奧數-平行四邊形-7-9教師版

第九講第九講平行四邊形

考點突破—角（1）在平行四邊形ABCD中，的值可能是（）A．B．C．D．考點突破—邊⑵在同一平面內，從①；②；③；④，這四個條件中任選兩個，能使四邊形是平行四邊形的選法有（）A．3種B．4種C．5種D．6種考點突破——對角線⑶下面給定的條件中，能畫出平行四邊形的是（）A．以60cm為一對角線，8cm、10cm為兩邊鄰邊；B．以6cm、10cm為對角線，8cm為一邊；C．以60cm為一對角線，20cm、34cm為兩條鄰邊；D．以20cm、36cm為對角線，22cm為一邊．考點突破——計算⑷的周長是120cm，對角線相交于點，比的周長小10cm，則，．考點突破——構造⑸已知三角形，若存在點使得以為頂點的四邊形是平行四邊形，則這樣的點有個．若已知的周長為3則以所有點圍成的多邊形周長為.考點突破——面積⑹如圖，平行四邊形中,是形內任意一點，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面積分別為則一定成立的是（）A．B．C．D．考點突破——應用⑺如圖，四邊形ACED為平行四邊形，DF垂直平分BE，甲乙兩蟲同時從A點開始爬行到F點，甲蟲沿著A-D-E-F的路線爬行，乙蟲沿著A-C-B-F的路線爬行，若它們的爬行速度相同，則（）A．甲蟲先到B．乙蟲先到C．兩蟲同時到D．無法確定【解析】⑴C⑵B⑶D⑷AB35cm,BC25cm，⑸3，6⑹D⑺C已知：如圖平行四邊形ABCD，E、F是直線BD上兩點，且DEBF．求證：AECF．（至少用2種方法解答）【解析】方法一∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD∥CB．∴ADBCBD，∴ADECBF．∵DEBF．∴ADE≌CBF(SAS)，∴AECF．方法二：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABDC，AB∥DC∴ABDCDB又∵DEBF∴DEBDBFBD即EBFD∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AECF方法三：∵四邊形ABCD是平行四邊形，連結AC交BD于O，則OAOC，OBOD．∵DEBF，∴ODDEOBBF，即：OEOF．∵AOECOF，∴AOE≌COF(SAS)，∴AECF．方法四：連結AC交BD于O，分別連結AF、EC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OAOC，OBOD．∵DEBF，∴ODDEOBBF，即：OEOF．∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AECF．【點評】已知平行四邊形求線段相等的問題，往往是利用已知平行四邊形的性質，證三角形全等或構建新的平行四邊形，得證線段相等．此題可用多種方法解答，充分復習了平行四邊形的性質及判定的重要性質．【建議】前三種方法實質為同一種方法——證全等，重點講解方法四，傳遞一種新的思維方式：證明等量關系時，不再以全等三角形方法為首選，也可嘗試構造平行四邊形的方法．已知，在等腰△ABC中，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且BDEC，連結DE．求證：【分析】結合鋪墊題目及解答，很快得到解法一．【解析】解法一：過E作EG∥AB交BC延長線于G，連結DG，BE．過D作于M，于N．∴∵∴∴∴∴∵∴∵∴∴BDGE∴四邊形BDGE為平行四邊形∴，易證△DFM≌△EFN∴FMFN∴BMGN∴BMCN∴BCMN2FM∵DFFM∴DEBC解法二思路：也可以平移線段DE或BC，造平行四邊形，同時將BD、CE轉移到同一三角形中．證明：過B作BG∥DE，連結CG、GE，GE交BC延長線于H。∴四邊形BDEG為平行四邊形∴∵∴∴∴∵∴∴在△GCH中，∴∴∴∴【點評】方法一本質是構造了以DE為對角線的平行四邊形，實現將線段DE轉移到線段BC所在直線上。如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+BC=AD+CD．求證：四邊形ABCD為平行四邊形【分析】從已知條件出發(fā)，重點考慮AB+BC=AD+CD的應用．結合所要證明的結論，我們只需證明ABCD．先將ABCD，ADCD分別并為一條線段，所以我們分別延長AB、CD，使BEBC，DFAD，得AECF．已知AB∥CD，則．AECF【解析】證明：如圖，延長AB至E，使BEBC，連結CE．延長CD至F，使DFAD，連結AF?！摺嗉础逜B∥CD∴AECF∴四邊形AECF為平行四邊形∴AF=CE，∵，∴，∴在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE∴∴∴ABCD∴四邊形ABCD為平行四邊形。在△ABC中，AB=AC，D、E分別為AB、AC上任意兩點，滿足BDAE．求證：。【分析】本題形式簡潔，條件少而分散，結論也不簡單．我們還是從結論突破，由問題將已知條件串起來．思路一：聯想兩點之間線段最短，構造三角形，證明，如圖（1）；思路二：利用垂線段最短，造直角三角形，先需構造出的線段，如圖（2）．【解析】方法一：證明：如圖（1），過B作BFDE，連結EF、CF?！嗨倪呅蜝DEF為平行四邊形∴BDEF∴∵∴∴△DAE≌△CEF（SAS）∴∴根據兩點之間線段最短：∴，方法二：證明：如圖（2），取AB、AC中點M、N，連結MN．過D作DF∥MN，交AC于F，過N作NG∥AB交DF于G．