重難點解析人教版九年級數(shù)學上冊第二十三章旋轉重點解析試題（含詳細解析）

人教版九年級數(shù)學上冊第二十三章旋轉重點解析

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，在A43C中，AB=2,5c=3.6,ZB=6O,將A48C繞點A順時針旋轉度得到AADE,當點

8的對應點八恰好落在邊上時，則CO的長為（）

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

2、觀察下列圖案，能通過左圖順時針旋轉90°得到的（）

3、如圖，將斜邊為4,且一個角為30°的直角三角形/如放在直角坐標系中，兩條直角邊分別與坐

標軸重合，。為斜邊的中點，現(xiàn)將三角形4仍繞。點順時針旋轉120°得到三角形放'，則點〃對應

的點的坐標為（）

A.（1,-x/3）B.（石，1）C.（2G，-2）D.（2,-273）

4、如圖，在中，ZACB=90°,㈤C=30。，。為AABC內一點，分別連接為、PB、PC,當

ZAPB=NBPC=NC以時，PA+PB+PC="，則比的值為（）

A.

CB

A.1B.尤C.￡D.2

5、下列圖形中既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形的是（）

八次

*

6、如圖，在小正三角形組成的網格中，已有6個小正三角形涂黑，還需涂黑〃個小正三角形，使它們

與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，貝IJ〃的最小值為（）

A.1（）B.6C.3D.2

7、下列所述圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.菱形D.平行四邊形

8、如圖，在矩形ABCO中，AB=4,BC=6,。是矩形的對稱中心，點E、F分別在邊A￡＞、BC

上，連接OE、OF,若AE=3尸=2,則OE+OF的值為（）

jED

BFC

A.272B.5后C.y[5D.26

9、如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，ZAOB=ZB=30°,

OA=2,將AAOB繞點。逆時針旋轉90。，點8的對應點用的坐標是（）

A.卜1,2+6)B.(-6,3)C.(-73,2+73)D.(-3,73)

10、如圖，在%中，AB=AC,若材是6c邊上任意一點，將a/繞點4逆時針旋轉得到△力GV,點

材的對應點為點M連接，加，則下列結論一定正確的是（）

A.AB=ANB.AB//NCC.ZAMN=ZACND.MNLAC

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，在平面直角坐標系中，42,0）,B（O,1）,AC由AB繞點A順時針旋轉90。而得，則AC所在直

線的解析式是

2、如圖，點少是正方形46切邊火上一點，連接力心將△/1應T繞著點4逆時針旋轉到的位置

（點尸在正方形4及小內部），連接上.若45=10,BE=6,DG//AF,則—.

3,如圖，在AABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60。，P為AABC內一點，貝|PA+PB+PC的最小值為

A

4、如圖，把正方形鐵片勿6,置于平面直角坐標系中，頂點/的坐標為（3,0）,點。（1,2）在正

方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°,第一次旋轉至圖①位

置，第二次旋轉至圖②位置…，則正方形鐵片連續(xù)旋轉2017次后，點尸的坐標為

5、如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形以3,N4=90°,點0為坐標原點，點8在x軸

上，點/的坐標是（1,1）.若將△的8繞點。順時針方向依次旋轉45°后得到△力而，△勿人，

△OA：&,…，可得4（五,0）,02（1,-1）,A.i（0,--72）,…則力孫’的坐標是.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1,ZVIBC的頂點都在網格線的交點上，點8

坐標為（-2,0），點。的坐標為（-1,2）.

(1)根據(jù)上述條件，在網格中畫出平面直角坐標系A-QV；

(2)畫出AABC關于x軸對稱圖形44瓦G；

⑶點4繞點6順時針旋轉90°,點4對應點的坐標為.

2、問題情境:

數(shù)學活動課上，老師讓同學們以“三角形的旋轉”為主題開展數(shù)學活動，^ABC和aDEC是兩個全等

的直角三角形紙片，其中/ACB=/DCE=90°,ZB=ZE=30°,AB=DE=4.

