圓的方程習(xí)題精講附有詳細(xì)答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——圓的方程習(xí)題精講，附有詳細(xì)答案圓的方程習(xí)題精選精講

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程——請看圓心和半徑

從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中，我們能看見它的圖形特征：圓心即定點（a，b），半徑即定長r.a，b確定了圓的位置，r確定了圓的大小.

確定一個圓需要三個條件，1個圓心相當(dāng)2個條件，而半徑只相當(dāng)1個條件.

求過點A（5，2）和點B（3，-2），圓心在直線2x-y=3上的圓的方程.點A和點B已知相當(dāng)2個條件，圓心在已知直線上只相當(dāng)1個條件.三個條件已知，圓的方程可定.

設(shè)圓心為（a，b）,則有

?2a?b?3?2222(a?5)?(b?2)?(a?3)?(b?2)??a?2解得?

b?1?即圓心為（2，1）.

由距離公式得半徑r2=(2?5)2?(1?2)2?10

因此所求圓的方程為(x?2)2?(y?1)2?10.

具備三個獨立條件方能確定圓的三個參數(shù)值，即確定圓的方程.假使還有某個條件未能確定，則得到的是“圓系〞（圓的集合）方程.當(dāng)題設(shè)中有條件很隱晦時，可先按“顯形條件〞求出圓系方程，再讓圓系方程滿足隱晦條件而把圓方程最終確定.

（2）一般方程——看圓的代數(shù)式特征假使把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程稱作圓方程的“幾何式〞，而圓的一般方程則可稱作圓方程的“代數(shù)式〞.

圓的一般方程為x2?y2?Dx?Ey?F?0①這是一個缺“混合二次項xy〞、且x2和y2兩項系數(shù)相等且不為零的二元二次方程.它的圖形是否為圓，還有限制條件.

D??E?1?將①配方得整理得?x????y???D2?E2?4F②

2??2?4?E??D22（1）當(dāng)D?E?4F?0時，依②知①表示以??，??為圓心，

2??21D2?E2?4F為半徑的圓；2（2）當(dāng)D?E?4F?0，①表示點圓??222222??E??D，??；

2??2（3）當(dāng)D?E?4F?0，①不表示任何圖形.

已知方程x2+y2-2(m+3)x+22(1-4m2)2y+16m4+9=0表示一個圓.

(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求該圓半徑r的取值范圍；(3)求圓心的軌跡方程.

(1)方程表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0，即：

1

4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-210.（3）直線與圓的位置關(guān)系——由心線距確定判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：

①幾何法：利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小判斷

d?r?相交，d?r?相切，d?r?相離

②代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式“Δ〞進行判斷：

??0?相交，??0?相切，??0?相離的距離為22,求直線l的傾斜角的取值范圍.

圓（x-2）2+（y-2）2=18的圓心為A（2，2），半徑為r=32.當(dāng)A到l的距離d=2時，圓上恰有三個點到l的距離為22；當(dāng)d2時，圓上有兩點到l的距離為22.

如右圖，當(dāng)d=AC=2時，OA=22，?AOC=30°，∴?COx=15°.

在另一極端位置l′時，其傾斜角為75°.∴所求角的范圍為[15°，75°]

圓x2?y2?4x?4y?10?0的圓心為（2，2），半徑為32.∵圓上至少有三個不同的點到直線l:ax+by=0的距離為22，∴圓心到直線的距離小于或等于2.

3?164747??,?0?r?.(2)r=?7?m???7777???x?m?31202

(3)設(shè)圓心為(x，y)，則?消去m得：y=4(x-3)-1，∵-0)，Q(x，y).

PQ|OP|1??，∵OQ為∠AOP的平分線，∴

QA|OQ|3∴Q分PA的比為

1.31?x?3?0?3?3(x?1)?x?014?4?1?x?x?1???033即?∴?

14??y?yy0??00?3?33??y0?y?141??3?

16?3?162y?1.又因y0>0，∴?x????9?4?939∴Q的軌跡方程為(x?)2?y2?(y?0).

4162x02＝１，且y02設(shè)∠AOP=α，α∈(0，π)，則P(cosα，sinα)，∠AOQ=方程為y=x2tan

?，則OQ直線2?=kx①2sin?sin?kPA＝(x－3)②,∴直線PA方程為y=

cos(?3)cos??32k?k2?(x?3)??k(x?3).消去k有由Q滿足①②且k=tan.由②得y=1?221?k2k2?1?321?ky?(x?3)3,∴x2+y2－x?0，由圖知y>0.y=x222y?1x23故所求Q點軌跡方程為x2＋y2－x=0(y>0).

24

上述兩種方程為求軌跡的基本方法：相關(guān)點及參數(shù)法.（2）待定系數(shù)法——把方程（組）帶進幾何

當(dāng)已知動點的軌跡是所學(xué)過的曲線方程時，則可設(shè)出含有待定系數(shù)的方程，再根據(jù)動點滿足的條件，確定待定系數(shù)，從而求得動點的軌跡方程.其基本思路是：先定性，再定型，最終定量.

求經(jīng)過兩圓x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交點，并且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程.

22??x??1?x??6?x?y?6x?4?0解方程組?得?或?

22y?3y??2???x?y?6y?28?0?∴兩圓交點為(－1，3)，(－6，－2).

設(shè)所求圓方程為：x2＋y2＋dx＋ey＋f=0

??(?1)2?32?d?3e?f?0?d??1?????(?6)2?(?2)2?6d?2e?f?0??e?7∴所求圓方程為：x2＋y2－x＋

?d?f??32e??????????4?0??2?2?7y－32=0.

22??x??1?x??6?x?y?6x?4?0解方程組?得?或?

22??y??2?x?y?6y?28?0?y?3∴兩圓交點為(－1，3)，(－6，－2).設(shè)所求圓方程為：(x－a)2＋(y－b)2=r2

1?a??2?(?1?a)2?(3?b)2?r2??7????(?6?a)2?(?2?b)2?r2??b??∴所求圓方程為：x2＋y2－x＋7y－

2?a?b?4?0???2178??r?4?32=0.

