路徑是什么？如何構(gòu)建？背景引入概念定義、表示、性質(zhì)（要素之間的特殊關(guān)系）運(yùn)算和運(yùn)算律（引進(jìn)一種量就要定義運(yùn)算，定義一種運(yùn)算就要研究運(yùn)算律）向量基本定理及坐標(biāo)表示應(yīng)用問題思考：①章引言怎么用？②“研究路徑”非出不可，什么時(shí)候出？開頭、中間或結(jié)尾？第30頁(yè)/共92頁(yè)“獲得向量概念”要做哪些事？獲得研究對(duì)象：定義向量概念，認(rèn)識(shí)“平面向量集合”中的元素。現(xiàn)實(shí)背景（力、速度、位移等）——定義——表示（圖形、符號(hào)、方向、大?。乩阆蛄?、單位向量）——性質(zhì)（向量與向量的關(guān)系，相等是最重要的關(guān)系；重點(diǎn)考慮“方向”，所以先有平行、共線、相反向量；等等）。第31頁(yè)/共92頁(yè)延伸問題：如何定義向量加法？既有大小，又有方向——“方向”如何相加？“位移”是最好的模型，得到“三角形法則”；接下來(lái)研究什么問題？定義a+0=0+a=a（完備性）；向量加法的性質(zhì)：特例（共線）、三角形不等式；運(yùn)算律。第32頁(yè)/共92頁(yè)四、構(gòu)建研究幾何對(duì)象的整體思路立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。位置關(guān)系：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；研究方法：直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等。第33頁(yè)/共92頁(yè)總體目標(biāo)：認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的概念、判定和性質(zhì)，建立空間觀念；提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。位置關(guān)系的具體內(nèi)容：點(diǎn)、直線、平面作為“基本圖形”，四個(gè)基本事實(shí)（平面三公理，平行公理）、一個(gè)等角定理；直線、平面的平行和垂直的判定、性質(zhì)。第34頁(yè)/共92頁(yè)1.平面三公理課標(biāo)要求：借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義，了解三個(gè)公理。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)刻畫空間中點(diǎn)、直線、平面的基本特征（如平面的“平”）的方法，要注意“三種語(yǔ)言”的訓(xùn)練，建立空間觀念，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。第35頁(yè)/共92頁(yè)問題1“平面三公理”的內(nèi)容是什么？它的數(shù)學(xué)功能是什么？問題2從中能體會(huì)刻畫平面的“平”的數(shù)學(xué)思想方法嗎？問題3在理解點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的過程中，作圖的作用是什么？第36頁(yè)/共92頁(yè)2.關(guān)于位置關(guān)系的性質(zhì)什么叫“性質(zhì)”？——只有明白了這個(gè)問題，才能使學(xué)生在獨(dú)立面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)知道從哪里下手研究性質(zhì)，才能使學(xué)生自主探究，才能使發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力的培養(yǎng)落在實(shí)處。這樣，核心素養(yǎng)的落實(shí)也就自然而然、水到渠成。第37頁(yè)/共92頁(yè)“性質(zhì)就是一類事物共有的特性”，正確但過于宏觀，在具體思考中沒有可操作性，需要針對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行歸納。例如：運(yùn)算中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)——研究代數(shù)性質(zhì)，“算算看”是基本方法；變化中的不變性（規(guī)律性）就是性質(zhì)——研究函數(shù)的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)變化中進(jìn)行觀察是基本方法；要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)——觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系（位置關(guān)系、大小關(guān)系等）是研究幾何性質(zhì)的基本方法；……第38頁(yè)/共92頁(yè)幾何性質(zhì)的分類幾何問題可以分為兩大類：

幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征幾何圖形的位置關(guān)系幾何圖形的性質(zhì)：一個(gè)幾何圖形的組成要素、相關(guān)要素之間的相互關(guān)系（定性、定量）；位置關(guān)系的性質(zhì)：點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，核心是平行、垂直，距離、角度、對(duì)稱等是刻畫位置關(guān)系的基本方法。第39頁(yè)/共92頁(yè)什么叫“幾何體的結(jié)構(gòu)特征”？結(jié)構(gòu)特征就是這類幾何對(duì)象（如棱柱）組成要素之間確定的關(guān)系。結(jié)構(gòu)特征有多種表現(xiàn)形式，選刻畫這類對(duì)象的充要條件作為定義（包含的要素關(guān)系盡量少），作為研究的出發(fā)點(diǎn)，其他的特征作為性質(zhì)。定義——充要條件；性質(zhì)——必要條件；判定——充分條件（研究直線垂直于平面的判斷，就是探究什么條件能確保垂直）。第40頁(yè)/共92頁(yè)思考：位置關(guān)系的性質(zhì)如何表現(xiàn)？例如：兩條直線平行，從“同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等”以及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)”是與“第三條直線”構(gòu)成某種關(guān)系——平行、相交，相交時(shí)又形成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。