解決問題：

(1)如圖1,智慧小組將ADEC繞點C順時針旋轉，發(fā)現(xiàn)當點D恰好落在AB邊上時，DE〃AC,請你

幫他們證明這個結論；

(2)縝密小組在智慧小組的基礎上繼續(xù)探究，當ADEC繞點C繼續(xù)旋轉到如圖2所示的位置時，連

接AE、AD、BD,他們提出SMK=SAM￡,請你幫他們驗證這一結論是否正確，并說明理由.

3、如圖，〃是AABC的邊BC延長線上一點，連接AO,把AACD繞點A順時針旋轉60°

恰好得到AABE,其中。，E是對應點，若ZCW-18°,求NE4C的度數(shù).

4、如圖，等腰中，NA4C=90o,A3=AC,點尸為射線比上一動點(不與點6、C重合)，以

點。為中心，將線段氣逆時針旋轉。角，得到線段連接AP、8Q、必為線段切的中點.

⑴若點。在線段BC上,且"恰好也為止的中點，

RP

①依題意在圖1中補全圖形：②求出此時a的值和鋁的值；

AD

(2)寫出一個a的值，使得對于任意線段比■延長線上的點只總有鑒的值為定值，并證明；

PM

5、如圖1,等腰RAABC中，ZA=9O。，點￡>,E分別在邊AB,AC上，AD=AE,連接DC,點

M,P,N分別為DE,DC,8C的中點.

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關系是,位置關系是.

(2)探究證明：把AADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷力MN

的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：把AADE繞點A在平面內自由旋轉，若4)=8,A3=20,請直接寫出APMN面積的

最大值.

-參考答案-

一、單選題

1、A

【解析】

【分析】

由將aABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到AADE,當點B的對應點D恰好落在BC邊上，可得

AD=AB,又由NB=60°,可證得4ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2,則可求得答案.

【詳解】

由旋轉的性質可知，AD=AB,

'：ZB=60,AD=AB,

二A4D3為等邊三角形，

二BD=AB=2,

：.CD=CB-BD=].6,

故選A.

【考點】

此題考查旋轉的性質，解題關鍵在于利用旋轉的性質得出AD=AB

2、A

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉的定義,觀察圖形即可解答.

【詳解】

根據(jù)旋轉的定義，圖片按順時針方向旋轉90度，大拇指指向右邊，其余4個手指指向下邊，從而可

確定為A圖.

故選A.

【考點】

本題主要考查了旋轉的性質，熟知性質是解題的關鍵.

3、A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意畫出△力仍繞著。點順時針旋轉120°得到的OB',連接加，OD',過D'作DMLy

軸，由旋轉的性質得到/〃勿'=120°,根據(jù)/片物=勿=2,得到N力如度數(shù)，進而求出乙網/度

數(shù)為30°,在直角三角形〃跖'中求出。"與，跖’的長，即可確定出〃的坐標.

【詳解】

解：根據(jù)題意畫出必繞著。點順時針旋轉120°得到的△"OB',連接必，勿'，過〃'作

傲Ly軸，

：.ADOD'=120°,

???〃為斜邊46的中點，

：.AD=OD=^AB=2,

:"BAgNDOA=3Q°,

：.AMOff=30°,

在RtZ\QI步中，OD'=01）=2,

■-MD'=1,〃摩=>/5不匚礪石，

則D的對應點D'的坐標為（1,-6），

故選：A.

【考點】

此題考查旋轉的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質，30度角所對的直角邊等于斜邊

的一半的性質，勾股定理，正確掌握旋轉的性質得到對應的旋轉圖形進行解答是解題的關鍵.

4,C

【解析】

【分析】

將△加順時針旋轉60°,到△臺)邠處，得到△皮泌△/L8V是等邊三角形，證明C、P、M、/四點共

線，且滬90°,設除x,貝忙2x,A(=y[3x,利用勾股定理計算即可.

【詳解】

將△冊1順時針旋轉60°,到△的價'處，則△出M是等邊三角形,

N應渺=N8g60°,/瓦仲60°,PM=PB,BA=BN,P歸MN,

■：/CP//BPA=NAPC=4BMN=12G,

：.NBMP^NBM2\8G,ZBPC+ZBPM=180°,

：.QP、M、/V四點共線，

CP^P拈淤CP^PB^P歸721,

VZ^^30°,/物滬60°,

.\zmfc900,

設除X,則4戶5g2x,AOCx,

：.(>/3x)2+(2x)2=(>/21)2,

解得尸6，尸，舍去，

故選C.

