第六講熱量傳遞過程選論

第六講熱量傳遞過程選論第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2不可壓縮層流下的

穩(wěn)態(tài)傳熱過程

本課討論運用變化方程組求解非等溫系統(tǒng)中的多維傳遞問題，包括動量傳遞和能量傳遞。通過典型問題的示例，主要介紹兩種求解技巧：

漸近解方法。

Sturm-Liouville本征值問題的級數(shù)解方法。第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

Sturm-Liouville本征值問題

的級數(shù)解方法（1）Sturm-Liouville

定理：(1)對于下列形式的常微分方程

如果系數(shù)函數(shù)k(x)、q(x)和p(x)恒為正值，且k(x)、k’(x)、q(x)和p(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則必然存在無窮多個特征值(a.1)第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

Sturm-Liouville本征值問題

的級數(shù)解方法（2）當(dāng)?shù)扔谌魏我粋€特征值n時，式(a.1)必然具有一個非平凡解fn(x)滿足相應(yīng)的邊界條件。該fn(x)被稱為對應(yīng)于n的特征函數(shù)。(2)不同的特征函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上加權(quán)正交：(a.2)第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

Sturm-Liouville本征值問題

的級數(shù)解方法（3）(3)

任何滿足式(a.1)中邊界條件并在閉區(qū)間[a,b]上具有分段連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都可以展開為特征函數(shù)的絕對一致收斂級數(shù)：(a.3)展開式中的系數(shù)可由下式計算：(a.4)第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（1）問題描述：

一股牛頓流體流經(jīng)一根長的圓直管內(nèi)。從遠離管進口的某個位置起，一個電加熱線圈設(shè)置在管壁外并通過恒定電流加熱。

要求解析求解流體溫度沿管長和半徑方向的分布。第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（2）1.物理模型:常物性;充分發(fā)展的穩(wěn)態(tài)層流;穩(wěn)態(tài)傳熱;恒定壁面熱通量;軸向熱傳導(dǎo)可忽略;周向均勻;粘性耗散可忽略;不存在內(nèi)熱源。第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（3）2.數(shù)學(xué)模型:1) 選用柱坐標系，令z-軸與管道中心線重疊且設(shè)加熱起始點為z=0

。2)列出以下簡化:(1)根據(jù)物理模型(1)和(2)兩點第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（4）(2)根據(jù)物理模型第(3)點(3)根據(jù)物理模型第(5)點(4)根據(jù)物理模型第(6)點(5)根據(jù)物理模型第(7)點(6)根據(jù)物理模型第(8)點(7)根據(jù)物理模型第(1)點第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（5）3) 化簡柱坐標系下的能量方程[式(B.9-2)]舍棄等于零的項，該式簡化為第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（6）把簡化(1)代入上式，再結(jié)合物理模型(4)，我們得到了此問題的數(shù)學(xué)模型：(10.8-12)第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（7）3.

求解數(shù)學(xué)模型把數(shù)學(xué)模型無因次化

取R作為特征長度是很自然的選擇。于是有

以及第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（8）邊界條件

B.C.2

可以重新整理寫為令邊界條件B.C.1和B.C.2變?yōu)檫吔鐥l件B.C.1可被齊次化，只需令第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（9）就有上式中的無因次準數(shù)可被合并到*中以使控制方程更為簡單?？刂品匠套?yōu)榈?4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（10）(10.8-19)式(10.8-12)簡化為第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（11）式(10.8-19)在

=

1處具有非齊次邊界條件，因而不能將變量分離法直接應(yīng)用于它。由于忽略了軸向熱傳導(dǎo)，可以合理地推測在遠離加熱起始點的下游區(qū)域的溫度場具有充分發(fā)展的分布剖形：在恒定管壁熱通量的作用下，流體的溫度正比于軸向距離z線性升高，但沿半徑方向的無因次溫度分布曲線的形狀保持不變。2)

長距離時的漸近解第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（12）這個推測可以用數(shù)學(xué)方式表示為(10.8-23)將式(10.8-23)代入式(10.8-19)

，得到(10.8-26)第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（13）

對式(10.8-26)積分兩次，就得到該方程的通解為(10.8-27)根據(jù)邊界條件B.C.3，C1=0。根據(jù)邊界條件B.C.2，

C0=4。于是這個解并不滿足邊界條件B.C.1，因此不能夠根據(jù)B.C.1確定積分常數(shù)C2。第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（14）為了確定C2，我們對z=0到z=z管段內(nèi)的流體做熱量衡算：(10.8-31)即可得

于是第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（15）3)完全解(12.2-4)上述長距離漸近解滿足方程(10.8-19)和=1處的邊界條件B.C.2，因此可以用它來使方程(10.8-19)的邊界條件B.C.2齊次化。

