塑性力學(xué)課程復(fù)習(xí)2023春夏學(xué)期

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1.名詞解釋：

塑性變形、韌性與脆性、應(yīng)變加強(qiáng)、等向加強(qiáng)、包興格效應(yīng)、隨動(dòng)加強(qiáng)、?平面、屈服面、Mises屈服條件、Tresca屈服條件、雙剪應(yīng)力屈服條件與最大偏應(yīng)力屈服條件、加載面、Drucker公設(shè)、正交滾動(dòng)法則、加載準(zhǔn)則、全量理論、增量理論、簡(jiǎn)單加載、簡(jiǎn)單加載定理、滑移線場(chǎng)、Hencky方程、Hencky第一定理與其次定理*、靜力場(chǎng)與機(jī)動(dòng)場(chǎng)*、彈塑性增量理論的最小勢(shì)能原理與最小余能原理*、上限定理與下限定理*。2.簡(jiǎn)單問題：

1）彈塑性材料在簡(jiǎn)單拉壓時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)曲線；2)軸向拉伸時(shí)的塑性失穩(wěn)；3)理想彈塑性材料簡(jiǎn)單桁架的彈性極限（曲線）、塑性極限（曲線）、卸載后的剩余應(yīng)力與剩余變形、加載路徑的影響；4)體積變形為彈性（塑性不可壓縮）的概念；5)等效應(yīng)力、等效剪應(yīng)力、等效應(yīng)變、等效剪應(yīng)變定義公式；6)主應(yīng)力空間中應(yīng)力狀態(tài)在π平面上的投影；7)初始各向同性材料在π平面上屈服曲線的對(duì)稱性質(zhì)；8)薄壁圓管試件在拉－扭載荷或內(nèi)壓－軸向拉伸載荷下的屈服條件；9)Tresca屈服條件與Mises屈服條件；10)Drucker公設(shè)、加載面的外凸性、塑性滾動(dòng)的正交性及加載準(zhǔn)則；11)與Mises屈服條件相關(guān)連的正交滾動(dòng)定律與塑性本構(gòu)關(guān)系；12)簡(jiǎn)單加載的概念；13)全量理論與增量理論的關(guān)系與不同點(diǎn)；14)理想剛塑性體平面應(yīng)變問題的屈服條件*；15)滑移線的基本性質(zhì)（Hencky方程與Hencky定理）*；16)虛功率原理*；17）上、下限定理的概念*。3.表達(dá)雙剪應(yīng)力屈服條件（最大偏應(yīng)力屈服條件）。

4.若材料的真應(yīng)力自然應(yīng)變曲線為?=C?n，試求光滑拉伸試件的拉伸失穩(wěn)應(yīng)變。

5.若Ｅ?=Ｅ/100，給定應(yīng)力路徑是：０→1.5?S→0→-?S→0。ａ）試按線性彈塑性隨動(dòng)強(qiáng)

化模型畫出相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線；ｂ）試按線性彈塑性等向加強(qiáng)模型畫出相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線。

6.若Ｅ′＝Ｅ/100，給定應(yīng)變路徑是：０→41?S→0→-41?S→0。ａ）試按線性彈塑性隨

動(dòng)加強(qiáng)模型畫出相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線；ｂ）試按線性彈塑性等向加強(qiáng)模型畫出相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線。

7.受豎直載荷的對(duì)稱桁架由理想彈塑性材料的三根等截面桿件構(gòu)成（見附圖）。ａ）試討

論求其彈性極限載荷和塑性極限載荷的主要步驟；ｂ）若施加的最大載荷大于彈性極限載荷而小于塑性極限載荷，試探討當(dāng)卸去載荷時(shí)各桿的剩余應(yīng)力和剩余變形。8.已知單軸拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線為

??f(?)，探討將該曲線用塑性應(yīng)

變描述的??f1(?)曲線和用塑性功描述的??f2(??d?)曲線的方

pp???法。

P9.ａ）各向同性材料在主應(yīng)力空間的屈

服曲面具有哪些主要性質(zhì)；ｂ）若分

別用單軸拉伸試驗(yàn)和純剪試驗(yàn)來測(cè)定?S和?S，試在π平面上分別考慮怎樣針對(duì)不同試驗(yàn)的結(jié)果繪出Mises圓和Tresca正六邊形的示意圖，并在圖中標(biāo)明Mises圓的半徑大小。