從方法論的高度，研究?jī)蓚€(gè)幾何元素（兩條直線）的某種位置關(guān)系（平行）的性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何元素與同類幾何元素之間是否形成確定的關(guān)系。具體方法是讓“同類元素”動(dòng)起來(lái)，看“變化中的不變性”。第41頁(yè)/共92頁(yè)空間中直線、平面的垂直關(guān)系課標(biāo)要求：探索空間直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)，如：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直；等等。第42頁(yè)/共92頁(yè)教學(xué)設(shè)計(jì)要求：在明確“什么是圖形的位置關(guān)系的性質(zhì)”的基礎(chǔ)上，通過類比直線、平面“平行關(guān)系”的性質(zhì)，從整體上提出“垂直關(guān)系的性質(zhì)”的猜想。選擇“垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行”等典型猜想給出證明。要體現(xiàn)研究幾何問題的“基本套路”，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)第43頁(yè)/共92頁(yè)這樣處理有什么好處？完整的、統(tǒng)一的解決方案，立意高，思想性強(qiáng)，“數(shù)學(xué)味”濃；反映數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，是自然而水到渠成的；探索性更強(qiáng)，能更好地落實(shí)“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力的培養(yǎng)”，創(chuàng)造性也更強(qiáng)；第44頁(yè)/共92頁(yè)符合數(shù)學(xué)思維規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體觀，使性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)具有必然性，能給學(xué)生更多智慧的啟迪，思維的教學(xué)更加到位；更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主性，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。第45頁(yè)/共92頁(yè)學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)過直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，已經(jīng)了解了研究一種幾何位置關(guān)系的“基本套路”：從判定到性質(zhì)，性質(zhì)的內(nèi)容、過程和方法，因此與學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備相適應(yīng)。當(dāng)前的問題是對(duì)“什么叫判定”、“什么叫性質(zhì)”的歸納不夠，導(dǎo)致學(xué)生的盲目探究，無(wú)邏輯的猜想，使發(fā)現(xiàn)和提出猜想成為偶然。為什么可以這么做？第46頁(yè)/共92頁(yè)直線與平面垂直的性質(zhì)的問題串一、復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義及判定定理，請(qǐng)大家回顧一下內(nèi)容和研究思路。二、引入新課研究了直線與平面垂直的判定，你覺得接下來(lái)我們研究什么？——性質(zhì)追問：具體地，就是要研究什么？——以“直線與平面垂直”為條件能推出什么結(jié)論。第47頁(yè)/共92頁(yè)定義既可以作為判定，又可以作為性質(zhì)。此外，還有其它性質(zhì)嗎？如何發(fā)現(xiàn)性質(zhì)？（學(xué)生沒有思路時(shí)）回顧直線與平面平行性質(zhì)的研究過程，它是從什么角度入手發(fā)現(xiàn)的？類比一下，你覺得如何入手？教師引導(dǎo)：平行性質(zhì)的研究，是以直線a與平面α平行為條件，借助經(jīng)過直線a的平面β，發(fā)現(xiàn)a與α、β的交線b平行，而且這個(gè)平行關(guān)系不會(huì)隨β的改變而改變，從而得到了一條線面平行的性質(zhì)。仿照上面的歸納，你能說(shuō)說(shuō)平面與平面平行的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的嗎？第48頁(yè)/共92頁(yè)你能總結(jié)一下如何研究一種位置關(guān)系的性質(zhì)了嗎？平行關(guān)系的性質(zhì)，就是以線面、面面平行為條件，通過考察它們與另一條直線、另一個(gè)平面形成的關(guān)系中，有哪些不變的特性。接下來(lái)，類比直線與平面平行性質(zhì)的研究思路和方法，先獨(dú)立思考、探究，得出結(jié)果后再相互交流、討論。要求：把你發(fā)現(xiàn)的線面垂直性質(zhì)總結(jié)提煉出來(lái)，并用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)。第49頁(yè)/共92頁(yè)五、認(rèn)知觀指導(dǎo)下的概念教學(xué)理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的首要任務(wù)。理解概念主要靠歸納思維，概念教學(xué)要用歸納式。概念教學(xué)要遵循一定之規(guī)，這是由數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知概念的思維過程所決定的。概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要任務(wù)是：選擇典型豐富的具體實(shí)例，設(shè)計(jì)歸納具體實(shí)例的共同特征、抽象出本質(zhì)特征，并概括到同類事物中去的過程。