設(shè)所求圓方程為：x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2+6y－28)=0即：

66?4?28?x?y??01??1??1??33???∴圓心為??,??又∵圓心在直線x－y－4=0上∴

1??1????33????4?0∴λ=－71??1??x2?y2?∴所求圓方程為：x2＋y2－x＋7y－32=0（3）幾何法——與向量或三角溝通

直線被圓截得的弦長計算，運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦半徑及半徑構(gòu)成直角三角形計算，此公式是

半徑2=弦心距2+半弦長2.

5

在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知

|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標(biāo)大于零.（1）求向量AB的坐標(biāo)；（2）求圓x2?6x?y2?2y?0關(guān)于直線OB對稱的圓

的方程；（1）設(shè)

??u2?v2?1?|AB|?2|OA|AB?(u,v),則由、,即????|AB|?|OA|?0?4u?3v?0,?0得

0?u?6?u??6,或?.由于OB?OA?AB?{u?4,v?3},?v?8?v??81x.2所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.

（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：y?由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圓心（3，－1），半徑為10.設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對稱點為（x,y）則

y?1?x?3?2??0??x?1?22,得,故所求圓的方程為(x－1)2+(y－3)2=10.???y?3?y?1??2??x?3（4）參數(shù)法——與函數(shù)或不等式接軌

當(dāng)動點P（x,y）直接找不出坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系時，可設(shè)動點P（x,y）滿足關(guān)于參數(shù)t的方程

?x?x(t)（t是參數(shù)）③?y?y(t)?則由方程組③消去參數(shù)t，即求得動點P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.點P（x，y）在圓C：x2+y2-2x-2y+1=0上運動，點A（2，2），B（2，-2）是平面上兩點，求AP?BP的最值.

∵AP?(x?2,y?2),BP??x?2,y?2?,

∴AP?BP=?x?2,y?2???x?2,y?2???x?2???y?2??y?2??x2?y2?4x

2設(shè)x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，視為以K（-2，0）為圓心，4?k為半徑.(問題轉(zhuǎn)化為求半徑的取值范圍)

∵x、y在圓?x?1???y?1??1上運動，而點K（-2，0）在圓C外，

2222又兩圓心距為(?1?2)?(?1)?10

當(dāng)圓K與圓C內(nèi)切時4?k取最大值，最大值為10+1，此時k=（10+1）

2

-4=7+210.

當(dāng)圓K與圓C外切時4?k取最小值，此時有4?k+1=10，k?7?210.即x2+y2+4x的最大值為7+210，最小值為7?210.

6

習(xí)題精選精講圓標(biāo)準(zhǔn)方程

已知圓心C(a,b)和半徑r，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2；已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2，即得圓心C(a,b)和半徑r，進而可解得與圓有關(guān)的任何問題.

一、求圓的方程

例1(06重慶卷文)以點(2,?1)為圓心且與直線3x?4y?5?0相切的圓的方程為()

(A)(x?2)2?(y?1)2?3(B)(x?2)2?(y?1)2?3

(C)(x?2)2?(y?1)2?9(D)(x?2)2?(y?1)2?9解已知圓心為(2,?1)，且由題意知線心距等于圓半徑，即d?∴所求的圓方程為(x?2)2?(y?1)2?9，應(yīng)選(C).

點評：一般先求得圓心和半徑，再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2即得圓的方程.

二、位置關(guān)系問題例2(06安徽卷文)直線x?y?1與圓x2?y2?2ay?0(a?0)沒有公共點，則a的取值范圍是()

(A)(0,2?1)(B)(2?1,2?1)(C)(?2?1,2?1)(D)(0,2?1)

解化為標(biāo)準(zhǔn)方程x?(y?a)?a，即得圓心C(0,a)和半徑r?a.

2226?4?53?422?3?r，

2a2?2a?1?2a2，解得?2?1?a?2?1，注意到a?0，∴0?a?2?1，故

選(A).

點評：一般通過比較線心距d與圓半徑r的大小來處理直線與圓的位置關(guān)系：d?r?線圓相離；d?r?線圓相切；d?r?線圓相交.

三、切線問題

例3(06重慶卷理)過坐標(biāo)原點且與圓x?y?4x?2y?為()

22∵直線x?y?1與已知圓沒有公共點，∴線心距d?a?1?r?a，平方去分母得

5?0相切的直線方程211x(B)y?3x或y??x3311(C)y??3x或y??x(D)y?3x或y?x

335522解化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x?2)?(y?1)?,即得圓心C(2,?1)和半徑r?.

22設(shè)過坐標(biāo)原點的切線方程為y?kx，即kx?y?0，∴線心距

(A)y??3x或y?7

d?2k?1k2?1?r?51，平方去分母得(3k?1)(k?3)?0，解得k??3或，∴所求23的切線方程為y??3x或y?半徑來處理切線問題.

四、弦長問題

1x，應(yīng)選(A).3點評：一般通過線心距d與圓半徑r相等和待定系數(shù)法，或切線垂直于經(jīng)過切點的

例4(06天津卷理)設(shè)直線ax?y?3?0與圓(x?1)2?(y?2)2?4相交于

A、B兩點，且弦AB的長為23，則a?.

22解由已知圓(x?1)?(y?2)?4，即得圓心C(1,2)和半徑r?2.

a?12AB2222)?r，∴(∵線心距d?，且d?(，即)?(3)?2222a?1a?1(a?1)2?a2?1，解得a?0.

點評：一般在線心距d、弦長AB的一半和圓半徑r所組成的直角三角形中處理弦長

AB22)?r2.問題：d?(22a?1五、夾角問題

例5(06全國卷一文)從圓x?2x?y?2y?1?0外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為()

22133(B)(C)(D)025222解已知圓化為(x?1)?(y?1)?1，即得圓心C(1,1)和半徑r?1.

