圓的方程習(xí)題精講附有詳細(xì)答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——圓的方程習(xí)題精講，附有詳細(xì)答案圓的方程習(xí)題精選精講

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程——請(qǐng)看圓心和半徑

從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中，我們能看見(jiàn)它的圖形特征：圓心即定點(diǎn)（a，b），半徑即定長(zhǎng)r.a，b確定了圓的位置，r確定了圓的大小.

確定一個(gè)圓需要三個(gè)條件，1個(gè)圓心相當(dāng)2個(gè)條件，而半徑只相當(dāng)1個(gè)條件.

求過(guò)點(diǎn)A（5，2）和點(diǎn)B（3，-2），圓心在直線(xiàn)2x-y=3上的圓的方程.點(diǎn)A和點(diǎn)B已知相當(dāng)2個(gè)條件，圓心在已知直線(xiàn)上只相當(dāng)1個(gè)條件.三個(gè)條件已知，圓的方程可定.

設(shè)圓心為（a，b）,則有

?2a?b?3?2222(a?5)?(b?2)?(a?3)?(b?2)??a?2解得?

b?1?即圓心為（2，1）.

由距離公式得半徑r2=(2?5)2?(1?2)2?10

因此所求圓的方程為(x?2)2?(y?1)2?10.

具備三個(gè)獨(dú)立條件方能確定圓的三個(gè)參數(shù)值，即確定圓的方程.假使還有某個(gè)條件未能確定，則得到的是“圓系〞（圓的集合）方程.當(dāng)題設(shè)中有條件很隱晦時(shí)，可先按“顯形條件〞求出圓系方程，再讓圓系方程滿(mǎn)足隱晦條件而把圓方程最終確定.

（2）一般方程——看圓的代數(shù)式特征假使把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程稱(chēng)作圓方程的“幾何式〞，而圓的一般方程則可稱(chēng)作圓方程的“代數(shù)式〞.

圓的一般方程為x2?y2?Dx?Ey?F?0①這是一個(gè)缺“混合二次項(xiàng)xy〞、且x2和y2兩項(xiàng)系數(shù)相等且不為零的二元二次方程.它的圖形是否為圓，還有限制條件.

D??E?1?將①配方得整理得?x????y???D2?E2?4F②

2??2?4?E??D22（1）當(dāng)D?E?4F?0時(shí)，依②知①表示以??，??為圓心，

2??21D2?E2?4F為半徑的圓；2（2）當(dāng)D?E?4F?0，①表示點(diǎn)圓??222222??E??D，??；

2??2（3）當(dāng)D?E?4F?0，①不表示任何圖形.

已知方程x2+y2-2(m+3)x+22(1-4m2)2y+16m4+9=0表示一個(gè)圓.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求該圓半徑r的取值范圍；(3)求圓心的軌跡方程.

(1)方程表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0，即：

1

4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-210.（3）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系——由心線(xiàn)距確定判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：

①幾何法：利用圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r的大小判斷

d?r?相交，d?r?相切，d?r?相離

②代數(shù)法：聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式“Δ〞進(jìn)行判斷：

??0?相交，??0?相切，??0?相離的距離為22,求直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍.

圓（x-2）2+（y-2）2=18的圓心為A（2，2），半徑為r=32.當(dāng)A到l的距離d=2時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到l的距離為22；當(dāng)d2時(shí)，圓上有兩點(diǎn)到l的距離為22.

如右圖，當(dāng)d=AC=2時(shí)，OA=22，?AOC=30°，∴?COx=15°.

在另一極端位置l′時(shí)，其傾斜角為75°.∴所求角的范圍為[15°，75°]

圓x2?y2?4x?4y?10?0的圓心為（2，2），半徑為32.∵圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)l:ax+by=0的距離為22，∴圓心到直線(xiàn)的距離小于或等于2.

3?164747??,?0?r?.(2)r=?7?m???7777???x?m?31202

(3)設(shè)圓心為(x，y)，則?消去m得：y=4(x-3)-1，∵-0)，Q(x，y).

PQ|OP|1??，∵OQ為∠AOP的平分線(xiàn)，∴

QA|OQ|3∴Q分PA的比為

1.31?x?3?0?3?3(x?1)?x?014?4?1?x?x?1???033即?∴?

14??y?yy0??00?3?33??y0?y?141??3?

16?3?162y?1.又因y0>0，∴?x????9?4?939∴Q的軌跡方程為(x?)2?y2?(y?0).

4162x02＝１，且y02設(shè)∠AOP=α，α∈(0，π)，則P(cosα，sinα)，∠AOQ=方程為y=x2tan

?，則OQ直線(xiàn)2?=kx①2sin?sin?kPA＝(x－3)②,∴直線(xiàn)PA方程為y=

cos(?3)cos??32k?k2?(x?3)??k(x?3).消去k有由Q滿(mǎn)足①②且k=tan.由②得y=1?221?k2k2?1?321?ky?(x?3)3,∴x2+y2－x?0，由圖知y>0.y=x222y?1x23故所求Q點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2－x=0(y>0).

24

上述兩種方程為求軌跡的基本方法：相關(guān)點(diǎn)及參數(shù)法.（2）待定系數(shù)法——把方程（組）帶進(jìn)幾何

當(dāng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是所學(xué)過(guò)的曲線(xiàn)方程時(shí)，則可設(shè)出含有待定系數(shù)的方程，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，確定待定系數(shù)，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.其基本思路是：先定性，再定型，最終定量.

求經(jīng)過(guò)兩圓x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線(xiàn)x－y－4=0上的圓的方程.