【考點】

本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握旋轉的

性質是解題的關鍵.

5、B

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】

解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：B.

【考點】

此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿

對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

6、C

【解析】

【分析】

由等邊三角形有三條對稱軸可得答案.

【詳解】

如圖所示，〃的最小值為3.

故選C.

【考點】

本題考查了利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是掌握常見圖形的性質和軸對稱圖形的性質.

7、C

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】

解：A、等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確；

D、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選C.

【考點】

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.

8、D

【解析】

【分析】

連接/GBD,過點。作于點交BC于點N,利用勾股定理求得OE的長即可解題.

【詳解】

解：如圖，連接BD,過點。作仞于點M,交BC于點N,

AEMD

???四邊形485是矩形,

,-.OA=OD=OB

-OM-LAD

：.AM=DM=3

:.OM=-AB=2

2

?jAE=2

：.EM=AM-AE=\

OE=-JEM2+OM2=J1+22=石

同理可得OF=逐

;.OE+OF=2亞

故選：D.

【考點】

本題考查中心對稱、矩形的性質、勾股定理等知識,學會添加輔助線，構造直角三角形是解題關鍵

9、B

【解析】

【分析】

如圖，作軸于解直角三角形求出8月,CW即可.

【詳解】

解：如圖，作B7/_Ly軸于H.

由題意：OA=AB'=2,NB'A'"=60。，

4877=30。，

AAH'=^A'B'=\,B'H=^3,

OH=3,

￡（-G,3）,

故選：B.

【考點】

本題考查坐標與圖形變化一一旋轉，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造

直角三角形解決問題.

10、C

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉的性質，對每個選項逐一判斷即可.

【詳解】

解：?.?將△/8I/繞點［逆時針旋轉得到:.△ABgLACN,

：.AB=AC,A忙AM

.?"6不一定等于4V,故選項A不符合題意；

△仍儂△力制

NACN=/B,

而/06不一定等于N6,

N40V不一定等于NG48,

.?J6與OV不一定平行，故選項B不符合題意;

△AB34ACN,

:.NBAM=NCAN,AACN=AB,

，ABAOAMAN,

'：A^AN,AB=AC,

：.△/!比1和△兒娜都是等腰三角形，且頂角相等，

：.ZB=ZAMN,

:"A淤NACN,故選項C符合題意；

滬4M

而4。不一定平分/腸a;

.?"C與的，不一定垂直，故選項D不符合題意；

故選：C.

【考點】

本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定與性質.旋轉變換是全等變換，利用旋轉不變性是解題的

關鍵.

二、填空題

1、y=2x-4.

【解析】

【分析】

過點C作CD，x軸于點D,易知△ACD^^BAO(AAS),已知A(2,0),B(0,1),從而求得點C坐

標，設直線AC的解析式為y=kx+b,將點A,點C坐標代入求得k和b,從而得解.

【詳解】

解：VA(2,0),B(0,D

二OA=2,OB=\

過點。作CDJ_x軸于點D,

???NBOA=NADC=90°.

VZBAC=90°,

AZBA0+ZCAD=90°.

VZAB0+ZBA0=90°,

???ZCAD=ZABO.

VAB=AC,

...\ACDgABAO(AAS).

:.AD=OB=\,CD=OA=2

：.C(3,2)

設直線AC的解析式為y=將點A,點C坐標代入得

j0=2k+b

[2=3k+b

,1%[k=T2

???直線AC的解析式為y=2x-4.

故答案為y=2x-4.

【考點】

本題是幾何圖形旋轉與待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合題，難度中等.

20

、

2T

【解析】

【分析】

由“HL”可證RfAAF”三心A4D”,可得FH=DH,由“44S"可證ADHGwAFHN,可得HG=HN,

可得PF=DN=6,再由勾股定理可求/只FN、DH,即可求解.