第50頁(yè)/共92頁(yè)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)背景引入——借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念；共性歸納——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征；下定義——明確本質(zhì)屬性，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；第51頁(yè)/共92頁(yè)概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。第52頁(yè)/共92頁(yè)函數(shù)概念的教學(xué)課標(biāo)要求：在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合與對(duì)應(yīng)關(guān)系的語(yǔ)言刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：要體現(xiàn)以概念形成的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本環(huán)節(jié)，通過適當(dāng)?shù)膯栴}情境引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性，體會(huì)用集合對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫函數(shù)概念的思想方法。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。第53頁(yè)/共92頁(yè)“理解數(shù)學(xué)”（課標(biāo)說(shuō)）函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最基本概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)模型和工具，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。從“刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具”到“實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”；高中函數(shù)概念強(qiáng)調(diào)了定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)應(yīng)關(guān)系指的是對(duì)應(yīng)的結(jié)果，而不是對(duì)應(yīng)過程；“y=f(x)，x∈A”是一個(gè)整體。第54頁(yè)/共92頁(yè)如何設(shè)計(jì)歸納過程以概念形成方式，要完成“實(shí)例——共性歸納——定義——辨析——簡(jiǎn)單應(yīng)用”的過程。其中，對(duì)“事實(shí)”的分析、共性歸納是關(guān)鍵之一，“辨析”又是一個(gè)關(guān)鍵。第55頁(yè)/共92頁(yè)認(rèn)真講好三個(gè)實(shí)例有解析式的，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注x在哪個(gè)范圍取值，例如“炮彈距離地面的高度h隨時(shí)間t的變化而變化的規(guī)律是h=130t-5t2，經(jīng)過26s落地”，應(yīng)該問：①時(shí)間t的變化范圍是什么？②問題“100s時(shí)對(duì)應(yīng)的高度是多少”有沒有意義？——沒有意義了，因?yàn)榕趶棸l(fā)射的過程在26s時(shí)已經(jīng)結(jié)束。③你認(rèn)為如何描述才能真實(shí)反映炮彈發(fā)射過程？第56頁(yè)/共92頁(yè)臭氧空洞面積變化圖第57頁(yè)/共92頁(yè)（1）時(shí)間的變化范圍是什么？空洞面積s的變化范圍是什么？（2）s是t的函數(shù)嗎？為什么？——不能僅僅以“因?yàn)槿我庖粋€(gè)時(shí)間t都有唯一一個(gè)面積s與之對(duì)應(yīng)”了事，應(yīng)該讓學(xué)生在圖上找出來(lái)，再借助信息技術(shù)，把對(duì)于過程表達(dá)出來(lái)！（3）從所給的圖中能回答“2002年對(duì)應(yīng)的臭氧空洞面積是多少”嗎？（4）這是一個(gè)函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個(gè)函數(shù)，你會(huì)怎么做？把這個(gè)圖搬出來(lái)嗎？——符號(hào)意識(shí)，s=f(t)呼之欲出。第58頁(yè)/共92頁(yè)恩格爾系數(shù)變化表時(shí)間（年）9192939495969798990001恩格爾系數(shù)(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9第59頁(yè)/共92頁(yè)（1）這個(gè)表格中，時(shí)間的變化范圍是什么？能不能用[1991,2001]表示？恩格爾系數(shù)的變化范圍是什么？（可以是[0.37,0.54]，其實(shí)是（0,1））（2）由這個(gè)表格，能判斷恩格爾系數(shù)是不是年份的函數(shù)？你能說(shuō)清楚到底是怎么對(duì)應(yīng)的嗎？（3）由這個(gè)表格，能得到2002年的恩格爾系數(shù)嗎？（4）這是一個(gè)函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個(gè)函數(shù)，你會(huì)怎么做？把這個(gè)表搬出來(lái)嗎？——符號(hào)意識(shí)，設(shè)恩格爾系數(shù)為w，年份為t，w=f(t)呼之欲出。第60頁(yè)/共92頁(yè)歸納共同特征它們都是函數(shù)，有什么共同特征？——數(shù)集A，B，一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示形式不同（解析式、圖、表），但本質(zhì)一樣：對(duì)于集合A中任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。怎樣簡(jiǎn)捷地表示出來(lái)？——用符號(hào)化表達(dá)是數(shù)學(xué)的智慧，數(shù)學(xué)家是這么做的：

f：A→B

