基于奇異值分解的內(nèi)?？刂品椒霸诜欠较到y(tǒng)中的應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——基于奇異值分解的內(nèi)模控制方法及在非方系統(tǒng)中的應(yīng)用

饋濾波器,CSVD-IMC(s)為基于奇異值分解的內(nèi)?？刂破?/p>

.

圖1基于奇異值分解的內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)Fig.1

StructureofIMCbasedonSVD

1.2傳遞函數(shù)矩陣的奇異值分解

考慮系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣Gp(s),對(duì)于每一個(gè)頻率因子s,可以求得其奇異值分解:

Gp(s)=UΣVH

(2)

其中,U、V分別為mm、nn的酉矩陣,Σ是

包含Gp(s)奇異值的對(duì)角陣,H代表共軛轉(zhuǎn)置.該奇異值矩陣反映了傳遞函數(shù)Gp(s)在某一頻率因子s下的增益的上下界,其中,為上界,σ為下界.

定義傳遞函數(shù)Gp(s)在某一頻率因子s下的條件數(shù)為cond(G(s)),可用式(3)求得.

cond(G(s))=

(G(s))(G(s))

(3)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣條件數(shù)的大小是衡量系統(tǒng)魯棒性的標(biāo)志.假使過(guò)程在某一頻率因子s下的條件數(shù)cond(G(s))大,則系統(tǒng)在較小的擾動(dòng)下可以產(chǎn)生較大的偏差,假使按一般方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的內(nèi)?？刂破?則魯棒性很難滿足要求.

2控制器的設(shè)計(jì)

對(duì)圖1所示系統(tǒng)進(jìn)行分析可知,其閉環(huán)傳遞函

數(shù)矩陣為

H=Gp(s)CSVD-IMC(s)

[I+(GpGm)CSVD-IMC]1

(4)

當(dāng)模型匹配即Gp=Gm時(shí),

H=Gp(s)CSVD-IMC(s)=

Gm(s)CSVD-IMC(s)

(5)

其中,CSVD-IMC為基于奇異值分解的非方系統(tǒng)解耦內(nèi)?？刂破?其主要有兩個(gè)作用:1)在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償解耦的同時(shí)進(jìn)行內(nèi)?？刂?以減少各通道之間的耦合;2)滿足系統(tǒng)的魯棒性要求.下面給出非方內(nèi)?？刂破鰿SVD-IMC的設(shè)計(jì)方法.

2.1解耦環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)內(nèi)?？刂评碚撝赋鯷4],系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸入輸出解耦的前提條件是閉環(huán)傳遞函數(shù)H為對(duì)角陣,即

H=GmCIMC=diag{hi},hi=0,i=1,2,,m

(6)

因此,一般解耦內(nèi)?？刂破餍问綉?yīng)為

CIMC=G1

mH

(7)

2.1.1求取G1

m

在非方系統(tǒng)中,由于對(duì)象模型為非方矩陣,傳

統(tǒng)意義上的Gm1

并不存在,因此考慮用Gm的廣義逆[5]替代.廣義逆是指在矩陣為奇異(含非方狀況)時(shí),同樣存在一些矩陣,類(lèi)似于非奇異矩陣的逆矩陣,能夠和奇異矩陣相乘,相乘結(jié)果為單位陣.這里

將Gm的廣義逆矩陣記為Gm,由式(8)計(jì)算得出[6]

.

GGHH1

m=m(GmGm)

(8)

綜合式(7)和(8)可得

CIMC=GGHH1

mH=m(GmGm)

H(9)

2.1.2求取H

考慮對(duì)象模型Gm由最小相位部分Gm和包

含非最小相位部分及時(shí)滯項(xiàng)的Gm+組成,即

Gm=GmGm+(10)

在傳統(tǒng)的內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)方法中,采用添加濾波器的方法,用來(lái)補(bǔ)充模型不匹配和忽略非最小相位部分所帶來(lái)的誤差,如式(11)所示.

CIMC=G1

mF

(11)

所以

H=GpCIMC=GmCIMC=

Gm+GmG1

mF=Gm+F

(12)其中

F=diag1

λ,

i=1,2,,m(13)

is+1

為m階濾波器矩陣,用來(lái)保證控制器物理可實(shí)現(xiàn).Gm+是過(guò)程模型Gm的非最小相位部分,包含了Gm的時(shí)滯部分和右半平面(Righthalfplane,RHP)零點(diǎn),其一般形式[7]為

=diageθDiGKis

(s+zpm+

Wi

1

s+z),p

i=1,2,,m

(14)

其中,θKi為矩陣Gm中第i列元素含有的最大時(shí)

滯.zp為Gm第i列元素中存在的RHP極點(diǎn);zp為zp的共軛,Wi表示同一RHP極點(diǎn)zp的最大個(gè)數(shù);Di表示Gm第i列元素存在Di個(gè)不同的RHP極點(diǎn).式(14)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)補(bǔ)償器,用來(lái)補(bǔ)償計(jì)算Gm的廣義逆Gm時(shí)所引入的RHP極點(diǎn)和超前項(xiàng),確定性時(shí)仍舊保持原有的標(biāo)稱(chēng)性能.其中,濾波器時(shí)間常數(shù)可設(shè)定為該回路最大時(shí)滯時(shí)間的一半[8].