設(shè)由P(3,2)向這個圓作的兩條切線的夾角為?，則在切線長、半徑r和PC構(gòu)成的

(A)

直角三角形中，cos?225點評：處理兩切線夾角?問題的方法是：先在切線長、半徑r和PC所構(gòu)成的直角

?2，∴cos??2cos2??1?3，應(yīng)選(B).5三角形中求得

?的三角函數(shù)值，再用二倍角公式解決夾角?問題.222六、圓心角問題

例6(06全國卷二)過點(1,2)的直線l將圓(x?2)?y?4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k?.

22解由已知圓(x?2)?y?4，即得圓心C(2,0)和半徑r?2.

設(shè)P(1,2)，則kPC??2；∵PC?直線l時弦最短，從而劣弧所對的圓心角最小，∴直線l的斜率k??1kPC?2.28

點評：一般利用圓心角及其所對的弧或弦的關(guān)系處理圓心角問題：在同圓中，若圓

心角最小則其所對的弧長與弦長也最短，若弧長與弦長最短則所對的圓心角也最小.

七、最值問題例7(06湖南卷文)圓x2?y2?4x?4y?10?0上的點到直線x?y?14?0的最大距離與最小距離的差是()

(A)30(B)18(C)62(D)52

解已知圓化為(x?2)2?(y?2)2?18，即得圓心C(2,2)和半徑r?32.

設(shè)線心距為d，則圓上的點到直線x?y?14?0的最大距離為d?r，最小距離為

d?r，∴(d?r)?(d?r)?2r?62，應(yīng)選(C).

點評：圓上一點到某直線距離的最值問題一般轉(zhuǎn)化為線心距d與圓半徑r的關(guān)系解決：圓上的點到該直線的最大距離為d?r，最小距離為d?r.

八、綜合問題

例8(06湖南卷理)若圓x?y?4x?4y?10?0上至少有三個不同的點到直線

22l:ax?by?0的距離為22，則直線l的傾斜角的取值范圍是()

???5????](C)[,](D)[0,](A)[,](B)[,124121263222解已知圓化為(x?2)?(y?2)?18，即得圓心C(2,2)和半徑r?32.

∵圓上至少有三個不同的點到直線l:ax?by?0的距離為22，∴

a?r?22?2，即a2?4ab?b2?0，由直線l的斜率k??代入

ba2?b2?5?2?2?3，tan?2?3，得k?4k?1?0，解得2?3?k?2?3，又tan1212?5?]，應(yīng)選(B).∴直線l的傾斜角的取值范圍是[,1212d?2a?2b點評：處理與圓有關(guān)的任何問題總是先通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進而以“圓心半徑線心距〞的七字歌得到正確而迅速地解決.經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系

例1．求經(jīng)過兩已知圓：x?y?4x?6?0和x?y?4y?6?0的交點且圓心的橫

坐標(biāo)為3的圓的方程。

解：設(shè)經(jīng)過兩已知圓交點的圓系的方程為：

x?y?4x?6??(x?y?4y?6)?0（??-1）

22222222221，令=3得???1??1??312222∴所求圓的方程為：x?y?4x?6?(x?y?4y?6)?0即

322x?y?6x?2y?6?0

其圓心的橫坐標(biāo)為：x?例2．設(shè)圓方程為：

(??4)x?(??4)y?(2??4)x?(12??40)y?48??164?0其中??－4求證：不管?為何值，所給圓必經(jīng)過兩個定點。

9

22證明：把所給方程寫為：

4(x2?y2?x?10y?41)??(x2?y2?2x?12y?48)?0

這是經(jīng)過以下兩個圓的交點的圓系的方程：

x2?y2?x?10y?41?0x2?y2?2x?12y?48?0所以，不管?為何值，所給圓必經(jīng)過這兩個圓的兩

個交點軸對稱

軸對稱是解析幾何的一個重要內(nèi)容，利用它不僅可以解決點、線、曲線等關(guān)于直線的對稱問題，而且還可以解決諸如最值、光線反射、角平分線等問題，并且常得到意想不到的效果。本文將以數(shù)例來談?wù)勊膽?yīng)用。

例1、已知點A(4,1)，B(0,4)，在直線L：y=3x-1上找一點P，求使|PA|-|PB|最大時P的坐標(biāo)。

分析：此題的常規(guī)方法是：（1）設(shè)點（2）列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（3）求解。但此題若這樣做，則就會走入死胡同。若巧妙利用軸對稱的知識則可

y以輕松解決。

解：如圖，設(shè)點C(x,y)是點B關(guān)于直線L的對稱點，則由kl?3，得：P1kBC??，

3∴直線BC的方程為：y??D?(0,4)B1x?4，將其與直線y=3x-1聯(lián)立，解得：3oP'CA(4,1)x?37?。,?,其中D為BC中點，利用中點坐標(biāo)公式，得C（3,3）

22??顯然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,當(dāng)且僅當(dāng)A、C、P三點共線時，|PA|-|PB|最大。可求得：直線AC方程為：2x?y?9?0，與L方程聯(lián)立解得P的坐標(biāo)為（2,5）。例2、光線由點C（3，3）出發(fā)射到直線L：y=3x-1上，已知其被直線L反射后經(jīng)過點A(4,1)，求反射光線方程。

y解：設(shè)點B是點C關(guān)于L的對稱點，則由光線反射的知識易知：點B在

反射光線上，故所求的反射光線的方程即為直線AB所在的直線方程。由例1知點C關(guān)于L的對稱點為B（0,4），故直線AB的方程易求得為：y??3x?4。它即為反射光線方程。4(0,4)B例3、已知ΔABC的頂點A的坐標(biāo)為(1,4)，∠B、∠C的平分線的分別方程為

x?2y?0和x?y?1?0，求BC所在的直線方程。

PoCA(410

分析：此題的常規(guī)思路是利用L1到L2的角的有關(guān)知識解決問題，但較繁，若能注意到角平分線的有關(guān)性質(zhì)，則可簡捷求解。

解：設(shè)∠B、∠C的平分線分別為L1、L2,則由角平分線的知識可知：AB與CB關(guān)于L1對稱，AC與BC關(guān)于L2對稱，故點A關(guān)于L1、L2的對稱點A1、A2都應(yīng)當(dāng)在直線BC上，故BC所在的直線方程即為A1A2所在的直線方程。