x→y=f(x)第61頁(yè)/共92頁(yè)如何辨析概念

第62頁(yè)/共92頁(yè)還可以讓學(xué)生根據(jù)解析式構(gòu)建實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題，如：（1）y=x2，x∈R——任意一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)于它的平方；（2）

y=x2，x∈(0,10]——正方形的邊長(zhǎng)x對(duì)應(yīng)于它的面積；（3）y=x(10－x)，x∈(0,10]——長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)之和為20，一邊長(zhǎng)x對(duì)應(yīng)于它的面積；……第63頁(yè)/共92頁(yè)從函數(shù)到三角函數(shù)課標(biāo)要求：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：在“函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和變化規(guī)律的最重要數(shù)學(xué)模型”的觀念下，體現(xiàn)用函數(shù)描述周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象、建立三角函數(shù)模型的完整過程，使學(xué)生理解三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。第64頁(yè)/共92頁(yè)（一）三角函數(shù)發(fā)展史概述三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生，到托勒密出版《數(shù)學(xué)匯編》，希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰。這部著作中有大量三角恒等變形問題，包括和（差）角公式、和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法。三角學(xué)的發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開始從天文學(xué)里分離出來(lái)，并成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。第65頁(yè)/共92頁(yè)為了應(yīng)付航海、天文、測(cè)量等實(shí)踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工作。因?yàn)樵谥谱鬟^程中需要大量的三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據(jù)了重要地位。隨著對(duì)數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角公式也風(fēng)光不再。第66頁(yè)/共92頁(yè)（二）三角函數(shù)課程的與時(shí)俱進(jìn)從應(yīng)用的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)椤叭呛瘮?shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要，最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系，可以說(shuō)，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一”。在建立三角函數(shù)的基本概念、認(rèn)識(shí)它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)y=Asin(ωx+φ)的研究很重要，實(shí)用且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。第67頁(yè)/共92頁(yè)“正弦、余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱性）的直接反映?！彼?，要充分發(fā)揮單位圓的作用，借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容，這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力。第68頁(yè)/共92頁(yè)在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換（映射）與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對(duì)稱性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法——有些放正文，有些可以作為拓展。這樣認(rèn)識(shí)和處理內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)性質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的作用。第69頁(yè)/共92頁(yè)要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何等的聯(lián)系與綜合，這可以通過加強(qiáng)三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)，也可以通過用向量、復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角變換公式等來(lái)實(shí)現(xiàn)。總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標(biāo)系中的單位圓。抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，這就真正抓住了要領(lǐng)，就能以簡(jiǎn)馭繁。第70頁(yè)/共92頁(yè)（三）課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)。