3仿真實(shí)例

以三輸入二輸出的Shell標(biāo)準(zhǔn)控制問(wèn)題為例,其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

由于RHP極點(diǎn)和超前項(xiàng)可以造成控制器不穩(wěn)定且不能實(shí)現(xiàn).綜上所述,在不考慮魯棒性的狀況下,具有對(duì)非方系統(tǒng)解耦功能的內(nèi)?？刂破鳛?/p>

CIMC=GmGm+F

(15)

2.2濾波器F

的設(shè)計(jì)假使僅僅依照第2.1節(jié)所述步驟設(shè)計(jì)出非方多

變量解耦內(nèi)?？刂破鰿IMC,當(dāng)遇到對(duì)象Gp(s)為條件數(shù)很大的病態(tài)系統(tǒng)時(shí),CIMC的魯棒性往往不能達(dá)到要求.由于當(dāng)Gp(s)的條件數(shù)很大時(shí),所設(shè)計(jì)出的控制器CIMC的條件數(shù)同樣會(huì)很大.當(dāng)存在模型失配時(shí),控制系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題,在某一特定的頻率因子s下,系統(tǒng)輸出Yp會(huì)產(chǎn)生很大的偏差.對(duì)于非方系統(tǒng),可以通過(guò)設(shè)計(jì)濾波器來(lái)進(jìn)一步滿足系統(tǒng)的魯

棒性.假使在某一頻率因子s下Gp(s

)的條件數(shù)最高,那么可以通過(guò)設(shè)計(jì)基于奇異值分解的非對(duì)角

濾波器,使其直接作用在Gp(s

)的奇異值上,從而戰(zhàn)勝模型失配對(duì)系統(tǒng)的影響.

首先將Gp(s)在頻率因子s

下進(jìn)行奇異值分解:

GH

p(s)=USV(16)再令實(shí)向量WV滿足式(17),

VHWV=I

(17)

那么,改進(jìn)后的內(nèi)?？刂破鳛槿缦滦问?

CSVD-IMC(s)=G1

mGm+WVF(s)WV

(18)

其中,F(s)是濾波器,滿足初始條件F(0)=I.CSVD-IMC(s)的成功實(shí)現(xiàn)依靠式(18).按以上方法設(shè)計(jì)出的內(nèi)模控制器,可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非方系統(tǒng)的解耦內(nèi)?？刂撇⒋蟠蠹訌?qiáng)系統(tǒng)的魯棒性.將

F(s)=WVF(s)W1V

(19)

定義為基于奇異值分解的非對(duì)角型濾波器,則式

(18)可表示為

CSVD-IMC(s)=GmGm+F(s)

(20)

為了戰(zhàn)勝工業(yè)過(guò)程中廣泛存在的模型不確定性,

還需在反饋回路中添加濾波器GF,使系統(tǒng)在存在不

4.05e81s1.77e84s5.88e81sG50s+160s+150s+1p(s)=

5.39e54s5.72e42s6.9e45s50s+160s+140s+1按上節(jié)所述方法求得:

Gm+(s)=

(50s1)2(60s1)2(40s1)e84sdiag(50s+1)2(60s+1)2(40s+1),

(50s1)2(60s1)2(40s1)e54s

(50s+1)2(60s+1)2(40s+1)

在s=0時(shí),對(duì)Gp(s

)進(jìn)行奇異值分解,令

Gp(0)=USVH

,得:

V=

0.82340.56750.56750.8234

WVH)1

0.82340.5675

V=(0.56750.8234

綜合考慮魯棒性和響應(yīng)時(shí)間,取濾波器為

F(s)=diag

11

25s+1,8s+1

應(yīng)用式(19)所描述的非對(duì)角型濾波器

WVF(s)W1

V,可以求得基于奇異值分解的非方內(nèi)

?？刂破鰿SVD-IMC(s)=GmGm+F(s),采用隨機(jī)

數(shù)直接探尋(NewLuus-Jaakola,NLJ)方法進(jìn)行降階后[9],可得控制器CSVD-IMC(s)見(jiàn)式(21).