∴MN∥BC，∴四邊形DMNG為平行四邊形∴DMGN，DGMNNGFADF∵ABAC∴BC∴AMBMANCN∵DBAE∴ADCE，∴ADAMCECN即DMEN∴ENGN∴GENNGE∵DF∥MN，MN∥BC∴DF∥AB∴ADFB，AFDC∴ADFAFD∴NGFNFG在△EGF中，∴∴根據垂線段最短∴DE≥DG∴DE≥MN,(中考題）閱讀下列材料：小明遇到一個問題：5個同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個新的正方形．他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點O旋轉至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個新的正方形DEFG．請你參考小明的做法解決下列問題：⑴現有5個形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示．請將其分割后拼接成一個平行四邊形．要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個符合條件的平行四邊形即可）；⑵如圖4，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點E、F、、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，分別連結AF、BG、CH、DE得到一個新的平行四邊形MNPQ．請在圖4中探究平行四邊形MNPQ面積的大小（畫圖并直接寫出結果）．【分析】依葫蘆畫瓢，照貓畫虎．【解析】⑴拼接成的平行四邊形是平行四邊形ABCD（如圖3）。⑵正確畫出圖形（如圖4）．平行四邊形MNPQ的面積為。已知：如圖所示，在△ABC中,D、G分別為AB、AC上的點，且BDCG,M、N分別是BG、CD的中點，過MN的直線交AB于點P，交AC于點Q，求證：APAQ．【分析】不難發(fā)現，若連結DG則與鋪墊題一樣．【解析】連DG，找DG的中點E，連ME、NE，∵M、N分別是BG與CD的中點?！郙E∥AB，，NE∥AC，．∴，．∵BDGC，∴EMEN，∴，∴，∴．【點評】還可以取BC的中點．方法總結：已知四邊形對角線中點，則取一邊中點，可出兩條中位線．（中考題改編）實驗與探究⑴在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點的坐標，它們分別是（5，2），，；⑵在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出頂點C的坐標（點C坐標用含a，b，c，d，e，f的代數式表示）；歸納與發(fā)現⑶通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發(fā)現：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為A(ab),B(cd),C(mn),D(ef)(如圖4)時，則四個頂點的橫坐標a,c,m,e之間的等量關系為；縱坐標b,d,n,f之間的等量關系為(不必證明)；運用與推廣⑷在同一直角坐標系中有三個點．請求出所有使得以G,S,H,P為頂點的四邊形是平行四邊形的點P坐標.【解析】⑴⑵分別過點A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為,分別過A，D作于E，于點F．在平行四邊形ABCD中，CDBA，又∵?！唷嘤帧摺唷鰾EA≌△CFD．∴,，設C(x，y),由得ss由得．∴。（此問解法多種，如利用對角線互相平分，利用坐標中點公式）⑶⑷若GS為平行四邊形的對角線，由⑶可得。若SH為平行四邊形的對角線，由⑶可得。若GH為平行四邊形的對角線，由⑶可得．綜上所述，符合條件的點有，，．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，D為BC邊上一點（不與B、C重合），AD與EF交于點O，連接DE、DF。要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件_________________.（只添加一個條件）【解析】BDCD，OEOF，DE∥AC等2．平行四邊形的一邊的長為10cm,則這個平行四邊形的兩條對角線的長可以是().A.4cm，6cmB.6cm，8cmC.8cm，10cmD.10cm，12cm【解析】D3．已知四邊形ABCD中，AC交BD于點O，如果只給出條件“AB∥CD”，那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，給出以下四種說法：①如果再加上條件“BCAD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形．②如果再加上條件“”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形．③如果再加上條件“AOOC”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形．④如果再加上條件“”，那么平行四邊形ABCD一定是平行四邊形．其中正確的說法是（）A.①和②B.①、③和④C.②和③D.②、③和④【解析】C4．如圖，平行四邊形ABCD的周長為16cm，AC，BD相交于點O，于O，則△DCE的周長為____________．【解析】8cm5．如圖，E，F是平行四邊形ABCD的對角線AC上的點，．請你猜想：BE與DF有怎樣的位置關系和數量關系？并對你的猜想加以證明.【解析】猜想：BE∥DF，BEDF．證法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．又∵CEAF，∴△BCE≌△DAF，