22??x??1?x??6?x?y?6x?4?0解方程組?得?或?

22y?3y??2???x?y?6y?28?0?∴兩圓交點(diǎn)為(－1，3)，(－6，－2).

設(shè)所求圓方程為：x2＋y2＋dx＋ey＋f=0

??(?1)2?32?d?3e?f?0?d??1?????(?6)2?(?2)2?6d?2e?f?0??e?7∴所求圓方程為：x2＋y2－x＋

?d?f??32e??????????4?0??2?2?7y－32=0.

22??x??1?x??6?x?y?6x?4?0解方程組?得?或?

22??y??2?x?y?6y?28?0?y?3∴兩圓交點(diǎn)為(－1，3)，(－6，－2).設(shè)所求圓方程為：(x－a)2＋(y－b)2=r2

1?a??2?(?1?a)2?(3?b)2?r2??7????(?6?a)2?(?2?b)2?r2??b??∴所求圓方程為：x2＋y2－x＋7y－

2?a?b?4?0???2178??r?4?32=0.

設(shè)所求圓方程為：x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2+6y－28)=0即：

66?4?28?x?y??01??1??1??33???∴圓心為??,??又∵圓心在直線(xiàn)x－y－4=0上∴

1??1????33????4?0∴λ=－71??1??x2?y2?∴所求圓方程為：x2＋y2－x＋7y－32=0（3）幾何法——與向量或三角溝通

直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)計(jì)算，運(yùn)用弦心距(即圓心到直線(xiàn)的距離)、弦半徑及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算，此公式是

半徑2=弦心距2+半弦長(zhǎng)2.

5

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，－3）為△OAB的直角頂點(diǎn).已知

|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.（1）求向量AB的坐標(biāo)；（2）求圓x2?6x?y2?2y?0關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)的圓

的方程；（1）設(shè)

??u2?v2?1?|AB|?2|OA|AB?(u,v),則由、,即????|AB|?|OA|?0?4u?3v?0,?0得

0?u?6?u??6,或?.由于OB?OA?AB?{u?4,v?3},?v?8?v??81x.2所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.

（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直線(xiàn)OB方程：y?由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圓心（3，－1），半徑為10.設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x,y）則

y?1?x?3?2??0??x?1?22,得,故所求圓的方程為(x－1)2+(y－3)2=10.???y?3?y?1??2??x?3（4）參數(shù)法——與函數(shù)或不等式接軌

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）直接找不出坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系時(shí)，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿(mǎn)足關(guān)于參數(shù)t的方程

?x?x(t)（t是參數(shù)）③?y?y(t)?則由方程組③消去參數(shù)t，即求得動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的普通方程：f(x,y)=0.點(diǎn)P（x，y）在圓C：x2+y2-2x-2y+1=0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A（2，2），B（2，-2）是平面上兩點(diǎn)，求AP?BP的最值.

∵AP?(x?2,y?2),BP??x?2,y?2?,

∴AP?BP=?x?2,y?2???x?2,y?2???x?2???y?2??y?2??x2?y2?4x

2設(shè)x2+y2+4x=k，即（x+2）2+y2=4+k，視為以K（-2，0）為圓心，4?k為半徑.(問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求半徑的取值范圍)

∵x、y在圓?x?1???y?1??1上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)K（-2，0）在圓C外，

2222又兩圓心距為(?1?2)?(?1)?10

當(dāng)圓K與圓C內(nèi)切時(shí)4?k取最大值，最大值為10+1，此時(shí)k=（10+1）

2

-4=7+210.

當(dāng)圓K與圓C外切時(shí)4?k取最小值，此時(shí)有4?k+1=10，k?7?210.即x2+y2+4x的最大值為7+210，最小值為7?210.

6

習(xí)題精選精講圓標(biāo)準(zhǔn)方程

已知圓心C(a,b)和半徑r，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2；已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2，即得圓心C(a,b)和半徑r，進(jìn)而可解得與圓有關(guān)的任何問(wèn)題.

一、求圓的方程

例1(06重慶卷文)以點(diǎn)(2,?1)為圓心且與直線(xiàn)3x?4y?5?0相切的圓的方程為()

(A)(x?2)2?(y?1)2?3(B)(x?2)2?(y?1)2?3

(C)(x?2)2?(y?1)2?9(D)(x?2)2?(y?1)2?9解已知圓心為(2,?1)，且由題意知線(xiàn)心距等于圓半徑，即d?∴所求的圓方程為(x?2)2?(y?1)2?9，應(yīng)選(C).

點(diǎn)評(píng)：一般先求得圓心和半徑，再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a)2?(y?b)2?r2即得圓的方程.

二、位置關(guān)系問(wèn)題例2(06安徽卷文)直線(xiàn)x?y?1與圓x2?y2?2ay?0(a?0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是()

(A)(0,2?1)(B)(2?1,2?1)(C)(?2?1,2?1)(D)(0,2?1)

解化為標(biāo)準(zhǔn)方程x?(y?a)?a，即得圓心C(0,a)和半徑r?a.

2226?4?53?422?3?r，

2a2?2a?1?2a2，解得?2?1?a?2?1，注意到a?0，∴0?a?2?1，故

選(A).

點(diǎn)評(píng)：一般通過(guò)比較線(xiàn)心距d與圓半徑r的大小來(lái)處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：d?r?線(xiàn)圓相離；d?r?線(xiàn)圓相切；d?r?線(xiàn)圓相交.