10.一圓形薄壁圓筒，平均半徑為Ｒ，厚度為ｔ，兩端受拉力Ｐ及扭矩Mt的作用，試求

Mises屈服條件的表達(dá)式（設(shè)材料單軸拉伸屈服應(yīng)力為?S）。并探討如何給出Tresca屈服條件。

11.材料的泊松比v?0.5，聽從Mises屈服條件，且知其屈服應(yīng)力?s。設(shè)其單元體在受力

狀態(tài)下?xx??、?yy?0、?zz?0。求該單元體達(dá)到屈服時(shí)???。

12.*簡(jiǎn)單探討應(yīng)力空間中加載面和應(yīng)變空間中加載面的異同及其適用范圍。

13.若材料由單軸拉伸試驗(yàn)得到的單軸應(yīng)力應(yīng)變曲線為?=Φ(?)，設(shè)彈性時(shí)的泊松比?＝?0

≠0.5。試求在單軸拉伸過程中?＝?（?）的規(guī)律；假使Φ(?)=E?[1-ω(?)]，請(qǐng)寫出?＝?(?)的表達(dá)式。14.Mises等向加強(qiáng)材料加載面由???????d???0描述（式中?是Mises等效應(yīng)力，?pp15.16.17.18.19.

20.21.

是等效塑性應(yīng)變）。ａ）請(qǐng)根據(jù)一致性條件和正交滾動(dòng)法則推導(dǎo)其塑性增量本構(gòu)方程；ｂ）按屈服條件和加載準(zhǔn)則列出加載、卸載和中性變載情形下的材料本構(gòu)關(guān)系（設(shè)材料在彈性狀態(tài)下時(shí)聽從虎克定律）。長封閉薄壁圓筒半徑為ｒ，壁厚為ｔ，受內(nèi)壓ｐ的作用而產(chǎn)生塑性變形，忽略彈性應(yīng)變，設(shè)材料為各向同性理想塑性，求周向、軸向和徑向應(yīng)變的比例。對(duì)矩形截面梁，設(shè)其由理想彈塑性材料做成，當(dāng)其受彎矩作用而作純彎曲變形時(shí)，試求：ａ）彈性極限彎矩Me和塑性極限彎矩Ms；ｂ）塑性區(qū)域隨施加彎矩增加的變化規(guī)律。理想彈塑性材料等截面圓桿，求其彈性極限扭矩和塑性極限扭矩。

*理想彈塑性材料橫截面邊長為ａ的正方形的直桿，求其塑性極限扭矩。

*在平面應(yīng)變情形下，若材料是理想剛塑性材料，試表達(dá)用滑移線場(chǎng)理論求以下塑性極限載荷問題的解題思路：ａ）楔形體的單邊受壓；ｂ）*半平面上的剛性壓模；ｃ）*帶有切口板條的拉伸。*試給出平面應(yīng)變條件下，半徑為a的圓孔內(nèi)受壓力q作用，圓孔周邊滑移線的表達(dá)式。*分別證明塑性極限載荷的上、下限定理。

22.已知兩端封閉的薄圓管，由內(nèi)壓p引起塑性變形，軸向塑性應(yīng)變?yōu)?zp，周向塑性應(yīng)變

為??p，徑向塑性應(yīng)變?yōu)?rp，試求?zp：??p：?rp，并求出??p和壓力p之間的關(guān)系。設(shè)材料的屈服函數(shù)可用Mises等效應(yīng)力來描述，且材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

1?p?????=?F??s??n???，F(xiàn)為常數(shù)。

?s223.已知薄壁圓筒半徑為ｒ，壁厚為ｔ，受拉應(yīng)力??的作用，若使用Mises屈服條件，

試求施加多大的扭矩可使試件屈服。若繼續(xù)加載，求出此時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽糠至恐g的比

值。

24.試證明簡(jiǎn)單加載情形下，Prandtl—Reuss方程

Hencky方程

eij?sij2G?sij?deij?dsij2G?sijd?,d?kk?1?2?Ed?kk與

,?kk?1?2?E?kk等價(jià)。

25.*試表達(dá)在應(yīng)力空間和應(yīng)變空間中加載曲面的外法線向量之間的關(guān)系。26.*定義三軸應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)為T??kk3?e。在非零應(yīng)力狀態(tài)下：（1）對(duì)于平面應(yīng)力情形,設(shè)?1>

