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矩陣理論第二講方陣的對角化第1頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)矩陣理論的應(yīng)用背景;矩陣、數(shù)域、映射、直積集、代數(shù)運算、集合對運算封閉、矩陣運算、負矩陣、零矩陣、方陣、對角陣、單位陣、轉(zhuǎn)置矩陣、分塊矩陣、分塊矩陣的相等、伴隨矩陣(adjointmatrix,NOTadjacentmatrix)、逆矩陣、逆的性質(zhì)、矩陣的秩、秩的性質(zhì)等矩陣運算:矩陣加法、矩陣減法、數(shù)乘矩陣、矩陣乘法、方陣的冪線性空間:非空集定義了加法,滿足4條有關(guān)加法的規(guī)律(加法交換群);定義了數(shù)乘,滿足4條有關(guān)數(shù)乘的規(guī)律;第2頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)(Continue)線性映射(線性算子、線性變換)同一數(shù)域上的線性空間到線性空間的映射線性泛函線性空間到數(shù)域的映射線性子空間非空子集、加法與數(shù)乘的定義與原空間相同子空間的維數(shù)不超過其全空間的維數(shù)子空間的維數(shù)=生成元(列向量)構(gòu)成的矩陣(向量組)的秩第3頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)(Continue)單獨一個就已經(jīng)線性相關(guān)了,所以規(guī)定零子空間的維數(shù)為0,并且規(guī)定它的基為空集X是線性子空間,,集合是子空間,當(dāng)時,是由x生成的一維子空間YXZbac第4頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)(Continue)YXZ不相關(guān)第5頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)(Continue)線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次非齊次第6頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)(Continue)方陣的特征值與特征向量特征矩陣第7頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一回顧與復(fù)習(xí)(Continue)特征多項式特征方程第8頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)特征值的代數(shù)重數(shù)若是的k重特征值,則稱λ的代數(shù)重數(shù)為k特征值的幾何重數(shù)的解空間稱為A的屬于特征值λ的特征子空間,記為。特征子空間的維數(shù)稱為A的特征值λ的幾何重數(shù)特征值的幾何重數(shù)不超過它的代數(shù)重數(shù):若是的k重特征值,則第9頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)矩陣的多項式設(shè)f(λ)是λ的多項式:運算結(jié)果是一個數(shù)對,定義為矩陣A的多項式:運算結(jié)果是一個上的矩陣矩陣的多項式的特征值和特征向量若是的特征值,是A的屬于λ的特征向量,那么x也是的屬于特征值的特征向量:(對A的任一特征值λ)第10頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)證明:由方陣的冪的定義,有那么如果第11頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)屬于不同特征值的線性無關(guān)的特征向量組,組合起來仍線性無關(guān)設(shè)是的互異特征值,是分別與對應(yīng)的個線性無關(guān)的特征向量,則線性無關(guān)推論:屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)證明:對特征值的個數(shù)用歸納法。當(dāng)k=1時,顯然成立。設(shè)時成立,需要證明k=m時也成立。第12頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)為此,設(shè)有F上的常數(shù):使得:用乘以上式兩邊:用A左乘(1)式兩端,并注意到:又有(2)式與(3)式相減(1)(2)(3)第13頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)即:又因為互異,故:將上式代入(1)式,得即k=m時,定理也成立的線性無關(guān)的特征向量第14頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)方陣的跡設(shè),定義為方陣A的跡定理有且僅有n個特征值,且若是A的n個特征值,則的特征值是,而的特征值為第15頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)證明對A的階數(shù)用歸納法。A的階數(shù)為1時,,定理成立。設(shè)A的階數(shù)為n–1時定理成立,需要證明A的階數(shù)為n時,定理也成立。由行列式的性質(zhì)第16頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)第17頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)第18頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)上式中再令上式中λ=0,則又因為是的n個根,所以比較上式中的系數(shù)和常數(shù)項:第19頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)由上式可以立即得到兩條推論:滿秩A的所有的特征值都異于零對,0是A的特征值證明也是的特征值證明是的特征值:第20頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一特征值與特征向量(Continue)用數(shù)學(xué)歸納法證明第21頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣乘積的跡定理設(shè),則證明:設(shè),,則AB的對角線元素為而BA的對角線元素為于是改變求和順序
第22頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的相似方陣相似的定義設(shè),若使得則稱A與B相似,記作相似矩陣的性質(zhì)自反性對稱性傳遞性,保秩性行列式相等矩陣函數(shù)相似特征多項式、特征值相同第23頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的相似(Continue)設(shè)因為,所以使得那么第24頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化方陣可對角化的定義對,若,則稱方陣A可對角化問題:如何判定一個方陣可對角化?可對角化的方陣如何實現(xiàn)可對角化?方陣可對角化的充要條件可對角化A有n個特征值,且每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)證明:(充分性)設(shè)有n個特征值:第25頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化方陣可對角化的定義對,若,則稱方陣A可對角化問題:如何判定一個方陣可對角化?可對角化的方陣如何實現(xiàn)可對角化?方陣可對角化的充要條件可對角化A有n個特征值,且每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù),即:
第26頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)可對角化方陣的對角化方法由的基構(gòu)成的矩陣可使證明:先證充分性。設(shè)有n個特征值:且第27頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)為的基,因互異,根據(jù)“屬于不同特征值的線性無關(guān)的特征向量組,組合起來仍線性無關(guān)”,A的n個特征向量線性無關(guān),因此注意到于是第28頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)于是r1列r1行第29頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)再證必要性,即可對角化A有n個特征值且每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)。不失一般性,設(shè)A相似于F上的一個n階對角陣根據(jù)相似的定義,使得上式右邊的對角陣以為其重特征值,“相似方陣有相同的特征值”,所以,A有n個特征值:下證第30頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)對T的n個列向量進行如下編號:那么比較上式兩邊矩陣的列向量,可得第31頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)由線性無關(guān)?!耙唤M向量線性無關(guān),則其一部分也線性無關(guān)”也線性無關(guān)?!熬€性無關(guān)向量的最大個數(shù)不超過其所在空間的維數(shù)”又由“特征值的幾何重數(shù)不超過它的代數(shù)重數(shù)”綜合上兩式推論1:若有n個互異的特征值,則A可對角化推論2:若的特征值都是單重的,則A可對角化第32頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)例:下列矩陣能否對角化?對可對角化的矩陣,求其相似變換矩陣和相應(yīng)的對角陣第33頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)第34頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)第35頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)此矩陣不能對角化!第36頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)對角陣的應(yīng)用:乘積、冪、求逆和求特征值都比較簡潔求冪:,求第37頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)求解線性微分方程組:寫成矩陣形式:
令第38頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一方陣的對角化(Continue)那么第39頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一Jordan標準形方陣化為對角形是有條件的退一步,如果一個方陣不能被化為對角形,能否降低要求,化為一個分塊對角形?在實數(shù)域內(nèi),此問題的答案是肯定的,分塊對角形就是所謂的Jordan標準形。定義Jordan塊稱形如的矩陣為階Jordan塊第40頁,共43頁,2023年,2月20日,星期一Jordan標準形(Continue)
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