離散系統(tǒng)及其在生物與經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

離散系統(tǒng)及其在生物與經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)用背景：工業(yè)爐控制系統(tǒng)連續(xù)控制方式采樣控制方式第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一采樣控制原理圖

第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一差分方程與Z變換

第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一狀態(tài)空間形式與z變換

傳遞函數(shù)為拉普拉斯變換：

z變換：z與s的關(guān)系為：z變換的性質(zhì)：在零初值情況下第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一能控性與能觀性

能控性

上面離散系統(tǒng)在n個(gè)采樣時(shí)刻的狀態(tài)解是：Gn非奇異：與連續(xù)系統(tǒng)一樣，能控性矩陣秩為n；Gn奇異：對(duì)于使Gn

x(0)＝0的非零初態(tài)，與能控性矩陣的秩無關(guān)。

第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一能觀性

上面離散系統(tǒng)在n個(gè)采樣周期內(nèi)的量測值與初值x(0)的關(guān)系是：與連續(xù)系統(tǒng)一樣，系統(tǒng)能觀的充要條件是能觀性矩陣的秩為n。第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一高次差分方程與狀態(tài)方程選擇狀態(tài)變量則可得狀態(tài)方程第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)系統(tǒng)離散化D/A數(shù)字計(jì)算機(jī)連續(xù)系統(tǒng)保持器A/D采樣器連續(xù)系統(tǒng)時(shí)間離散化的實(shí)現(xiàn)第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)系統(tǒng)離散化

無論是利用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，還是利用計(jì)算機(jī)等離散控制裝置來控制連續(xù)時(shí)間受控系統(tǒng)時(shí)，都會(huì)遇到把連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為等價(jià)的離散時(shí)間系統(tǒng)的問題。連續(xù)線性定常系統(tǒng)其離散化后的方程為其中，T為采樣周期第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一連續(xù)系統(tǒng)離散化采樣周期T的選擇會(huì)影響可控性、可觀性的保持問題。

(由系統(tǒng)的解出發(fā)進(jìn)行離散化)幾個(gè)推論：時(shí)間離散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變性或定常性。

不管連續(xù)系統(tǒng)矩陣A是否為非奇異，但離散化系統(tǒng)的矩陣G一定是非奇異的。

第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一s平面與z平面的映射關(guān)系z(mì)變換中的復(fù)變量z與拉普拉斯變換的復(fù)變量s的關(guān)系是其中是采樣周期，將代入上式有所以即s的實(shí)部只影響z的模，s的虛部只影響z的角；左半s平面，即<0z平面單位圓內(nèi)部，即|z|<1s平面虛軸，即=0右半s平面，即>0z平面單位圓，即|z|=1z平面單位圓外部，即|z|>1第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一離散系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其特征方程的全部特征根都位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。是否存在類似于連續(xù)系統(tǒng)的Routh-Hurwitz判據(jù)？如果能找到一種變換：，將左半平面變成單位圓內(nèi)部，那么以z為變量的特征方程就可以變換成以s為變量的方程，從而可以借助于連續(xù)系統(tǒng)的Routh-Hurwitz判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。引入變換第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例子

已知離散系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為，即直接求解可得閉環(huán)特征根為如果做代數(shù)變換，令，代入特征方程得利用Hurwitz判據(jù)同樣可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一Lyapunov方法

連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)存在正定矩陣P使得離散系統(tǒng)：系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)存在正定矩陣P使得第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一離散系統(tǒng)的應(yīng)用第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一菲波納奇級(jí)數(shù)與兔口模型兔子的繁殖規(guī)律定義x3(t)——第t年新生兔數(shù)量（0～1歲）x2(t)——第t年1歲兔數(shù)量（1～2歲）x1(t)——第t年2歲兔數(shù)量（2～3歲）3歲以上兔子不予考慮。不考慮兔子死亡率x2(t＋1)＝x3(t)x1(t＋1)＝x2(t)x3(t)＝x2(t)＋x1(t)(設(shè)第t年每對(duì)1歲與2歲兔各生2只小兔)兔口模型第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一再設(shè)第0年1歲兔為x2(0)＝1萬只，2歲兔為x1(0)＝1萬只。用迭代法求解上式可以得到xi(t)，i=1,2的序列：xi(t)的每一項(xiàng)（t2）都是前兩項(xiàng)之和。這個(gè)序列被稱為菲波納奇序列。下面用z變換求菲波納奇級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式:第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一菲波納奇級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式將上式第一式代入第二式得到