三、切線(xiàn)問(wèn)題

例3(06重慶卷理)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x?y?4x?2y?為()

22∵直線(xiàn)x?y?1與已知圓沒(méi)有公共點(diǎn)，∴線(xiàn)心距d?a?1?r?a，平方去分母得

5?0相切的直線(xiàn)方程211x(B)y?3x或y??x3311(C)y??3x或y??x(D)y?3x或y?x

335522解化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x?2)?(y?1)?,即得圓心C(2,?1)和半徑r?.

22設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y?kx，即kx?y?0，∴線(xiàn)心距

(A)y??3x或y?7

d?2k?1k2?1?r?51，平方去分母得(3k?1)(k?3)?0，解得k??3或，∴所求23的切線(xiàn)方程為y??3x或y?半徑來(lái)處理切線(xiàn)問(wèn)題.

四、弦長(zhǎng)問(wèn)題

1x，應(yīng)選(A).3點(diǎn)評(píng)：一般通過(guò)線(xiàn)心距d與圓半徑r相等和待定系數(shù)法，或切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的

例4(06天津卷理)設(shè)直線(xiàn)ax?y?3?0與圓(x?1)2?(y?2)2?4相交于

A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為23，則a?.

22解由已知圓(x?1)?(y?2)?4，即得圓心C(1,2)和半徑r?2.

a?12AB2222)?r，∴(∵線(xiàn)心距d?，且d?(，即)?(3)?2222a?1a?1(a?1)2?a2?1，解得a?0.

點(diǎn)評(píng)：一般在線(xiàn)心距d、弦長(zhǎng)AB的一半和圓半徑r所組成的直角三角形中處理弦長(zhǎng)

AB22)?r2.問(wèn)題：d?(22a?1五、夾角問(wèn)題

例5(06全國(guó)卷一文)從圓x?2x?y?2y?1?0外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線(xiàn)，則兩切線(xiàn)夾角的余弦值為()

22133(B)(C)(D)025222解已知圓化為(x?1)?(y?1)?1，即得圓心C(1,1)和半徑r?1.

設(shè)由P(3,2)向這個(gè)圓作的兩條切線(xiàn)的夾角為?，則在切線(xiàn)長(zhǎng)、半徑r和PC構(gòu)成的

(A)

直角三角形中，cos?225點(diǎn)評(píng)：處理兩切線(xiàn)夾角?問(wèn)題的方法是：先在切線(xiàn)長(zhǎng)、半徑r和PC所構(gòu)成的直角

?2，∴cos??2cos2??1?3，應(yīng)選(B).5三角形中求得

?的三角函數(shù)值，再用二倍角公式解決夾角?問(wèn)題.222六、圓心角問(wèn)題

例6(06全國(guó)卷二)過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線(xiàn)l將圓(x?2)?y?4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線(xiàn)l的斜率k?.

22解由已知圓(x?2)?y?4，即得圓心C(2,0)和半徑r?2.

設(shè)P(1,2)，則kPC??2；∵PC?直線(xiàn)l時(shí)弦最短，從而劣弧所對(duì)的圓心角最小，∴直線(xiàn)l的斜率k??1kPC?2.28

點(diǎn)評(píng)：一般利用圓心角及其所對(duì)的弧或弦的關(guān)系處理圓心角問(wèn)題：在同圓中，若圓

心角最小則其所對(duì)的弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)也最短，若弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)最短則所對(duì)的圓心角也最小.

七、最值問(wèn)題例7(06湖南卷文)圓x2?y2?4x?4y?10?0上的點(diǎn)到直線(xiàn)x?y?14?0的最大距離與最小距離的差是()

(A)30(B)18(C)62(D)52

解已知圓化為(x?2)2?(y?2)2?18，即得圓心C(2,2)和半徑r?32.

設(shè)線(xiàn)心距為d，則圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)x?y?14?0的最大距離為d?r，最小距離為

d?r，∴(d?r)?(d?r)?2r?62，應(yīng)選(C).

點(diǎn)評(píng)：圓上一點(diǎn)到某直線(xiàn)距離的最值問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為線(xiàn)心距d與圓半徑r的關(guān)系解決：圓上的點(diǎn)到該直線(xiàn)的最大距離為d?r，最小距離為d?r.

八、綜合問(wèn)題

例8(06湖南卷理)若圓x?y?4x?4y?10?0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)

22l:ax?by?0的距離為22，則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是()

???5????](C)[,](D)[0,](A)[,](B)[,124121263222解已知圓化為(x?2)?(y?2)?18，即得圓心C(2,2)和半徑r?32.

∵圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)l:ax?by?0的距離為22，∴

a?r?22?2，即a2?4ab?b2?0，由直線(xiàn)l的斜率k??代入

ba2?b2?5?2?2?3，tan?2?3，得k?4k?1?0，解得2?3?k?2?3，又tan1212?5?]，應(yīng)選(B).∴直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是[,1212d?2a?2b點(diǎn)評(píng)：處理與圓有關(guān)的任何問(wèn)題總是先通過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而以“圓心半徑線(xiàn)心距〞的七字歌得到正確而迅速地解決.經(jīng)過(guò)兩已知圓的交點(diǎn)的圓系

例1．求經(jīng)過(guò)兩已知圓：x?y?4x?6?0和x?y?4y?6?0的交點(diǎn)且圓心的橫

坐標(biāo)為3的圓的方程。

解：設(shè)經(jīng)過(guò)兩已知圓交點(diǎn)的圓系的方程為：

x?y?4x?6??(x?y?4y?6)?0（??-1）

22222222221，令=3得???1??1??312222∴所求圓的方程為：x?y?4x?6?(x?y?4y?6)?0即

322x?y?6x?2y?6?0

其圓心的橫坐標(biāo)為：x?例2．設(shè)圓方程為：

(??4)x?(??4)y?(2??4)x?(12??40)y?48??164?0其中??－4求證：不管?為何值，所給圓必經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)。

