第七講分布函數(shù)及連續(xù)型隨機(jī)變量

第七講分布函數(shù)及連續(xù)型隨機(jī)變量第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、隨機(jī)變量的概念（P21）由于隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果是知道的，就可以對(duì)每一個(gè)結(jié)果賦予一個(gè)相應(yīng)的值，這就建立了“事件”與數(shù)之間的一種函數(shù)系，而這種關(guān)系中自變量不是數(shù)，而是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果(樣本點(diǎn))，因而稱為“樣本點(diǎn)的函數(shù)”。且不論自變量還是因變量，它們?nèi)〉侥硞€(gè)“值”都是帶有偶然性的，是不確定的。我們把這種取值帶有隨機(jī)性的變量稱為隨機(jī)變量，一般用希臘字母或用大寫字母X,Y,Z…來表示。(理論定義見P22定義2.1）第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一隨機(jī)變量的分類：第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機(jī)變量（P22）定義(P22)：

X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …定義2.2：設(shè)離散型隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)為X的概率函數(shù)或概率分布或分布律。為X的概率分布表或分布列分布律的性質(zhì)（P22)：(1)pk0,k＝1,2,…;

而稱非負(fù)性歸一性第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

(0-1)分布若隨機(jī)變量X只取0,1兩個(gè)值,則稱X服從(0－1)分布。其概率函數(shù)為：P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1分布列為：1、兩點(diǎn)分布(P22)（貝努里分布）：只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布三、常用離散型隨機(jī)變量的分布（P22）第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一2、二項(xiàng)分布（P23）定義2.4：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為其中則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，簡記為：第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一定義：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為普哇松分布，簡記為：3、泊松（Poisson)分布（普哇松分布）（P24）第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一要求：

（1）明確隨機(jī)變量的含義。（2）掌握離散型隨機(jī)變量的概率分布。（3）掌握幾個(gè)常用離散型隨機(jī)變量的分布及相關(guān)概率計(jì)算。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一、分布函數(shù)（P27）第七講分布函數(shù)和連續(xù)型隨機(jī)變量

定義(P27)：設(shè)是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)，事件的概率稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。記為，即第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一分布函數(shù)的性質(zhì)(P28)

若x1<x2,則F(x1)

F(x2);(2)規(guī)范性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且

若某函數(shù)滿足上述3條性質(zhì)，則它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)

(1)單調(diào)不減性：教材P28第14行…“四條”應(yīng)改為“（1）（2）（3）條”

例1中證明滿足（4）的部分去掉第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例1：解：第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為解

012P0.10.60.3例2:設(shè)隨機(jī)變量具有分布律如右表試求出的分布函數(shù)。二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)（P28）第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一一般結(jié)論：X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：則X的分布函數(shù)為：第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一0－1－2123P0.10.20.20.10.30.1課練:設(shè)隨機(jī)變量具有分布律如下表試求出的分布函數(shù)。第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三、連續(xù)型隨機(jī)變量(P30)

定義(P31)：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，如果隨機(jī)變量的分布函數(shù)F（x）可以寫成則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，為的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為～,(-<x<+)由積分知識(shí)可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的幾何意義是：以概率密度曲線為頂，以X軸為底的一個(gè)左開口曲邊梯形的面積（見P31）第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

密度函數(shù)的性質(zhì)(P31-32)(1)非負(fù)性

0，(-<x<)；

(2)歸一性（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，連續(xù)型隨機(jī)變量取該值的概率為零，即(-<b<)，則P{=b}＝0。第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

連續(xù)型隨機(jī)變量落入某區(qū)間的概率等于其密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分或其分布函數(shù)在該區(qū)間“右端點(diǎn)”處的值減去“左端點(diǎn)”處的值記在P32第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例3：解：第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有1、均勻分布(P32)則稱服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布。記作~U[a,b]試求其分布函數(shù)F(x)四、常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布（P32）

第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一記在P33第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例4.長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率1545解：設(shè)A=“乘客候車時(shí)間超過10分鐘”X為乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU[0,60]第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一2、指數(shù)分布（P33）第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一本次課要求：（1）明確分布函數(shù)的含義。

（2）掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)和分布函數(shù)及簡單概率計(jì)算。