198,?),A2(?3,0)（過程略）55于是BC方程可求得為：4x?17y?12?0

利用對稱性可求得：A1(直線和圓

1．自點（－3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓

x2?y2?4x?4y?7?0相切，求光線L所在直線方程．

解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)＋(y－2)＝1，它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x－2)＋

2

(y＋2)＝1。

設(shè)光線L所在直線方程是：y－3＝k(x＋3)。

由題設(shè)知對稱圓的圓心C′（2，－2）到這條直線的距離等于1，即d?2整理得12k?25k?12?0,解得k??2

2

2

|5k?5|1?k2?1．

34或k??．故所求的直線方程是4334y?3??(x?3)，或y?3??(x?3)，

43即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．

2．已知圓C：x?y?2x?4y?4?0，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線L的方程，若不存在說明理由．（14分）

．解：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x?1)2?(y?2)2?32假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）

由于CM⊥L，∴kCM?kL=－1∴kCM=b?2??1，即a+b+1=0，得b=－a－1①

a?122直線L的方程為y－b=x－－，即x－y+b－a=0∴CM=b?a?3∵以AB為直徑

2的圓M過原點，∴MA?MB?OMMB2?CB2?CM2?9?(b?a?3)，

2OM22?a2?b2

(b?a?3)2∴9??a2?b2②把①代入②得2a2?a?3?0，∴

23a?或a??1

2當(dāng)a?3,時b??5此時直線L的方程為：x－y－4=0；當(dāng)a??1,時b?0此時直線L的

22方程為：x－y+1=0

故這樣的直線L是存在的，方程為x－y－4=0或x－y+1=0．

3．（12分）求過點P（6，－4）且被圓x?y?20截得長為62的弦所在的直線方程．

11

22解：設(shè)弦所在的直線方程為y?4?k(x?6)，即kx?y?6k?4?0①

則圓心（0，0）到此直線的距離為d?|6k?4|．

21?ky由于圓的半弦長、半徑、弦心距恰好構(gòu)成Rt△，所以(|6k?4|21?k代入①得切線方程?7x?y?6?(?7)?4?0或

1717)?(32)?20．由此解得k??227或k??1．17或

Ox?x?y?6?(?1)?4?0x?y?2?0．

4

．（

12

分

）

，已

即知

7x?17y?26?0圓

C:

P

及

直

線

l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4.?m?R?

?x?1?2??y?2?2?25（1）證明:不管m取什么實數(shù),直線l與圓C恒相交；

（2）求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線l的方程．．解:(1)直線方程l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4,可以改寫為m?2x?y?7??x?y?4?0,所以直

線必經(jīng)過直線2x?y?7?0和x?y?4?0的交點.由方程組??2x?y?7?0,?x?3,

解得?

?x?y?4?0?y?1

即兩直線的交點為A(3,1)又由于點A?3,1?與圓心C?1,2?的距離d?5?5,所以該點在

C內(nèi),故不管m取什么實數(shù),直線l與圓C恒相交.

(2)連接AC,過A作AC的垂線,此時的直線與圓C相交于B、D.BD為直線被圓所截得的

最短弦長.此時,AC?5,BC?5,所以BD?225?5?45.即最短弦長為45.又直線AC的斜率kAC??1,所以直線BD的斜率為2.此時直線方程

2為:y?1?2?x?3?,即2x?y?5?0.

5（12分）已知圓x2+y2+x－6y+m=0和直線x+2y－3=0交于P、Q兩點，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點，求實數(shù)m的值．

?x2?y2?x?6y?m?0解：由y?5y2?20y?12?m?0??x?2y?3?0?y1?y2?4???12?m

y1y2??5?又OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=4m?27

5PQOx∴

4m?2712?m??0解得m=3.556.已知圓C：(x+4)+y=4和點A(-23，0)，圓D的圓心在y軸上移動，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y軸交于點M、N.∠MAN是否為定值？若為定值，求出∠MAN的弧度數(shù)；若不為定值，說明理由.

2

2

12

設(shè)圓D的方程為x2?(y?b)2?r2(r?0),那么M(0,b?r),N(0,b?r).

由于圓D與圓C外切,所以2?r?16?b2?b2?r2?4r?12.又直線MA,NA的斜率分別為kMA?b?r23,kMB?b?r23.

b?r?tan?MAN?43r43r?2323???3??MAN?.為定

b?rb?r12?b2?r24r31?2323?b?r值

7．（14分）已知圓x2?y2?x?6y?m?0和直線x?2y?3?0交于P、Q兩點，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長．解：將x?3?2y代入方程x?y?x?6y?m?0，得5y?20y?12?m?0．

222m?12．??5∵OP⊥OQ,∴x1x2?y1y2?0,而x1?3?2y1，x2?3?2y2，∴

設(shè)P?x1,y1，Q?x2,y2，則y1,y2滿足條件：y1?y2?4,y1y2?x1x2?9?64．y1y2?y1??y2?15，3），半徑r?．

228．（14分）求圓心在直線x?y?0上，且過兩圓x2?y2?2x?10y?24?0，

∴m?3，此時Δ?0，圓心坐標(biāo)為（－

x2?y2?2x?2y?8?0交點的圓的方程．

解法一：（利用圓心到兩交點的距離相等求圓心）將兩圓的方程聯(lián)立得方程組

（0，2）．因所求圓心在直線x?y?0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為(x,?x)，則它到上面的兩上交點