9

22證明：把所給方程寫(xiě)為：

4(x2?y2?x?10y?41)??(x2?y2?2x?12y?48)?0

這是經(jīng)過(guò)以下兩個(gè)圓的交點(diǎn)的圓系的方程：

x2?y2?x?10y?41?0x2?y2?2x?12y?48?0所以，不管?為何值，所給圓必經(jīng)過(guò)這兩個(gè)圓的兩

個(gè)交點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)

軸對(duì)稱(chēng)是解析幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，利用它不僅可以解決點(diǎn)、線(xiàn)、曲線(xiàn)等關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，而且還可以解決諸如最值、光線(xiàn)反射、角平分線(xiàn)等問(wèn)題，并且常得到意想不到的效果。本文將以數(shù)例來(lái)談?wù)勊膽?yīng)用。

例1、已知點(diǎn)A(4,1)，B(0,4)，在直線(xiàn)L：y=3x-1上找一點(diǎn)P，求使|PA|-|PB|最大時(shí)P的坐標(biāo)。

分析：此題的常規(guī)方法是：（1）設(shè)點(diǎn)（2）列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（3）求解。但此題若這樣做，則就會(huì)走入死胡同。若巧妙利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)則可

y以輕松解決。

解：如圖，設(shè)點(diǎn)C(x,y)是點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則由kl?3，得：P1kBC??，

3∴直線(xiàn)BC的方程為：y??D?(0,4)B1x?4，將其與直線(xiàn)y=3x-1聯(lián)立，解得：3oP'CA(4,1)x?37?。,?,其中D為BC中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得C（3,3）

22??顯然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,當(dāng)且僅當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA|-|PB|最大。可求得：直線(xiàn)AC方程為：2x?y?9?0，與L方程聯(lián)立解得P的坐標(biāo)為（2,5）。例2、光線(xiàn)由點(diǎn)C（3，3）出發(fā)射到直線(xiàn)L：y=3x-1上，已知其被直線(xiàn)L反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1)，求反射光線(xiàn)方程。

y解：設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則由光線(xiàn)反射的知識(shí)易知：點(diǎn)B在

反射光線(xiàn)上，故所求的反射光線(xiàn)的方程即為直線(xiàn)AB所在的直線(xiàn)方程。由例1知點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B（0,4），故直線(xiàn)AB的方程易求得為：y??3x?4。它即為反射光線(xiàn)方程。4(0,4)B例3、已知ΔABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，∠B、∠C的平分線(xiàn)的分別方程為

x?2y?0和x?y?1?0，求BC所在的直線(xiàn)方程。

PoCA(410

分析：此題的常規(guī)思路是利用L1到L2的角的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，但較繁，若能注意到角平分線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)，則可簡(jiǎn)捷求解。

解：設(shè)∠B、∠C的平分線(xiàn)分別為L(zhǎng)1、L2,則由角平分線(xiàn)的知識(shí)可知：AB與CB關(guān)于L1對(duì)稱(chēng)，AC與BC關(guān)于L2對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)A關(guān)于L1、L2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、A2都應(yīng)當(dāng)在直線(xiàn)BC上，故BC所在的直線(xiàn)方程即為A1A2所在的直線(xiàn)方程。

198,?),A2(?3,0)（過(guò)程略）55于是BC方程可求得為：4x?17y?12?0

利用對(duì)稱(chēng)性可求得：A1(直線(xiàn)和圓

1．自點(diǎn)（－3，3）發(fā)出的光線(xiàn)L射到x軸上，被x軸反射，其反射線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓

x2?y2?4x?4y?7?0相切，求光線(xiàn)L所在直線(xiàn)方程．

解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)＋(y－2)＝1，它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圓的方程是(x－2)＋

2

(y＋2)＝1。

設(shè)光線(xiàn)L所在直線(xiàn)方程是：y－3＝k(x＋3)。

由題設(shè)知對(duì)稱(chēng)圓的圓心C′（2，－2）到這條直線(xiàn)的距離等于1，即d?2整理得12k?25k?12?0,解得k??2

2

2

|5k?5|1?k2?1．

34或k??．故所求的直線(xiàn)方程是4334y?3??(x?3)，或y?3??(x?3)，

43即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．

2．已知圓C：x?y?2x?4y?4?0，是否存在斜率為1的直線(xiàn)L，使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在求出直線(xiàn)L的方程，若不存在說(shuō)明理由．（14分）

．解：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x?1)2?(y?2)2?32假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）

由于CM⊥L，∴kCM?kL=－1∴kCM=b?2??1，即a+b+1=0，得b=－a－1①

a?122直線(xiàn)L的方程為y－b=x－－，即x－y+b－a=0∴CM=b?a?3∵以AB為直徑

2的圓M過(guò)原點(diǎn)，∴MA?MB?OMMB2?CB2?CM2?9?(b?a?3)，

2OM22?a2?b2

(b?a?3)2∴9??a2?b2②把①代入②得2a2?a?3?0，∴

23a?或a??1

2當(dāng)a?3,時(shí)b??5此時(shí)直線(xiàn)L的方程為：x－y－4=0；當(dāng)a??1,時(shí)b?0此時(shí)直線(xiàn)L的