【詳解】

如圖，連接過點Q作RVJ_"于點兒〃于點R

???將△/座繞著點A逆時針旋轉到△〃七的位置，

AB=AF,ZABE=ZAFG=90°,BE=FG=6,

:.AF=AD,

?.?四邊形力65是正方形，

:.ZADH=90°,AB=AD,

ZADH=NAFH=90°,AD=AF,

又?.?A4=A",

Rt^AFH=RfMDH(HL),

:.FH=DH,

-DG//AF,

:&FG=/DGF=9Q。,

ZDGH=Zf7V//=9O°,

?；/DHG=/FHN,

??.ADHG=AFHN(AAS),

:.HG=HN,

:.DN=DH+HN=FH+HG=FG=6,

?；FN1CD,FPLAD,NA￡>C=90。，

???四邊形HMF是矩形，

；.PD=FN,PF=DN=6,

/.AP=4AF2-PF?=8,

：.PD=2=FN,

?,?FH?=HN?+FN?,

D/72=(6-D/7)2+4,

：.DH=—

39

.\CH=DC-DH=—

3f

20

故答案為：y.

【考點】

本題考查了旋轉的性質，正方形的性質、矩形的判定與性質，全等三角形的判定和性質及勾股定理,

熟練掌握知識點是解題的關鍵.

3、M

【解析】

【分析】

將4APB繞點A順時針旋轉60°,得到△AP9,連接PP、CB',作CN，*4交皮4的延長線于點

N,則4A產夕gaAPB,由題意可證是等邊三角形，所以以+依+尸。=尸。+尸尸'+〃？，所

以當從P、P、C共線時，PA+P8+PC=3'C最小，求出B'C=NBN+CN?=屏即可;

【詳解】

將4APB繞點A順時針旋轉60°,得到△AP8',連接尸戶、CB',作CN,QA交正A的延長線于點

N,

則△

ZBAP=ZSAP,

二AB'=AB=3,AP,=AP,NB'AB=NP'AP=60°,

：./\PAP是等邊三角形，

AP=AP^PP,

PA+PB+PC=PC+PP+P'B',

當B'、P、P、C共線時，F(xiàn)4+P3+PC=3'C最小，

.,.ZCAN=180°-N3A3'—NBAC=60°,CN±AN,

.\ZACN=30°,

AN=^AC=\,CN=6AN=8,

：.B'N=AB'+AV=3+1=4,

B'cNeV+cM=曬，

...PA+PB+PC=B'C=M；

故答案為："3.

【考點】

本題考查了全等三角形判定與性質，旋轉的性質，以及等邊三角形的性質和求線段最值的問題，掌握

做輔助線是解題的關鍵.

4、(6053,2).

【解析】

【分析】

根據(jù)前四次的坐標變化總結規(guī)律，從而得解.

【詳解】

第一次R(5,2),第二次8(8,1),第三次P3(10,1),第四次Pi(13,1),第五次Ps(17,

2),…

發(fā)現(xiàn)點P的位置4次一個循環(huán)，

；2017+4=504余1,

P2OK的縱坐標與Pi相同為2,橫坐標為5+3X2016=6053,

.?.P2m(6053,2),

故答案為(6053,2).

考點：坐標與圖形變化-旋轉；規(guī)律型：點的坐標.

5、卜友,0)

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得：4(正，0),4(1,-1),A(0,-及)，

4(T,-1),人卜0,0),4(-1,1)，4(0,&),4(1,1)，…，由此發(fā)現(xiàn)，旋轉8次一個循環(huán)，再由

2021+8=252……5,即可求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：4(應，0),A，(1,-1),4(0,-&),

A4(-l-l),Ai(-V2,0)，A,(-M)，A7(0,A/2)，4(U),由此發(fā)現(xiàn)，旋轉8次一個循環(huán)，

：2021+8=252……5,

的坐標是(-夜，。).

故答案為：卜應，。)

【考點】

本題主要考查了圖形的旋轉，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵.

三、解答題

1、(1)見解析

(2)見解析

(3)(2,2)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點6坐標為(-2,0),點C的坐標為(-L2)確定原點，再畫出坐標系即可；

(2)畫出三角形頂點的對稱點，再順次連接即可;

(3)畫出旋轉后點的位置，寫出坐標即可.

(1)

解：坐標系如圖所示，

⑵

解：如圖所示，AA4G就是所求作三角形;

（3）

解：如圖所示，點4繞點6順時針旋轉90°的對應點為A,坐標為（2,2）；

故答案為：（2,2）

【考點】

本題考查了平面直角坐標系作圖，解題關鍵是明確軸對稱和旋轉的性質，準確作出圖形，寫出坐標.