（－4，0）和（0，2）的距離相等，故有(?4?x)2?(0?x)2?x2?(2?x)2，

即4x??12，∴x??3，y??x?3，從而圓心坐標(biāo)是（－3，3）．又r?(?4?3)2?32?10，故所求圓的方程為(x?3)?(y?3)?10．

22?x2?y2?2x?10y?24?0?22?x?y?2x?2y?8?0，解這個方程組求得兩圓的交點坐標(biāo)A（－4，0），B

解法二：（利用弦的垂直平分線過圓心求圓的方程）同解法一求得兩交點坐標(biāo)A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂線為2x?y?3?0，

它與直線x?y?0交點（－3，3）就是圓心，又半徑r?10，

22故所

求圓的方程為(x?3)?(y?3)?10．解法三：（用待定系數(shù)法求圓的方程）同解法一求得兩交點坐標(biāo)為A（－4，0），B（0，2）．

222設(shè)所求圓的方程為(x?a)?(y?b)?r，因兩點在此圓上，且圓心在x?y?013

上，所以得方

?a??3?(?4?a)2?b2?r2?222程組??a?(3?b)?r，解之得?b?3，??a?b?0??r?10故所求圓的方程為(x?3)2?(y?3)2?10．

解法四：（用“圓系〞方法求圓的方程．過后想想為什么？）設(shè)所求圓的方程為x2?y2?2x?10y?24??(x2?y2?2x?2y?8)?0(???1)，

2(1??)2(5??)8(3??)即x2?y2?可知圓心坐標(biāo)為x?y??0．

1??1??1??1??5??(,?)．1??1??

因圓心在直線x?y?0上，所以

1??5????0，解得???2．1??1??將

???2代入所設(shè)方程并化簡，求圓的方程x2?y2?6x?6y?8?0

9．(12分)已知一個圓截y軸所得的弦為2，被x軸分成的兩段弧長的比為3∶１．（1）設(shè)圓心為（a，b），求實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；（2）當(dāng)圓心到直線l：x－2y＝0的距離最小時，求圓的方程．

r

⑴設(shè)圓心P（a，b），半徑為r，則|b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所

2

22

以2b＝a＋1；

|a－2b|

(2)點P到直線x－2y＝0的距離d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）

5

22

＝2b－a＝1．

?a＝b，?a＝1，?a＝－1，所以?22所以?或?

?2b＝a＋1，?b＝1，?b＝－1．

所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．

10已知圓C與圓x2?y2?2x?0相外切，并且與直線x?3y?0相切于點

Q(3,?3)，求圓C的方程

設(shè)圓C的圓心為

(a,b)，則

?b?3?3??a?3?a?4或?a?0???b?0?b??43?r?2或r?6a?3b???(a?1)2?b2?1??2?所以圓C的方程為(x?4)2?y2?4或x2?(y?43)2?36

11.（1997全國文，25）已知圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1；③圓心到直線l：x－2y=0的距離為

.解：設(shè)圓的方程為（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.

14

5，求該圓的方程.5|y1－y2|=|x1－x2|=得2b2－a2=1

(y1?y2)2?4y1y2?2r2?a2=2，得r2=a2+1

①令y=0，得x2－

②由①、②，

2ax+a2+b2－r2=0，

(x1?x2)2?4x1x2?2r2?b2?2r，得r2=2b2

又由于P（a，b）到直線x－2y=0的距離為±1.

5|a?2b|5，得d=，即a－2b=?555?2b2?a2?1,?2b2?a2?1?a??1?a?1綜上可得?或?解得?或?于是r2=2b2=2.

?b??1?b?1?a?2b?1;?a?2b??1所求圓的方程為（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.

12.（1997全國理，25）設(shè)圓滿足：（1）截y軸所得弦長為2；（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.

.解：設(shè)所求圓的圓心為P（a，b），半徑為r，則P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.由題設(shè)圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，圓P截x軸所得弦長為＝2b2，

又圓P截y軸所得弦長為2，所以有r2＝a2＋1，從而有2b2－a2＝1

又點P（a，b）到直線x－2y=0距離為d＝

2r，故r2

|a?2b|，5所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時上式等號成立，此時5d2＝1，從而d取得最小值，由此有??a?b22?2b?a?1解方程得??a?1?a??1或?由于r2＝2b2，知r＝2，

?b?1?b??1于是所求圓的方程為（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

13.（2023北京文，16）圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的動點Q到直線3x＋4y＋8＝0距離的最小值為．

.答案：2

解析：圓心到直線的距離d＝＝3－1＝2

圓的方程例析

.求圓心坐標(biāo)和半徑

求以下各圓的圓心坐標(biāo)和半徑:（1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；

22

（3）x+y+2ay－1=0.

我們先配方得標(biāo)準(zhǔn)方程，然后寫出圓心坐標(biāo)及半徑.解：（1）配方

15

|3?4?8|＝3∴動點Q到直線距離的最小值為d－r

5

∴圓心為半徑為r=.

（注意：這里字母

（2）配方得（x+a）2+y2=a2，∴圓心為（-a，0），半徑為r=a不知道正負(fù)，而半徑為正值，所以要加絕對值）.

（3）配方得x2+（y+a）2=1+a2，∴圓心為（0，-a），半徑為r=

22

探討方程x+y+2ay+1=0（a∈R）表示曲線的形狀.

解：配方得x2+（y+a）2=a2-1，當(dāng)a1時，此方程表示的曲線是圓心為（0，-a），半徑為r=的圓；當(dāng)a=±1時，此方程表示的曲線是一個點，坐標(biāo)為（0，-a）；當(dāng)-12.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

已知一個圓經(jīng)過兩點A（2，－3）和B（－2，－5），且圓心在直線l：x－2y－3＝0上，求此圓的方程.