?2>?3=0,?2=k?1,求三軸應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)T，并問T最大可為多少？（2）對(duì)于平面應(yīng)變情形，設(shè)彈性變形相對(duì)于塑性變形可忽略不計(jì)，且?1>?2>?3,?3=k?1，k的取值范圍是[0,1]，求三軸應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)T的取值范圍。27.*根據(jù)Hencky應(yīng)力方程，即

沿?線：沿?線：

dydxdy?tg?，??2k????const

dx??ctg?，??2k????const

證明Hencky第一定理，即在同族的兩滑移線與另一族滑移線的交點(diǎn)上，其切線間的夾角不隨另一族滑移線的改變而改變。

28.*在圖示平面應(yīng)變均勻受拉應(yīng)力狀態(tài)下，試畫出滑移線場(chǎng)的形式。

?yy?xx

29.對(duì)線性隨動(dòng)加強(qiáng)材料，其加載條件可由下式給出：

32(sij?c?ij)(sij?c?ij)??s

pp2若已通過試驗(yàn)得到簡(jiǎn)單拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線，且該曲線可用線性加強(qiáng)模型描述。（1）問如

何確定上式中的常數(shù)c？（2）試針對(duì)薄壁圓管承受拉扭載荷的情形用?zz、??z、?zz、??z來表示該加載條件。

pp30.*假使材料在加載過程中同時(shí)存在各向同性加強(qiáng)和隨動(dòng)加強(qiáng)，試探討可近似描述這種現(xiàn)

象的增量型彈塑性本構(gòu)方程的形式。

31.矩形截面純彎曲梁彈性狀態(tài)下所受彎矩與梁最大正應(yīng)力的關(guān)系可由公式

M??ImaxymaxE描述（I?bh123），設(shè)梁由理想彈塑性材料做成，試證明

MMPE?32（式

中MP和M分別為塑性極限彎矩和彈性極限彎矩）。

32.*若正交各向異性彈塑性材料的屈服函數(shù)可由下式表示

??F(?yy??zz)?G(?2zz??xx)?H(?2xx??yy)?2L?22yz?2J?zx?2K?xy?1?022設(shè)X、Y和Z分別是材料主軸方向單軸拉伸的屈服應(yīng)力，Yxy、Yyz和Yzx分別是材料主軸平面剪切屈服應(yīng)力，問各向異性系數(shù)F、G、H、I、J和K如何求得？

33.*試推導(dǎo)各向同性材料的增量型熱彈塑性本構(gòu)方程。

34.*請(qǐng)對(duì)Ｉ型裂紋HRR解的分析方法的合理性及局限性作一簡(jiǎn)單探討。

35.*試探討金屬材料在循環(huán)加載下疲乏破壞分析中的塑性力學(xué)問題及現(xiàn)在常用的分析方

法。

36.*試探討可用于含空穴材料變形和損傷分析的塑性力學(xué)方法，并探討現(xiàn)有方法在斷裂分

析中的優(yōu)點(diǎn)和存在的問題。

37.*探討塑性材料光滑拉伸試件頸縮過程的近似分析方法，并對(duì)該過程中頸部應(yīng)力狀態(tài)的

變化作一簡(jiǎn)單分析。

38.*試推導(dǎo)Gurson塑性本構(gòu)方程。

學(xué)生要求講解第9、11、12、14、15、16、23、24、25

第九題：已知單軸拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線為??f(?)，探討將該曲線用塑性應(yīng)變描述的??f1(?)曲線和用塑性功描述的??f2(??d?)曲線的方法。

pp方法：

?一般地??f1(?)??進(jìn)一步Wpppp??p0hd?p，h?ppEE'E?E'p

?Wp?1?W(?)??f1(?)d?，由?(?)??(W)

pp?進(jìn)而??f1(?(Wp))?f2(Wp)

第十一題：一圓形薄壁圓筒，平均半徑為Ｒ，厚度為ｔ，兩端受拉力Ｐ及扭矩Mt的作用，試求Mises屈服條件的表達(dá)式（設(shè)材料單軸拉伸屈服應(yīng)力為?S）。方法與思路：

?根據(jù)條件可直接求出應(yīng)力（或用拉力Ｐ及扭矩Mt表達(dá)各應(yīng)力分量）。?將應(yīng)力分量代入Mises屈服條件公式（3J2??s或?e??s）便得出解答。

第十二題：材料的泊松比v?0.5，聽從Mises屈服條件，且知其屈服應(yīng)力?s。設(shè)其單元體在受力狀態(tài)下?方法與思路：

?根據(jù)題目條件?zz?0、?變狀態(tài)）。?根據(jù)胡克定律?zz?1Exxxx2??、?yy?0、?zz?0。求該單元體達(dá)到屈服時(shí)???。

??、?yy?0知?zz?0而其它應(yīng)力分量為零（是平面應(yīng)

??zz??(?xx??yy)?0可解出?zz???

