第26章第12課時實(shí)際問題與二次函數(shù)建立平面直角坐標(biāo)系問題

第12課時實(shí)際問題與二次函數(shù)（3）（建立平面直角坐標(biāo)系問題）

【目標(biāo)導(dǎo)航】.會建立直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題；.會解決橋洞水面寬度問題；.經(jīng)歷探索”拋物線形拱橋水面寬度問題”的過程，獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，體會二次函數(shù)解決實(shí)際問題時應(yīng)如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系從而使解題簡便.【要點(diǎn)梳理】.用函數(shù)的思想方法解決拋物線型拱橋問題應(yīng)注意：（1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）善于根據(jù)已知條件看拋物線上某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，求出解析式..同一問題，所建立的直角坐標(biāo)系不同，所得拋物線的解析式也 （相同或不同）.【問題探究】例1.（拱橋與拋物線）如圖1是泰州某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是1m,拱橋的跨度為10m,橋洞與水面的最大距離是5m,橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈.若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2）.（1）求拋物線的解析式.（2）求兩盞景觀燈之間的水平距離.圖I 圖2變式：如圖3,宜昌西陵長江大橋?qū)儆趻佄锞€形懸索橋，橋面（視為水平的）與主懸鋼索之間用垂直鋼拉索連接.橋兩端主塔塔頂?shù)暮０胃叨染?87.5米，橋的單孔跨度（即兩主塔之間的距離）是900米，這里水面的海拔高度是74米.若過主塔塔頂?shù)闹鲬忆撍鳎ㄒ暈閽佄锞€）最低點(diǎn)離橋面（視為直線）的高度為0.5米，橋面離水面的高度為19米.請你計算距離橋兩端主塔100米處垂直鋼拉索的長（結(jié)果精確到0.1米）.例2.（體育運(yùn)動與拋物線）一男生在校運(yùn)會的比賽中推鉛球，鉛球的行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）

之間的關(guān)系用如圖4所示的二次函數(shù)圖象表示.（鉛球從八點(diǎn)被推出，實(shí)線部分表示鉛球所經(jīng)過的路線）⑴由已知圖象上的三點(diǎn)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.⑵求出鉛球被推出的距離.⑶若鉛球到達(dá)的最大高度的位置為點(diǎn)B，落地點(diǎn)為C,求四邊形OABC的面積.20,變式：某學(xué)校初三年級的一場籃球比賽中，如圖5,隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高—米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米.⑴建立如圖5的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？⑵此時，若對方隊員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功?圖5

得成功?圖5【課堂操練】11.拱橋呈拋物線形，其函數(shù)關(guān)系式為y=-4x2,當(dāng)拱橋下水位線在AB位置時，水面寬為12m,這時水面離橋拱頂端的高度h是（ ）A.3m2.A.3m2.某工廠的大門是2\.16m4\'3m9m拋物線型水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側(cè)距地面3米高各有一個壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6米，如圖6所示，則廠門的高為（水泥建筑物厚度忽略不計，精確到0.1米）（6.9米)米）（6.9米)D.6.8米.以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系時，可設(shè)這條拋物線的關(guān)系式為.有一座拋物線拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米.（1）如圖7所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式：（2）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升h（米）時，橋下水面的寬度為d（米），求出將d表示為h的函數(shù)解析式；⑶設(shè)正常水位時橋下的水深為2米，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米.求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下順利航行.圖7圖7【每課一測】一、選擇題（每題15分，共30分）.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖8所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距離為4米，距地面均為1米，學(xué)生丙、丁分別站在距拿繩的手水平距離1米、2.5米處，繩子甩到最處時剛好通過他們的頭頂，已知學(xué)生丙的身高是1.5米則學(xué)生丁的身高為（建立的平面坐標(biāo)系如圖所示）（）A.1.5m B.1.625m C.1.66m D.1.67m.在南非世界杯中，巴西隊在某次訓(xùn)練中，一隊員距離門12米處挑射，正好射中了2.4米高的球門橫TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1梁，若足球運(yùn)動的路線是拋物線片ax2+bx+c，如圖9所示，則下列結(jié)論⑴a<-—；^-―<a<0；60 60⑶a-b+c>0；⑷0<b<-12a，其中正確的是（ ）A.⑴⑶ B.⑴⑷ C.⑵⑶ D.⑵⑷二、填空題（每題15分，共30分）.（2010甘肅蘭州中考）如圖10,小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為 米.圖8圖8為2m.應(yīng)少從山球洞為2m.應(yīng)少從山球洞A.如圖11所示，一座拋物線型拱橋，橋上水面寬度是4m時，拱高一艘木船寬2m,要能順利從橋下通過，船頂與橋拱之間的間隔不于0.3m.那么木船的高不得超過m.三、解答題（每題40分，共40分）.（2010山東日照中考）如圖12,小明在一次高爾夫球爭霸賽中，坡下。點(diǎn)打出一球向球洞八點(diǎn)飛去，球的飛行路線為拋物線，如 圖11考慮空氣阻力，當(dāng)球達(dá)到最大水平高度12米時，球移動的水平為9米.已知山坡。川與水平方向OC的夾角為30o,兩點(diǎn)相距8<3米.（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線OA的解析式；（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從。點(diǎn)直接打入圖12【參考答案】【要點(diǎn)梳理】2.不同【問題探究】例1.分析：本題已經(jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系，于是：(1)依題意可以求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，這樣可以用頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線的解析式；(2)由于橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈，也就是說兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是4,這樣利用(1)求得的拋物線的解析式得到一個一元二次方程，即可求解.解：(1)由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,5),與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1).4于是可設(shè)拋物線的解析式是y=a(x-5)2+5,把(0,1)代入y=a(x-5)2+5,得〃=--a.乙J4, 所以所求拋物線的解析式為y=-—(x-5)2+5(0WxW10).乙JTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 25(2)由已知條件得兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是 4,所以4=-—(x-5)2+5，即(x-5)2=—，于是25 415 5 ……,x=—,x=-.所以兩景觀燈間的距離為5米.\o"CurrentDocument"2 2 2變式：分析：本題看似復(fù)雜，但只要仔細(xì)理解題意，正確地建立坐標(biāo)系，再運(yùn)用二次函數(shù)的知識，即可求解.解：如圖1,以橋面上位于主懸鋼索最低點(diǎn)的正下方一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以橋面所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0.5),B(-450,94.5),C(450,94.5).47由題意，設(shè)拋物線為y=。黑+0.5.將C(450,94.5)代入求得a=JL\JJL/JI/一47所以y= x2+0.5.當(dāng)x=350時，y，57.4.所以，離橋兩端王塔100米處豎直鋼拉索的長都約JL\JJL/JI/為57.4米.說明：本題也可以這樣來建立平面直角坐標(biāo)系：如圖5,以拋物線形主懸鋼索最低點(diǎn)為原點(diǎn)，以平行于橋面的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.則B(-450,94),C(450,94).設(shè)拋物線為：y=ax2,<C47 47(450,94)代入求得：a= .所以y= x2.當(dāng)x=350時，y，56.9,所以56.9+0.5=JLVyJL JLVyJL乙。\J57.4.所以離橋兩端主塔100米處豎直鋼拉索的長約為57.4米.例2.分析：本題考查從圖象中獲取信息能力.觀察圖象可得到拋物線上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)表達(dá)式；在此基礎(chǔ)上，利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得鉛球被推出的距離；最后通過配方法將函數(shù)式化成頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，用分割法求得四邊形的面積.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 8 1 2解：⑴設(shè)y=Ax2+Bx+C,E知圖象經(jīng)過(一2,0),(0,-),(2,q)三點(diǎn)，由此可求得A=——,B=-,J J JL乙 J5 1 25C=3，所以y=——x2+—x+-.J JL乙JJ\o"CurrentDocument"1 25⑵令y=0,即一x2+-x+q=0,解得x式10,x2=—2(不合題意，舍去).所以鉛球被推出的距離是10JL乙 JJ