求圓的方程，需要確定圓心和半徑，我們可以先設(shè)定圓心的坐標(biāo)，再利用它到A、B兩點的距離相等來確定，從而求得圓的方程.解：設(shè)點C為圓心，∵點C在直線l：x－2y－3＝0上，

∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為（2a＋3，a）.又∵該圓經(jīng)過A、B兩點，∴

|CA|=|CB|.解得a＝－2，

∴圓心坐標(biāo)為C（－1，－2），半徑r＝.

22

故所求圓的方程為（x＋1）＋（y＋2）=10.3.求圓的一般方程

△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圓的方程.

此題與圓心坐標(biāo)和半徑?jīng)]有關(guān)系，我們選用圓的一般式方程即可.三角形的三個頂點都在其外接圓上，所以可以聯(lián)立方程組，從而求得圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由題意得方程組解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝-20.∴△ABC的

22

外接圓方程為x＋y－4x－2y-20=0.

通過這部分知識的學(xué)習(xí)，我們要把握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地求出它的圓心和半徑；把握圓的一般方程及圓的一般方程的特點，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑

如何確定圓的方程已知兩點P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2為直徑的圓的方程.

根據(jù)已知條件，我們需要求出圓的圓心位置，又由點P1P2的坐標(biāo)已知，且P1P2為所求圓的直徑，所以圓的半徑很簡單求出，這是常規(guī)的解法，如下面解法1所示，另外還有一些其它的解法，我們大家一起來欣賞：

16

解法1：設(shè)圓心為C（a，b）、半徑為r.由中點坐標(biāo)公式，得a＝＝6.∴C（5，6），再由兩點間距離公式，得

＝5，b＝

∴所求的圓的方程為（x－5）2＋（y－6）2

＝10.解法2：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點，且圓的直徑的兩端點為P1（4，9）、P2（6，3），∴圓的方程為（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，

22

化簡得（x－5）＋（y－6）＝10，即為所求.

解法3：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點.由圓的性質(zhì)有三角形PP1P2為直角三角形，

∴（x－4）＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2，化簡得x2＋y2－10x－12y＋51＝0.

∴（x－5）2＋（y－6）2＝10，即為所求的圓的方程.解法4：設(shè)P（x，y）是圓上不同于P1、P2的任意一點.∵直徑上的圓周角為直角，∴PP1⊥PP2.（1）當(dāng)PP1、PP2的斜率都存在時，

2

（2）當(dāng)PP1、PP2的斜率有一個不存在時，PP1、PP2的方程為x＝4或x＝6，這時點P的坐標(biāo)是（4，3）或（6，9），均滿足方程（*）.又P1（4，9）、P2（6，3）也滿足方程（*），

2

所以，所求圓的方程為（x－5）＋（y－6）2＝10.

此題我們分別采用了4種解法求解，其中解法2技巧性最強；解法3主要是運用了“圓中直徑所對的圓周角是90°〞這一結(jié)論；解法4是通過直線的斜率來求.不同的方法極大地開闊了我們的思路圓的切線方程

在直線與圓的位置關(guān)系中，求過定點的圓的切線方程問題是一類很重要的題型.我們都知道有這樣的結(jié)論：過圓x2＋y2＝r2上一點A（x0，y0）的切線方程為xx0＋yy0＝r2，那么你知道在運用這個結(jié)論的時候要注意些什么嗎？

求過點A（2，1）向圓x2＋y2＝4所引的切線方程.解法一：設(shè)切點為B（x0，y0），則x02＋y02＝4，過B點的切線方程為x0x＋y0y＝4.

又點A（2，1）在切線上，∴2x0＋y0＝4.

將x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切線方程為x＝2或3x＋4y－10＝0.

解法二：設(shè)切線方程為y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.∵圓心（0，0）到切線的距離是2，

17

∴＝2，解得k＝－.∴所求切線方程為－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.

當(dāng)過點A的直線的斜率不存在時，方程為x＝2，也滿足條件.故所求圓的切線方程為3x＋4y－10＝0或x＝2.

解法三：設(shè)切線方程為y－1＝k（x－2）與方程x2＋y2＝4聯(lián)立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.

∵直線與圓相切，上述方程只能有一個解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.

∴所求切線方程為y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.又過點A（2，1）與x軸垂直的直線x＝2也與圓相切.

故圓的切線方程為3x＋4y－10＝0或x＝2.

求過定點的圓的切線問題，應(yīng)首先判斷該點是否在圓上，若點在圓x2＋y2＝r2上，則可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）為切點），類似的可以求出過圓（x

222

－a）＋（y－b）＝r上一點A（x0，y0）的切線方程為（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y

2

－b）＝r；若點在圓外，則所求切線必有兩條，此時可設(shè)切線方程，用待定系數(shù)法求斜率k.假使關(guān)于k的方程只有一個解，則另一條切線的斜率必不存在，應(yīng)當(dāng)將該直線補上.大家做題的時候必需依照我們所講的認(rèn)真求解，稍有馬虎就可能造成一些不必要的錯誤.就此題而言，可能出現(xiàn)的錯解1：由過圓x2＋y2＝r2上一點A（x0，y0）的切線方程為xx0＋yy0＝r2.從而直接得出切線方程為2x＋y＝4.出現(xiàn)錯誤的原因是憑直觀經(jīng)驗，誤認(rèn)為點A（2，1）在圓上；錯解2：設(shè)切線方程為y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圓心（0，0）到切線的距離是2得，

＝2，解得k＝－，故所求切

線方程為－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.這里出現(xiàn)錯誤的原因主要是考慮問題不周全，漏掉了直線斜率不存

例題】求半徑為4，與圓x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．錯解1：由題設(shè)，所求圓與直線y＝0相切且半徑為r=4，則設(shè)所求圓的圓心為（a，4）.又已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圓心（2，1），半徑R＝3．

（1）若兩圓外切，則圓心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，∴所求圓方程為：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.

（2）若兩圓內(nèi)切，則圓心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1．∴（a－2）2＋（4－1）2＝1，這個方程無解．故探討（1）中，兩個方程均是所求圓的方程．

錯解2：由題設(shè)，所求圓與直線y＝0相切且半徑為r=4，則設(shè)所求圓的圓心為（a，±4）.