整體要求：借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會(huì)引入弧度制的必要性；能夠用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性和最值等性質(zhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。第71頁(yè)/共92頁(yè)加強(qiáng)單位圓的作用，進(jìn)一步突出主線和核心概念；體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容、過程和方法：概念——圖像、基本性質(zhì)（直接由定義推出，要素的關(guān)系）——其他性質(zhì)（聯(lián)系層面）——應(yīng)用（把y=Asin(ωx+φ)作為應(yīng)用、建模的結(jié)果）。第72頁(yè)/共92頁(yè)（四）學(xué)生認(rèn)知分析認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念、表示與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)的一般方法，通過冪、指、對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過程與方法。這些函數(shù)的一個(gè)共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式都是代數(shù)式，是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映。學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)，對(duì)圓的幾何性質(zhì)有一定的掌握，但對(duì)“圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”強(qiáng)調(diào)不夠。第73頁(yè)/共92頁(yè)學(xué)習(xí)困難分析三角函數(shù)不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間的直接對(duì)應(yīng)，不是通過對(duì)α計(jì)算得到函數(shù)值，這是一個(gè)復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)情境，是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。在“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識(shí)上必須采取措施破除定勢(shì)，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要在落實(shí)“給定一個(gè)角，如何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程的基礎(chǔ)上再給定義。第74頁(yè)/共92頁(yè)三角函數(shù)的性質(zhì)與以往不同，主要表現(xiàn)在豐富的對(duì)稱性上；以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián)，例如，由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其坐標(biāo)的變化規(guī)律（非常直觀），由定義可直接推出單調(diào)性、周期性。第75頁(yè)/共92頁(yè)

第76頁(yè)/共92頁(yè)（五）三角函數(shù)的定義研究對(duì)象的獲得，從事實(shí)到概念。注重?cái)?shù)學(xué)化的過程，通過數(shù)學(xué)抽象，從勻速圓周運(yùn)動(dòng)到單位圓上點(diǎn)以單位速率運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的刻畫。概念及其表示，注重認(rèn)知過程的完整性，認(rèn)真解決四個(gè)問題：（1）函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？（2）決定這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？（3）要素之間的依賴關(guān)系是什么？（4）可以用什么數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫？第77頁(yè)/共92頁(yè)通過對(duì)運(yùn)動(dòng)過程涉及的量及其關(guān)系的分析，析出點(diǎn)的坐標(biāo)隨任意角的變化而變化的規(guī)律；數(shù)與形的表示；與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系（在銳角范圍內(nèi)的一致性）。第78頁(yè)/共92頁(yè)六、理解教學(xué)——教之道在于“度”道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，必須讓學(xué)生有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)思維更是用概念思維，因此數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維能力的最佳載體．從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展、自然拓展過程，數(shù)學(xué)性質(zhì)的合理猜想與論證過程出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)，就能實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)。第79頁(yè)/共92頁(yè)具體怎么做？加強(qiáng)一般觀念（bigidea）的指導(dǎo)作用，提升思想性。通過具體事例的歸納概括，特別是讓學(xué)生自主、探究、交流，給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)，從表達(dá)中把握學(xué)生的思維過程，捕捉生成性教學(xué)資源，并用“你是怎么想的？”“你是怎么想到的？”

“能把你的想法說(shuō)得更清楚一些嗎？”等促進(jìn)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生用概念解釋數(shù)學(xué)對(duì)象、通過