22方程為：x－y+1=0

故這樣的直線(xiàn)L是存在的，方程為x－y－4=0或x－y+1=0．

3．（12分）求過(guò)點(diǎn)P（6，－4）且被圓x?y?20截得長(zhǎng)為62的弦所在的直線(xiàn)方程．

11

22解：設(shè)弦所在的直線(xiàn)方程為y?4?k(x?6)，即kx?y?6k?4?0①

則圓心（0，0）到此直線(xiàn)的距離為d?|6k?4|．

21?ky由于圓的半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距恰好構(gòu)成Rt△，所以(|6k?4|21?k代入①得切線(xiàn)方程?7x?y?6?(?7)?4?0或

1717)?(32)?20．由此解得k??227或k??1．17或

Ox?x?y?6?(?1)?4?0x?y?2?0．

4

．（

12

分

）

，已

即知

7x?17y?26?0圓

C:

P

及

直

線(xiàn)

l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4.?m?R?

?x?1?2??y?2?2?25（1）證明:不管m取什么實(shí)數(shù),直線(xiàn)l與圓C恒相交；

（2）求直線(xiàn)l與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．．解:(1)直線(xiàn)方程l:?2m?1?x??m?1?y?7m?4,可以改寫(xiě)為m?2x?y?7??x?y?4?0,所以直

線(xiàn)必經(jīng)過(guò)直線(xiàn)2x?y?7?0和x?y?4?0的交點(diǎn).由方程組??2x?y?7?0,?x?3,

解得?

?x?y?4?0?y?1

即兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為A(3,1)又由于點(diǎn)A?3,1?與圓心C?1,2?的距離d?5?5,所以該點(diǎn)在

C內(nèi),故不管m取什么實(shí)數(shù),直線(xiàn)l與圓C恒相交.

(2)連接AC,過(guò)A作AC的垂線(xiàn),此時(shí)的直線(xiàn)與圓C相交于B、D.BD為直線(xiàn)被圓所截得的

最短弦長(zhǎng).此時(shí),AC?5,BC?5,所以BD?225?5?45.即最短弦長(zhǎng)為45.又直線(xiàn)AC的斜率kAC??1,所以直線(xiàn)BD的斜率為2.此時(shí)直線(xiàn)方程

2為:y?1?2?x?3?,即2x?y?5?0.

5（12分）已知圓x2+y2+x－6y+m=0和直線(xiàn)x+2y－3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

?x2?y2?x?6y?m?0解：由y?5y2?20y?12?m?0??x?2y?3?0?y1?y2?4???12?m

y1y2??5?又OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=4m?27

5PQOx∴

4m?2712?m??0解得m=3.556.已知圓C：(x+4)+y=4和點(diǎn)A(-23，0)，圓D的圓心在y軸上移動(dòng)，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y軸交于點(diǎn)M、N.∠MAN是否為定值？若為定值，求出∠MAN的弧度數(shù)；若不為定值，說(shuō)明理由.

2

2

12

設(shè)圓D的方程為x2?(y?b)2?r2(r?0),那么M(0,b?r),N(0,b?r).

由于圓D與圓C外切,所以2?r?16?b2?b2?r2?4r?12.又直線(xiàn)MA,NA的斜率分別為kMA?b?r23,kMB?b?r23.

b?r?tan?MAN?43r43r?2323???3??MAN?.為定

b?rb?r12?b2?r24r31?2323?b?r值

7．（14分）已知圓x2?y2?x?6y?m?0和直線(xiàn)x?2y?3?0交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)．解：將x?3?2y代入方程x?y?x?6y?m?0，得5y?20y?12?m?0．

222m?12．??5∵OP⊥OQ,∴x1x2?y1y2?0,而x1?3?2y1，x2?3?2y2，∴

設(shè)P?x1,y1，Q?x2,y2，則y1,y2滿(mǎn)足條件：y1?y2?4,y1y2?x1x2?9?64．y1y2?y1??y2?15，3），半徑r?．

228．（14分）求圓心在直線(xiàn)x?y?0上，且過(guò)兩圓x2?y2?2x?10y?24?0，

∴m?3，此時(shí)Δ?0，圓心坐標(biāo)為（－

x2?y2?2x?2y?8?0交點(diǎn)的圓的方程．

解法一：（利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等求圓心）將兩圓的方程聯(lián)立得方程組

（0，2）．因所求圓心在直線(xiàn)x?y?0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為(x,?x)，則它到上面的兩上交點(diǎn)

（－4，0）和（0，2）的距離相等，故有(?4?x)2?(0?x)2?x2?(2?x)2，

即4x??12，∴x??3，y??x?3，從而圓心坐標(biāo)是（－3，3）．又r?(?4?3)2?32?10，故所求圓的方程為(x?3)?(y?3)?10．

22?x2?y2?2x?10y?24?0?22?x?y?2x?2y?8?0，解這個(gè)方程組求得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A（－4，0），B

解法二：（利用弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)圓心求圓的方程）同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂線(xiàn)為2x?y?3?0，

它與直線(xiàn)x?y?0交點(diǎn)（－3，3）就是圓心，又半徑r?10，

22故所

求圓的方程為(x?3)?(y?3)?10．解法三：（用待定系數(shù)法求圓的方程）同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A（－4，0），B（0，2）．

222設(shè)所求圓的方程為(x?a)?(y?b)?r，因兩點(diǎn)在此圓上，且圓心在x?y?013

上，所以得方

?a??3?(?4?a)2?b2?r2?222程組??a?(3?b)?r，解之得?b?3，??a?b?0??r?10故所求圓的方程為(x?3)2?(y?3)2?10．

解法四：（用“圓系〞方法求圓的方程．過(guò)后想想為什么？）設(shè)所求圓的方程為x2?y2?2x?10y?24??(x2?y2?2x?2y?8)?0(???1)，

2(1??)2(5??)8(3??)即x2?y2?可知圓心坐標(biāo)為x?y??0．

1??1??1??1??5??(,?)．1??1??