又已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圓心（2，1），半徑R＝3．

由于兩圓相切，則圓心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，

222

或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2.

18

∴所求圓方程為：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16或（x-2+2）2+（y＋4）2=16.

此題簡單出錯的有兩個地方：其一是只考慮了所求圓的圓心在x軸（y＝0）上方，疏忽了圓心在直線y＝0下方的可能，遺下了漏解的隱患，如錯解1．其二，只考慮了兩圓外切，沒有考慮兩圓內(nèi)切的狀況，解題是不嚴(yán)密的，如錯解2．因此在審題、解題時，一定要全面、細(xì)致地分析研究，努力戰(zhàn)勝馬虎大意、主觀片面．正解：由題設(shè)，所求圓與直線y＝0相切且半徑為r=4，則設(shè)所求圓的圓心為（a，±4）.又已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為：

（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圓心（2，1），半徑R＝3．

22

（1）若兩圓外切，則圓心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）+（4-1）=72，得a=2±2，

222

或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2.∴所求圓方程為：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16.或（x-2+2）2+（y＋4）2=16.

（2）若兩圓內(nèi)切，則圓心距＝R-r＝4－3＝1．∴（a－2）2＋（4－1）2＝1，或（a－2）2＋（－4－1）2＝1，這兩個方程都無解．故探討（1）中，4個方程均是所求圓的方程

正確判斷兩圓的位置關(guān)系

已知兩圓C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.

要判斷兩圓的位置關(guān)系，我們尋常有兩種方法：一種是判斷兩圓的交點個數(shù)，假使它們有兩個交點，則相交；有一個交點則外切或內(nèi)切；沒有交點則相離或內(nèi)含.另一種是通過兩圓連心線的長與兩半徑的和或兩半徑差的絕對值的大小關(guān)系，來判斷兩圓的位置關(guān)系.

解法一：將兩圓的方程聯(lián)立得，

由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0（3）由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1），

2

并整理得y－1＝0（4）方程（4）的判別式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0，

所以，方程（4）有兩個不同的實數(shù)根y1，y2，把y1，y2分別代入方程（3），得到x1，x2.

因此圓C1與圓C2有兩個不同的交點，即兩圓是相交的位置關(guān)系.

解法二：把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式為（x＋2）2＋（y＋2）2＝10，圓C1的圓心坐標(biāo)為（－2，－2），半徑長r1＝.

22

把圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式為（x－1）＋（y－4）＝25.圓C2的圓心坐標(biāo)為（1，4），半徑長r2＝5.

圓C1和圓C2的連心線的長為：

圓C1與圓C2的兩半徑之和是r1＋r2＝5＋

，兩半徑之差r2－r1＝5－

.

而5－＜3＜5＋.即r2－r1＜3＜r1+r2.

在解法1中，我們只要判斷出圓C1與圓C2有幾個公共點即可，不需要求

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出公共點的具體坐標(biāo)，也就是說只需要判斷出方程（4）的判別式大于0，而不需要求解方程

直線與圓的位置關(guān)系解析

假使曲線C：x2+（y+1）2=1與直線x+y+a=0有公共點，那么實數(shù)a的取值范圍是．

通過直線與圓的位置關(guān)系來求其中所含參數(shù)的取值范圍，下面我們分別從代數(shù)和幾何兩個方面來求.

解法一：（代數(shù)法）由

消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0，

≤a≤1+

.

由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-

∴實數(shù)a的取值范圍是1-≤a≤1+.解法二：（幾何法）圓C與直線x+y+a=0有公共點，圓心（0，－1）到直線的距離不大于半徑，

∴實數(shù)a的取值范圍是1-≤a≤1+.

直線與圓的位置關(guān)系的判定方法有：①代數(shù)法：利用二次方程的判別式判斷；②幾何法：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷.

直線2x－y＋1＝0與圓O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系是（）.A．相切B．相交且過圓心C．相離D．相交不過圓心

要想確定一條直線與圓的位置關(guān)系，我們需要得出圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系.所以將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：圓O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圓心為（－1，3），半徑為r＝6，圓心到直線的距離為d＝

從而知0＜d＜r，所以直線與圓相交但不過圓心.故正確答案為D

求圓的切線方程的幾種方法

在高中數(shù)學(xué)人教版其次冊第七章《圓的方程》一節(jié)中有一例題：求過已知圓上一

點的切線方程，除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。

例：已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線的方程。

解法一：利用斜率求解

20

15．（Ⅰ）∵kAB??2,AB?BC,

22,∴BC:y?x?22.22（Ⅱ）在上式中，令y?0,得：C(4,0),∴圓心M(1,0),．又∵AM?3,．∴外接

∴kCB?（Ⅲ）∵P(?1,0),M(1,0),∵圓N過點P(?1,0),，∴PN是該圓的半徑，又∵動圓

圓的方程為(x?1)2?y2?9.

N與圓M內(nèi)切，∴MN?3?PN,即MN?PN?3,．

∴點N的軌跡是以M，P為焦點，長軸長為3的橢圓．∴a?3，c?1，25x2y2?1．b?a?c?,∴軌跡方程為?954442211．用一些棱長是1cm的小正方體碼放成一個幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主視

圖，則這個幾何體的體積最多是▲cm3．

圖1（俯視圖）圖2（主視圖）

第11題圖

15．（本小題總分值14分）

如圖，已知圓心坐標(biāo)為M(3,1)的圓M與x軸及直線y?3x均相切，切點分別為

A、B，另一圓N與圓M、x軸及直線y?3x均相切，切點分別為C、D．（1）求圓M和圓N的方程；

（2）過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度．

yDN

B

M

OCAx15．（本小題總分值14分）

解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半徑，則M在∠BOA的平分線上，同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為∠BOA的平分線，∵M的坐標(biāo)為(3,1)，∴M到x軸的距離為1，