??然后將已知應(yīng)力分量代入屈服條件給出解答。

第十四題：若材料由單軸拉伸試驗(yàn)得到的單軸應(yīng)力應(yīng)變曲線為?=Φ(?)，設(shè)彈性時(shí)的泊松比?＝?0≠0.5。試求在單軸拉伸過程中?＝?（?）的規(guī)律；假使Φ(?)=E?[1-ω(?)]，請(qǐng)寫出?＝?(?)的表達(dá)式。方法與思路：

?按體積變形彈性的基本假設(shè)有?kk?1?2?Ee?kk

?而?22??33????11，?22??33?0

?于是利用體積變形彈性的公式可解出?＝?（?）的規(guī)律

第十五題：Mises等向加強(qiáng)材料加載面由???????d???0描述（式中?是Mises等效應(yīng)

p

力，?p是等效塑性應(yīng)變）。ａ）請(qǐng)根據(jù)一致性條件和正交滾動(dòng)法則推導(dǎo)其塑性增量本構(gòu)方程；ｂ）按屈服條件和加載準(zhǔn)則列出加載、卸載和中性變載情形下的材料本構(gòu)關(guān)系（設(shè)材料在彈性狀態(tài)下時(shí)聽從虎克定律）。方法與思路：

?利用正交滾動(dòng)法則可以給出塑性增量應(yīng)變或塑性應(yīng)變率分量與屈服面法向量的關(guān)系，進(jìn)而給出帶待定標(biāo)量參數(shù)的塑性增量應(yīng)變或塑性應(yīng)變率分量的表達(dá)式。

?結(jié)合一致性條件通過簡(jiǎn)單推導(dǎo)可以消去塑性增量應(yīng)變，給出加載狀態(tài)下增量應(yīng)力分量和增量應(yīng)變的數(shù)學(xué)關(guān)系。

?計(jì)算時(shí)應(yīng)考慮材料的加、卸載狀態(tài)分別給出增量應(yīng)力分量和增量應(yīng)變的關(guān)系：（1）根據(jù)屈服條件可以判定材料是否處于彈性狀態(tài)；（2）如滿足屈服條件需要判別材料在當(dāng)前狀態(tài)是否滿足加載準(zhǔn)則，若加載按塑性計(jì)算，卸載按彈性計(jì)算，中性變載可按彈性計(jì)算（可以分別給出相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系）。

第十六題：長封閉薄壁圓筒半徑為ｒ，壁厚為ｔ，受內(nèi)壓ｐ的作用而產(chǎn)生塑性變形，忽略彈性應(yīng)變，設(shè)材料為各向同性理想塑性，求周向、軸向和徑向應(yīng)變的比例。方法與思路：

?此題是利用正交滾動(dòng)法則求塑性應(yīng)變?cè)隽勘壤膯栴}。

?首先按題設(shè)條件求出軸向應(yīng)力和周向應(yīng)力（徑向應(yīng)力近似為零）。

?然后求出應(yīng)力偏量（利用Mises屈服面的法向向量與應(yīng)力偏量分量的關(guān)系）。

?由正交滾動(dòng)法則求出塑性應(yīng)變?cè)隽勘壤ㄋ苄詰?yīng)變?cè)隽颗c相應(yīng)應(yīng)力偏量分量成正比）。

其次十三題：已知兩端封閉的薄圓管，由內(nèi)壓p引起塑性變形，軸向塑性應(yīng)變?yōu)?zp，周向塑性應(yīng)變?yōu)??p，徑向塑性應(yīng)變?yōu)?rp，試求?zp：??p：?rp，并求出??p和壓力p之間的關(guān)系。設(shè)材料的屈服函數(shù)可用Mises等效應(yīng)力來描述，且材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

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