因圓心在直線(xiàn)x?y?0上，所以

1??5????0，解得???2．1??1??將

???2代入所設(shè)方程并化簡(jiǎn)，求圓的方程x2?y2?6x?6y?8?0

9．(12分)已知一個(gè)圓截y軸所得的弦為2，被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)的比為3∶１．（1）設(shè)圓心為（a，b），求實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式；（2）當(dāng)圓心到直線(xiàn)l：x－2y＝0的距離最小時(shí)，求圓的方程．

r

⑴設(shè)圓心P（a，b），半徑為r，則|b|＝，2b2＝r2．又|a|2＋1＝r2，所以a2＋1＝r2，所

2

22

以2b＝a＋1；

|a－2b|

(2)點(diǎn)P到直線(xiàn)x－2y＝0的距離d＝，5d2＝a2－4ab＋4b2≥a2＋4b2－2（a2＋b2）

5

22

＝2b－a＝1．

?a＝b，?a＝1，?a＝－1，所以?22所以?或?

?2b＝a＋1，?b＝1，?b＝－1．

所以（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2．

10已知圓C與圓x2?y2?2x?0相外切，并且與直線(xiàn)x?3y?0相切于點(diǎn)

Q(3,?3)，求圓C的方程

設(shè)圓C的圓心為

(a,b)，則

?b?3?3??a?3?a?4或?a?0???b?0?b??43?r?2或r?6a?3b???(a?1)2?b2?1??2?所以圓C的方程為(x?4)2?y2?4或x2?(y?43)2?36

11.（1997全國(guó)文，25）已知圓滿(mǎn)足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1；③圓心到直線(xiàn)l：x－2y=0的距離為

.解：設(shè)圓的方程為（x－a）2+（y－b）2=r2.令x=0，得y2－2by+b2+a2－r2=0.

14

5，求該圓的方程.5|y1－y2|=|x1－x2|=得2b2－a2=1

(y1?y2)2?4y1y2?2r2?a2=2，得r2=a2+1

①令y=0，得x2－

②由①、②，

2ax+a2+b2－r2=0，

(x1?x2)2?4x1x2?2r2?b2?2r，得r2=2b2

又由于P（a，b）到直線(xiàn)x－2y=0的距離為±1.

5|a?2b|5，得d=，即a－2b=?555?2b2?a2?1,?2b2?a2?1?a??1?a?1綜上可得?或?解得?或?于是r2=2b2=2.

?b??1?b?1?a?2b?1;?a?2b??1所求圓的方程為（x+1）2+（y+1）2=2或（x－1）2+（y－1）2=2.

12.（1997全國(guó)理，25）設(shè)圓滿(mǎn)足：（1）截y軸所得弦長(zhǎng)為2；（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1．在滿(mǎn)足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線(xiàn)l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.

.解：設(shè)所求圓的圓心為P（a，b），半徑為r，則P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.由題設(shè)圓P截x軸所得劣弧所對(duì)圓心角為90°，圓P截x軸所得弦長(zhǎng)為＝2b2，

又圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為2，所以有r2＝a2＋1，從而有2b2－a2＝1

又點(diǎn)P（a，b）到直線(xiàn)x－2y=0距離為d＝

2r，故r2

|a?2b|，5所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)5d2＝1，從而d取得最小值，由此有??a?b22?2b?a?1解方程得??a?1?a??1或?由于r2＝2b2，知r＝2，

?b?1?b??1于是所求圓的方程為（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

13.（2023北京文，16）圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線(xiàn)3x＋4y＋8＝0距離的最小值為．

.答案：2

解析：圓心到直線(xiàn)的距離d＝＝3－1＝2

圓的方程例析

.求圓心坐標(biāo)和半徑

求以下各圓的圓心坐標(biāo)和半徑:（1）x2+y2－x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a≠0）；

22

（3）x+y+2ay－1=0.

我們先配方得標(biāo)準(zhǔn)方程，然后寫(xiě)出圓心坐標(biāo)及半徑.解：（1）配方

15

|3?4?8|＝3∴動(dòng)點(diǎn)Q到直線(xiàn)距離的最小值為d－r

5

∴圓心為半徑為r=.

（注意：這里字母

（2）配方得（x+a）2+y2=a2，∴圓心為（-a，0），半徑為r=a不知道正負(fù)，而半徑為正值，所以要加絕對(duì)值）.

（3）配方得x2+（y+a）2=1+a2，∴圓心為（0，-a），半徑為r=

22

探討方程x+y+2ay+1=0（a∈R）表示曲線(xiàn)的形狀.

解：配方得x2+（y+a）2=a2-1，當(dāng)a1時(shí)，此方程表示的曲線(xiàn)是圓心為（0，-a），半徑為r=的圓；當(dāng)a=±1時(shí)，此方程表示的曲線(xiàn)是一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，-a）；當(dāng)-12.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，－3）和B（－2，－5），且圓心在直線(xiàn)l：x－2y－3＝0上，求此圓的方程.