求出x2(z)為：

查表求反變換得第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一考慮兔口增長率問題：設(shè)第t年兔子總數(shù)為y(t)，顯然有又

將通項(xiàng)帶入上式便求出第t年兔子總數(shù)量。兔子增長率定義為：從通項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)間足夠長的之后，增長率趨于一個(gè)常數(shù)：當(dāng)t＝0時(shí)，兔子數(shù)y(t)＝4萬只，那么30年以后兔子數(shù)為：y(30)=4×1.61803430=7441993.5萬只。第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一商品市場價(jià)格變化的蛛網(wǎng)模型

蛛網(wǎng)模型研究生產(chǎn)周期較長的商品（如農(nóng)產(chǎn)品）的產(chǎn)量和價(jià)格在偏離均衡狀態(tài)以后的實(shí)際波動(dòng)過程及其結(jié)果。

某種產(chǎn)品第t年需求量D(t)是當(dāng)年價(jià)格p(t)的線性函數(shù)：

該種產(chǎn)品供應(yīng)量S(t)則與去年價(jià)格p(t－1)有關(guān)，因?yàn)樵诘趖－1年時(shí)價(jià)格為p(t－1)，農(nóng)民則認(rèn)為第t年還是這個(gè)價(jià)格，從而去安排生產(chǎn)。而生產(chǎn)的投入到產(chǎn)出之間有時(shí)間延遲?，F(xiàn)供給函數(shù)為：

兩式中的a，b，e，f皆為大于0的常數(shù)。

第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

設(shè)某地區(qū)西瓜供求函數(shù)如式(1),(2)所示。具體參數(shù)為：

設(shè)1998年西瓜價(jià)格為p(0)=0.3元/公斤，1999年農(nóng)民愿意種西瓜量為S(1)=－0.5＋8×0.3＝1.9億公斤，在1999年上市西瓜1.9億公斤，如果西瓜還賣0.3元/公斤，吃瓜的需求量為D(1)＝7－12×0.3＝2.2億公斤>1.9億公斤，這意味著西瓜供不應(yīng)求，因此西瓜將會(huì)漲價(jià)，直至供求平衡，供求平衡價(jià)格由下式?jīng)Q定：D(1)＝S(1)，可得p(1)＝0.425元/公斤。在2000年如果還賣0.425元/公斤，大眾的吃瓜量為1.9億公斤<2.9億公斤，西瓜將供過于求，要將2.9億公斤瓜全賣出去，其價(jià)格為：D(2)＝S(2)，p(2)＝0.34166元/公斤，類似地一年一年分析下去，可得西瓜價(jià)格波動(dòng)地圖解分析。第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一蛛網(wǎng)模型第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一理論分析：求解價(jià)格的變化，令D(t)=S(t)，得

做z變換求出反變換為：第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一從上式看出當(dāng)即特征方程bz＋f＝0的根的模小于1時(shí)，成立：即系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)候價(jià)格趨于供應(yīng)平衡價(jià)格：第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一封閉型蛛網(wǎng)PQ0SDP1P2Q1Q2第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一發(fā)散型蛛網(wǎng)PQSD0P1PeP2Q3Q1Q2第28頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

蛛網(wǎng)模型解釋了某些生產(chǎn)周期較長的商品的產(chǎn)量和價(jià)格的波動(dòng)的情況，是一個(gè)有意義的動(dòng)態(tài)分析模型。但是，這個(gè)模型是一個(gè)很簡單和有缺陷的模型。這是因?yàn)椋鶕?jù)該模型，造成產(chǎn)量和價(jià)格波動(dòng)的主要原因是：生產(chǎn)者總是根據(jù)上一期的價(jià)格來決定下一期的產(chǎn)量，這樣，上一