26

即⊙M的半徑為1，則⊙M的方程為(x?3)2?(y?1)2?1，設(shè)⊙N的半徑為r，其與x軸的的切點為C，連接MA、MC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即

r1??r?3，則3?rrOC=33，則⊙N的方程為(x?33)2?(y?3)2?9；

（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙N截得的弦的長度，

33即：圓心N到該直線的距離d=，(x?3)，x?3y?3?0，

3233則弦長=2r2?d2?33．另解：求得B（，再得過B與MN平行的直線方,）

223程x?3y?3?0，圓心N到該直線的距離d?=，則弦長=2r2?d2?33．

2此弦的方程是y?（也可以直接求A點或B點到直線MN的距離，進而求得弦長）

27

如圖1，設(shè)切線的斜率為k，則k?kOM??1.?ky0OM?,?k??x0x0y0經(jīng)過點M的切線方程是：y?y?x00?y(x?x0)0整理得x?y2y20x0y?x0?0.由于點M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)點M在坐標(biāo)軸上時上面方程同樣適用。解法二：利用向量求解

如圖2，設(shè)切線上的任意一點p的坐標(biāo)?x,y?∵OM?PM，OM?（x0,y0),PM?(x0?x,y0?y)?OM?PM?0?x0?（x0?x）?y0?(y0?y)?0整理得：x?y220x0y?x0?y0.由于點M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線方程為：x0x?y0y?r2.（這種方法的優(yōu)點在于不用考慮直線的斜率存不存在）

解法三：利用幾何特征求解

如圖2，設(shè)直線上不同于M(x0,y0)的一點P(x,y)∵OM?PM

?OM2?PM2?OP2?x20?y20?(x?x0)2?(y?y0)2?x2?y2整理得：x?y2y20x0y?x0?0.由于點M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)P和M重合時上面方程同樣適用。解法四：用待定系數(shù)法求解1、利用點到直線的距離求解

設(shè)所求直線方程的斜率為k,則直線方程為：y?y0?k(x?x0),即：kx?y?y0?kx0?0⑴原點O(0,0)到切線的距離等于半徑y(tǒng)0?kx01?k2?r化簡整理得：(r2?x2k?r2?y20)k2?2x0y00?0⑵由于x20?y220?r所以⑵式可化為：y2?2xx20k20y0k?0?0解得：k??x0y代入⑴式0整理得x220x?y0y?x0?y0.由于點M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)斜率不存在時上面方程同樣適用。2、利用直線與圓的位置關(guān)系求解：

21

圖1

圖2

設(shè)所求直線方程的斜率為k,則直線方程為：y?y0?k(x?x0),即：kx?y?y0?kx0?0（1）?kx?y?y0?kx0?0由?2消去y得22?x?y?r(1?k2)x2?2k(y0?kx0)x?y0?k2x0?2ky0x0?r2?0??4k2(y0?kx0)2?4(1?k2)(y0?k2x0?2ky0x0?r2)?0整理得：(r2?x0)k2?2x0y0k?r2?y0?0⑵由于x0?y0?r2所以⑵式可化為：y0k2?2x0y0k?x0?0解得：k??x0代入⑴式y(tǒng)0222222222222整理得x0x?y0y?x0?y0.22由于點M在圓上，所以x0?y0?r2.

所求的直線方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)斜率不存在時上面方程同樣適用。

這是圓心在坐標(biāo)原點的圓的切線方程的求法，若圓心不在原點，也可以用這些方法求解。

同樣一道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上的幾種解法中，用向量法和幾何特征求解相對來說簡單一些。實際上在圓這一章，好多時候用幾何特征求解圓的方程和直線方程是教簡單的方法，同學(xué)們下來可以嘗試。

巧構(gòu)思妙解題

解題不可只是下苦功夫，要動點腦筋、施點小計，才能使題目得以迎刃而解。本文就直線與圓的問題舉數(shù)例說明。

例1.已知兩點A(?2，0)，B(0，2)，點C是圓x2?y2?2x?0上的任意一點，則?ABC的面積最小值是_________.

分析：簡單先想到假設(shè)點C的坐標(biāo)，求點C到直線AB的距離，然后將三角形面積化成函數(shù)來求最小值。想法當(dāng)然不錯，但繁而不巧，細(xì)心想一想，便可知AB的長為定值。只需點C到直線AB的距離最小，即圓心到直線AB的距離與半徑的差，這樣可以輕松求出答案為：3?2.

例2.過點A(3，1)和B(1，3)，圓心在直線2x?y?0上的圓的方程為_________.分析：若先假設(shè)圓的方程，再根據(jù)已知條件求出圓的方程，此法可行，但運算不簡單，實際上，圓心除了在已知直線2x?y?0上，還在線段AB的垂直平分線上，簡單求出圓心是（0，0），圓的方程即：x?y?10.

222例3.已知直線l：x?y?2?0與圓C：x?y?4ax?2ay?4a?0，設(shè)d是圓

22C上的點到直線的距離，且圓C上有兩點使d取得最大值，則此時a?_______，d?______.

分析：只有直線過圓心時，圓上才能有兩個點同時到此直線的距離最大，其距離即半徑。這樣將圓心坐標(biāo)(?2a，a)代入直線l的方程即可求得a??2，所以圓半徑即所求的d?2.

例4.直線a?x?1??b?y?1??0與圓x?y?2的位置關(guān)系是_________.

22分析：直線過定點(?1，?1)，此點在圓上，過圓上一點的直線與圓有一個或兩個

22

交點，故應(yīng)當(dāng)填：相交或相切。

例5.在直角坐標(biāo)系中，射線OA，OB的方程是x?y?0(x?0)，x?y?0(x?0)。動點P在?AOB內(nèi)部，且點P到?AOB兩邊的距離的平方差的絕對值等于1，則動點P的軌跡方程是（）

1A.xy?.B.

21xy?.C.

2