求圓的方程，需要確定圓心和半徑，我們可以先設(shè)定圓心的坐標(biāo)，再利用它到A、B兩點(diǎn)的距離相等來(lái)確定，從而求得圓的方程.解：設(shè)點(diǎn)C為圓心，∵點(diǎn)C在直線(xiàn)l：x－2y－3＝0上，

∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a＋3，a）.又∵該圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，∴

|CA|=|CB|.解得a＝－2，

∴圓心坐標(biāo)為C（－1，－2），半徑r＝.

22

故所求圓的方程為（x＋1）＋（y＋2）=10.3.求圓的一般方程

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－1，5）、B（－2，－2）、C（5，5），求其外接圓的方程.

此題與圓心坐標(biāo)和半徑?jīng)]有關(guān)系，我們選用圓的一般式方程即可.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在其外接圓上，所以可以聯(lián)立方程組，從而求得圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由題意得方程組解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝-20.∴△ABC的

22

外接圓方程為x＋y－4x－2y-20=0.

通過(guò)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們要把握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地求出它的圓心和半徑；把握?qǐng)A的一般方程及圓的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑

如何確定圓的方程已知兩點(diǎn)P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2為直徑的圓的方程.

根據(jù)已知條件，我們需要求出圓的圓心位置，又由點(diǎn)P1P2的坐標(biāo)已知，且P1P2為所求圓的直徑，所以圓的半徑很簡(jiǎn)單求出，這是常規(guī)的解法，如下面解法1所示，另外還有一些其它的解法，我們大家一起來(lái)欣賞：

16

解法1：設(shè)圓心為C（a，b）、半徑為r.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得a＝＝6.∴C（5，6），再由兩點(diǎn)間距離公式，得

＝5，b＝

∴所求的圓的方程為（x－5）2＋（y－6）2

＝10.解法2：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，且圓的直徑的兩端點(diǎn)為P1（4，9）、P2（6，3），∴圓的方程為（x－4）（x－6）＋（y－9）（y－3）＝0，

22

化簡(jiǎn)得（x－5）＋（y－6）＝10，即為所求.

解法3：設(shè)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn).由圓的性質(zhì)有三角形PP1P2為直角三角形，

∴（x－4）＋（y－9）2＋（x－6）2＋（y－3）2＝（4－6）2＋（9－3）2，化簡(jiǎn)得x2＋y2－10x－12y＋51＝0.

∴（x－5）2＋（y－6）2＝10，即為所求的圓的方程.解法4：設(shè)P（x，y）是圓上不同于P1、P2的任意一點(diǎn).∵直徑上的圓周角為直角，∴PP1⊥PP2.（1）當(dāng)PP1、PP2的斜率都存在時(shí)，

2

（2）當(dāng)PP1、PP2的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，PP1、PP2的方程為x＝4或x＝6，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，3）或（6，9），均滿(mǎn)足方程（*）.又P1（4，9）、P2（6，3）也滿(mǎn)足方程（*），

2

所以，所求圓的方程為（x－5）＋（y－6）2＝10.

此題我們分別采用了4種解法求解，其中解法2技巧性最強(qiáng)；解法3主要是運(yùn)用了“圓中直徑所對(duì)的圓周角是90°〞這一結(jié)論；解法4是通過(guò)直線(xiàn)的斜率來(lái)求.不同的方法極大地開(kāi)闊了我們的思路圓的切線(xiàn)方程

在直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中，求過(guò)定點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程問(wèn)題是一類(lèi)很重要的題型.我們都知道有這樣的結(jié)論：過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)A（x0，y0）的切線(xiàn)方程為xx0＋yy0＝r2，那么你知道在運(yùn)用這個(gè)結(jié)論的時(shí)候要注意些什么嗎？

求過(guò)點(diǎn)A（2，1）向圓x2＋y2＝4所引的切線(xiàn)方程.解法一：設(shè)切點(diǎn)為B（x0，y0），則x02＋y02＝4，過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝4.

又點(diǎn)A（2，1）在切線(xiàn)上，∴2x0＋y0＝4.

將x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切線(xiàn)方程為x＝2或3x＋4y－10＝0.

解法二：設(shè)切線(xiàn)方程為y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.∵圓心（0，0）到切線(xiàn)的距離是2，

17

∴＝2，解得k＝－.∴所求切線(xiàn)方程為－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，方程為x＝2，也滿(mǎn)足條件.故所求圓的切線(xiàn)方程為3x＋4y－10＝0或x＝2.

解法三：設(shè)切線(xiàn)方程為y－1＝k（x－2）與方程x2＋y2＝4聯(lián)立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.

∵直線(xiàn)與圓相切，上述方程只能有一個(gè)解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.

∴所求切線(xiàn)方程為y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.又過(guò)點(diǎn)A（2，1）與x軸垂直的直線(xiàn)x＝2也與圓相切.

故圓的切線(xiàn)方程為3x＋4y－10＝0或x＝2.