反饋濾波器取為

G11

F(s)=diag40.5s+1,

21s+1利用Simulink進(jìn)行仿真,系統(tǒng)給定值響應(yīng)如圖2所示.其中,實(shí)線為本文方法,點(diǎn)劃線為文獻(xiàn)[7]中Chen所使用的方法,虛線為文獻(xiàn)[10]中Sarma所使用的方法.圖3所示為系統(tǒng)的干擾響應(yīng),給第一、二通道在第500s分別參與幅值為0.5和0.5的階躍擾動(dòng).

2

.9733s+0.0791

e0.4878s

2

5.7412s+7.0541s+

1

1.2497s0.336

11.7690s

C

SVD-IMC(s)

=e

0.3524s2+15.0875s+1

0.9954s+0.2167

e5.4051s

21.2501s+3.2418s+1

7.8791s0.00327.8553s

e

1.5885s2+17.4078s+1

2.4715s+0.275112.3746se1.1188s2+11.1794s+1

0.5132s0.08064.1735s

e

5.3295s2+2.2549s+1

(21)

(a)r1=2

(b)r2=0

(c)r1=0

(d)r2=2

圖2Fig.2

設(shè)定值響應(yīng)

Set-pointresponses

(a)r1=2(b)r2=0

(c)r

1=0

(d)r2=2

圖3

Fig.3

干擾響應(yīng)

Disturbanceresponses

(a)r1=1,r2=2

(b)r1=2,r2=1

圖4

Fig.4

設(shè)定值響應(yīng)(模型攝動(dòng)時(shí))

Set-pointresponses(Unmatchedmodel)

如圖3所示,本文方法使系統(tǒng)的兩個(gè)輸出之間實(shí)現(xiàn)了解耦,且可以無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差地跟蹤設(shè)定值,與Chen和Sarma的方法相比,具有更好的跟蹤特性和抗干擾特性.為了驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性,令式(19)中各種元素的靜態(tài)增益和純滯后時(shí)間增加20%,時(shí)間常數(shù)減小20%.則對(duì)象傳遞函數(shù)為

可以看到,在模型攝動(dòng)的狀況下,采用本文方法所設(shè)計(jì)的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)仍舊具有較好的跟蹤性能和魯棒性.

4結(jié)論

本文針對(duì)工業(yè)過(guò)程中的非方系統(tǒng)提出了一種解耦內(nèi)?？刂圃O(shè)計(jì)方法,這種方法從期望的對(duì)角形式無(wú)耦合系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣出發(fā),依據(jù)內(nèi)?？刂破鞣€(wěn)定可實(shí)現(xiàn)的原則,設(shè)計(jì)補(bǔ)償器,得到最終的解耦控制器.對(duì)于對(duì)象中含有的多個(gè)不同時(shí)滯,不需對(duì)其近似,避免了近似產(chǎn)生的誤差.同時(shí)對(duì)傳統(tǒng)的濾波器結(jié)構(gòu)加以改造,將對(duì)角型濾波器改進(jìn)為非對(duì)角型濾波器,使控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)解耦效果和較強(qiáng)的魯棒性.仿真結(jié)果說(shuō)明,此方法較其他非方系統(tǒng)控制方法具有更好的控制性能和魯棒性能.

Gp(s)=

4.86e97.2s40s+1

6.468e64.8s

40s+1

2.124e100.8s

48s+16.864e50.4s48s+1

7.056e97.2s40s+1

54s8.28e32s+1

在輸入條件及濾波器參數(shù)不變的狀況下,系統(tǒng)輸出

響應(yīng)曲線,如圖4所示.

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靳其兵北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教授.1999年獲得東北大學(xué)控制理論與控制工程專(zhuān)業(yè)博士學(xué)位.主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制及其在工業(yè)中的應(yīng)用、建模方法研究與優(yōu)化.

E-mail:Jinqb@

(JINQi-BingProfessorattheCol-legeofInformationScienceandTech-nology,BeijingUniversityofChemicalTechnology.Here-ceivedhisPh.D.degreefromNortheasternUniversityin1999.Hisresearchinterestcoversadvancedcontrolanditsindustrialapplication,researchandoptimizationofmodel-ingmethod.)

劉斯文北京化工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院碩士研究生.2023年獲得北京化工大學(xué)通信工程專(zhuān)業(yè)學(xué)士學(xué)位.主要研究方向?yàn)槎嘧兞肯到y(tǒng)的內(nèi)?？刂?本文通信.E-mail:lsw627@(LIUSi-WenMasterstudentattheCollegeofInformationScienceandTechnology,BeijingUniversityof

ChemicalTechnology.HereceivedhisbachelordegreefromBeijingUniversityofChemicalTechnologyin2023.Hismainresearchinterestisinternalmodelc