2、(1)證明見解析；(2)正確，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)如圖1中，根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD,然后求出4ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性

質可得/ACD=60°,然后根據(jù)內錯角相等，兩直線平行進行解答；

(2)如圖2中，作DMLBC于M,ANLEC交EC的延長線于N.根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE,AC=

CD,再求出NACN=NDCM,然后利用“角角邊”證明4ACN和ADCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相

等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明.

【詳解】

解：(1)如圖1中，???△?￡(：繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

AAC=CD,

VZBAC=900-ZB=90°-30°=60°,

.,.△ACD是等邊三角形，

，NACD=60°,

又?.,NCDE=/BAC=60°,

，NACD=NCDE,

ADE#AC；

(2)結論正確，

理由如下：如圖2中，作DMLBC于M,ANJ_EC交EC的延長線于N.

,/ADEC是由4ABC繞點C旋轉得到，

，BC=CE,AC=CD,

VZACN+ZBCN=90°,ZDCM+ZBCN=180°-90°=90°,

/.ZACN=ZDCM,

在AACN和ADCM中，

ZACN=ZDCM

"NCMD=NN=90°,

AC=CD

.,.△ACN^ADCM(AAS),

AAN=DM,

AABDC的面積和AAEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即SABDC=SAAEC.

【考點】

本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，旋轉的

性質的綜合應用，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

3、42°

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉的性質得到ZDAE=60°,再根據(jù)ZE4C=ZEAD-ZCAD計算解題即可.

【詳解】

解：..?把zMC。繞點力順時針旋轉60°恰好得到△ABE,

NZME=60°,

ZE4C=ZEAD-ZCAD=42°.

故答案為：42°

【考點】

本題考查旋轉、角的和差等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

4、（1）①見解析；②

⑵夕=90。，理由見解析

【解析】

【分析】

（1）①由題意，畫出圖形即可；②連接證四邊形46/W是平行四邊形，得AB=PC,再根據(jù)

△A5C是等腰三角形即可求解.

(2)令e=90。，延長至乂使得楊4連接HV、AN、QN,證四邊形"QP是矩形，根據(jù)四證

△ACP*ABN,得出AANP為等腰直角三角形，即可求解.

⑴

①如圖所示，即為所求,

②連接如圖所示,

?歷為相、60的中點,

.四邊形月應過是平行四邊形,

.AB=PQ,AB//PQ,

.a=ZQPC=ZABC=45°,

,POPQ,

.AB=PC,

?△ABC為等腰直角三角形,

AB：AC：BC=\:1：V2，

BP及PC-PC=>/2—1.

PCPC

⑵

a=90°，

延長月17至此使得物三網，連接5乂AN、QN,

如圖所示：

,??〃為線段園的中點，

:.B歸QM,

又,：MN=PM,

...四邊形6M火是平行四邊形，

又,

.?.四邊形以是矩形，

:.BN//PQ,BN=PQ,

:.ZNBP=l80°-a=90°,

:△ABC為等腰直角三角形，

ZABN=45°+90°=135°,ZACP=180°-45°=135°,艮［JZACP=ZABN,

又AB=AC,

；4ACP*ABN(SAS),

AN=AP,ZCAP=ZBAN,

：.^CAP+ZCAN=ZBAN+ZCAN,即NM4P=NBAC=90°,

即A4VP為等腰直角三角形,

.AP

二.=—,

PN2

又*.?PM=LpN,

2

,4=0,

PM

Ap

即黑的值為定值，

PM

AD

當a=90。時，力j的值為定值.

PM

【考點】

本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形、平行四邊形的判定及性質、旋轉的性質以及全等三

角形的判定及性質，熟練利用輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵.

5、(1)PM=PN,PMLPN；⑵APMN是等腰直角三角形，理由見解析；(3)98

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可證得8O=CE,利用三角形的中位線定理得出PM=gcE,PN=；BD,即可得出數(shù)

量關系，再利用三角形的中位線定理得出PM//CE,得出/DPM=/OC4,通過角的轉換得出

與N