米.⑶作BD±OC,D為垂足?因?yàn)閥=-1-(x2-8x—20)=—1-(x-4)2+3,所以B(4,3)；由⑵得CJL乙 JL乙5 1 1(10,0).所以S=S +S =-x(-+3)X4+—x6x3=18-.， 四邊形OABC1梯形OABD△BDC2 3 2 3變式：分析：這是一個有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點(diǎn)、最高點(diǎn)(頂點(diǎn))、和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當(dāng)x=1時函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大小.八 20解：⑴由條件可得到球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)、和籃圈的坐標(biāo)分別為A(0,—),B(4,4),C(7,3),其中B是拋物線的頂點(diǎn).1設(shè)一次函數(shù)斛析式為y=A(x—h)2+k,將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，可得y=-9(x—4)2+4.將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式，得左邊=右邊，即點(diǎn)C在拋物線上.所以此球一定能投中.⑵將x=1代入函數(shù)式，得y=3.因?yàn)?.1>3,所以蓋帽能獲得成功.【課堂操練】DA提示：建立如圖所示的平面坐標(biāo)系，根據(jù)題意知A(-4,0)、B(4,0)、C(3,3)、D(-3,3),3 “，設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-4)(x+4),則有3二a(3-4)(3+4),解答"-7,所以3，、，、 3 48 ,48，一 y=-—(x-4)(x+4)=--x2+丁，又因?yàn)槎?.9米，所以廠門的高約6.9米，選A.8米冉7 7 7 78米冉y(tǒng)=ax21尸25*2解：(1)由所建坐標(biāo)系所示，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2???在正常水位時，B點(diǎn)坐標(biāo)為(10,-4)..?.-4=102a..?.1尸25*21(2)當(dāng)水住上升h米時，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-(4-h).設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則有-(4-h)=--x2,乙Jx=5<4一h，..d=2x=1044—h⑶當(dāng)橋下水面寬為18米時，得18=10%；4-h..?.h=4-81=0.76.又2+0.76=2.76(米)，即橋下水深超過2.76米時，就會影響過往船只在橋下順利航行.【每課一測】B提示：設(shè)所求函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c.由已知，函數(shù)的圖象過(-1,1)、(0,1.5)、(3,1)三點(diǎn)，易求得其解析式為片-1X2+1X+3.因?yàn)槎☆^頂?shù)臋M坐標(biāo)為1.5,代入其解析式可求得其縱坐標(biāo)為6 3 2因此，丁得身高為1.625米.故選B.B提示：把點(diǎn)(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c=2.4，b=-12a-0.2.故b<-12a.b又拋物線開口向下，故a<0.且對稱軸x=-—>0,故b>0.即0<b<-12a,2a因此⑷正確.又因144a+12b=-2.4且b>0,故144a<-2.4.因此a<-1-，因此⑴正確.因此，應(yīng)選B.600.5提示：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,A(0.5,-1.5),B(2,0),。(0,0),所以a=2,b=-4,c=0,所以解析式為y=2x2-4x，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),即最低點(diǎn)距地面的距離為2.5-2=0.5米.1.2提示：設(shè)水面寬為AB，以水平面所在的直線AB為x軸，AB的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.則有頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,2)、A(-2,0)、B(2,0),H0TOC\o"1-5"\h\z、 , 1 1設(shè)拋物線的解式為y=ax2+2.把B（2,0）代入式中，得0=4a+2 /.a=--,y=--x2+2.一 1 3 一設(shè)木船MNPH正中