令將式(12.2-4)代入式(10.8-19)，我們得到d的數(shù)學(xué)模型如下：第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（16）(b.1)可以看見，式(b.1)左側(cè)的算子僅與自變量有關(guān)而右側(cè)的算子僅與自變量有關(guān)。因此我們可以運用變量分離法求解此方程。第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（17）(12.2-8)令可以看見，式(b.2)的等號左側(cè)是的函數(shù)而右側(cè)是的函數(shù)。由于是和彼此獨立的自變量，所以式(b.2)成立的唯一途徑是等號兩側(cè)都等于同一個常數(shù)（稱為變量分離常數(shù)）。將其代入式(b.1)

，我們有用除以上式的等號兩側(cè)，得(b.2)第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（18）(12.2-9*)即式(12.2-9*)的通解是此式可以分離成兩個常微分方程：(12.2-10*)因為當(dāng)→時的值應(yīng)該有限，所以必然有C

0，記為C=-c2。第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（19）于是令=2和=c2/4，式(12.2-10)可改寫為(12.2-10)對比式(a.1)，此方程是一個Sturm-Liouville問題。(b.4)(b.3)第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（20）遵照Sturm-Liouville定理，此方程必然存在無窮多個本征值k和本征函數(shù)k，而此方程的任何解都可以展開為這些特征函數(shù)的級數(shù)。于是方程(b.1)的解可以表示為第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（21）展開式中的系數(shù)Bk可以根據(jù)式(b.1)的邊界條件B.C.1確定：而特征值k和特征函數(shù)k本身則需通過在相應(yīng)的邊界條件下求解式(b.4)獲得。R.Siegel曾經(jīng)求解此問題并獲得k等于1到7的結(jié)果。第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（22）4.結(jié)果分析1)完整解

Siegel

的結(jié)果如下表kck2k(1)Bk125.67960.4925170.403483283.8618-0.395508-0.1751113174.1670.3458720.1055944296.536-0.3140470.07328045450.9470.2912520.05503576637.387-0.2738080.0434837855.8500.2598520.035597第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（23）由表可見，隨著k值增加，ck2迅速增大，從而只要不是非常小，exp(-ck2)將快速收斂。例如，在=0.05處，此結(jié)果表明當(dāng)

0.05時，取d=

d1的誤差小于2%。第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（24）2)長距離(大值)下的漸近解在=0.1處，此結(jié)果表明當(dāng)

0.1時，取

=

的誤差小于2%。第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-1具有恒定壁面熱通量的

管內(nèi)層流傳熱問題（25）取接近層流上限的條件，Re=2000：對于空氣，

Pr=0.7，

z/R=140；對于水，

Pr=2.2(20

C)，

z/R=440。無因次距離

0.1，所對應(yīng)的實際距離是多少呢？第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一

§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問題

進口區(qū)的漸近解

(1)對于非常小的值(距加熱起始點非常短的距離)

，完整解中的高次項就不能被省略。高次項使解的公式復(fù)雜而不便于應(yīng)用。由于這個原因，人們又發(fā)展了適用于進口區(qū)的漸近解，其原理是基于在小值下熱量從壁面向流體中傳遞的距離(熱滲透深度)很小。第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問題

進口區(qū)的漸近解

(2)1)物理模型所采用的簡化(1)幾何結(jié)構(gòu)的線性化

使用平壁面替代圓柱壁面。(2)半無窮空間近似

流體的外邊界被延拓到距壁面無限遠處。(3)速度分布剖形的線性化在壁面處將速度分布函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，略去高次項，僅保留線性部分。第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問題

進口區(qū)的漸近解

(3)2)化簡數(shù)學(xué)模型(1)選用直角坐標系，令y代表距壁面距離。(2)線性化的速度分布表達式為(3)能量方程簡化為(12.2-13)第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問題

進口區(qū)的漸近解

(4)將此式等號兩側(cè)同時對y求導(dǎo)，得整理為(12.2-14)根據(jù)傅立葉定律我們有第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問題

進口區(qū)的漸近解

(5)我們有為使數(shù)學(xué)模型無因次化，令(12.2-15)邊界條件為(12.2-16)第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問題

進口區(qū)的漸近解

(6)選擇一組特征量(1)導(dǎo)出組合變量定義以下無因次變量3)用變量組合法求解式(12.2-16)

可被重寫為此方程的相似解可表示為第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一改變{*,*}

而使{0,0}保持常數(shù)；改變{0,0}而使

{*,*}保持常數(shù)。

§12.2-2具有恒定壁面熱通量的管內(nèi)層流傳熱問