求過(guò)定點(diǎn)的圓的切線(xiàn)問(wèn)題，應(yīng)首先判斷該點(diǎn)是否在圓上，若點(diǎn)在圓x2＋y2＝r2上，則可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）為切點(diǎn)），類(lèi)似的可以求出過(guò)圓（x

222

－a）＋（y－b）＝r上一點(diǎn)A（x0，y0）的切線(xiàn)方程為（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y

2

－b）＝r；若點(diǎn)在圓外，則所求切線(xiàn)必有兩條，此時(shí)可設(shè)切線(xiàn)方程，用待定系數(shù)法求斜率k.假使關(guān)于k的方程只有一個(gè)解，則另一條切線(xiàn)的斜率必不存在，應(yīng)當(dāng)將該直線(xiàn)補(bǔ)上.大家做題的時(shí)候必需依照我們所講的認(rèn)真求解，稍有馬虎就可能造成一些不必要的錯(cuò)誤.就此題而言，可能出現(xiàn)的錯(cuò)解1：由過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)A（x0，y0）的切線(xiàn)方程為xx0＋yy0＝r2.從而直接得出切線(xiàn)方程為2x＋y＝4.出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是憑直觀經(jīng)驗(yàn)，誤認(rèn)為點(diǎn)A（2，1）在圓上；錯(cuò)解2：設(shè)切線(xiàn)方程為y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圓心（0，0）到切線(xiàn)的距離是2得，

＝2，解得k＝－，故所求切

線(xiàn)方程為－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.這里出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因主要是考慮問(wèn)題不周全，漏掉了直線(xiàn)斜率不存

例題】求半徑為4，與圓x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直線(xiàn)y＝0相切的圓的方程．錯(cuò)解1：由題設(shè)，所求圓與直線(xiàn)y＝0相切且半徑為r=4，則設(shè)所求圓的圓心為（a，4）.又已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圓心（2，1），半徑R＝3．

（1）若兩圓外切，則圓心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，∴所求圓方程為：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.

（2）若兩圓內(nèi)切，則圓心距＝|Ｒ-r|＝4－3＝1．∴（a－2）2＋（4－1）2＝1，這個(gè)方程無(wú)解．故探討（1）中，兩個(gè)方程均是所求圓的方程．

錯(cuò)解2：由題設(shè)，所求圓與直線(xiàn)y＝0相切且半徑為r=4，則設(shè)所求圓的圓心為（a，±4）.

又已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為：（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圓心（2，1），半徑R＝3．

由于兩圓相切，則圓心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）2+（4-1）2=72，得a=2±2，

222

或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2.

18

∴所求圓方程為：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16或（x-2+2）2+（y＋4）2=16.

此題簡(jiǎn)單出錯(cuò)的有兩個(gè)地方：其一是只考慮了所求圓的圓心在x軸（y＝0）上方，疏忽了圓心在直線(xiàn)y＝0下方的可能，遺下了漏解的隱患，如錯(cuò)解1．其二，只考慮了兩圓外切，沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的狀況，解題是不嚴(yán)密的，如錯(cuò)解2．因此在審題、解題時(shí)，一定要全面、細(xì)致地分析研究，努力戰(zhàn)勝馬虎大意、主觀片面．正解：由題設(shè)，所求圓與直線(xiàn)y＝0相切且半徑為r=4，則設(shè)所求圓的圓心為（a，±4）.又已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為：

（x－2）2＋（y－1）2＝9，其圓心（2，1），半徑R＝3．

22

（1）若兩圓外切，則圓心距＝r＋R＝4＋3＝7．即（a-2）+（4-1）=72，得a=2±2，

222

或（a-2）+（-4-1）=7，得a=2±2.∴所求圓方程為：（x-2-2）2+（y-4）2=16或（x-2+2）2+（y-4）2=16.或（x-2-2）2+（y＋4）2=16.或（x-2+2）2+（y＋4）2=16.

（2）若兩圓內(nèi)切，則圓心距＝R-r＝4－3＝1．∴（a－2）2＋（4－1）2＝1，或（a－2）2＋（－4－1）2＝1，這兩個(gè)方程都無(wú)解．故探討（1）中，4個(gè)方程均是所求圓的方程

正確判斷兩圓的位置關(guān)系

已知兩圓C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.

要判斷兩圓的位置關(guān)系，我們尋常有兩種方法：一種是判斷兩圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，假使它們有兩個(gè)交點(diǎn)，則相交；有一個(gè)交點(diǎn)則外切或內(nèi)切；沒(méi)有交點(diǎn)則相離或內(nèi)含.另一種是通過(guò)兩圓連心線(xiàn)的長(zhǎng)與兩半徑的和或兩半徑差的絕對(duì)值的大小關(guān)系，來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系.

解法一：將兩圓的方程聯(lián)立得，

由（1）－（2）得x＋2y＋1＝0（3）由（3）得x＝－2y－1，把此式代入（1），

2

并整理得y－1＝0（4）方程（4）的判別式Δ＝02－4×1×（－1）＝4＞0，

所以，方程（4）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根y1，y2，把y1，y2分別代入方程（3），得到x1，x2.

因此圓C1與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即兩圓是相交的位置關(guān)系.

解法二：把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式為（x＋2）2＋（y＋2）2＝10，圓C1的圓心坐標(biāo)為（－2，－2），半徑長(zhǎng)r1＝.

22

把圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式為（x－1）＋（y－4）＝25.圓C2的圓心坐標(biāo)為（1，4），半徑長(zhǎng)r2＝5.

圓C1和圓C2的連心線(xiàn)的長(zhǎng)為：

圓C1與圓C2的兩半徑之和是r1＋r2＝5＋

，兩半徑之差r2－r1＝5－

.

而5－＜3＜5＋.即r2－r1＜3＜r1+r2.

在解法1中，我們只要判斷出圓C1與圓C2有幾個(gè)公共點(diǎn)即可，不需要求

19

出公共點(diǎn)的具體坐標(biāo)，也就是說(shuō)只需要判斷出方程（4）的判別式大于0，而不需要求解方程

直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系解析

假使曲線(xiàn)C：x2+（y+1）2=1與直線(xiàn)x+y+a=0有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

通過(guò)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系來(lái)求其中所含參數(shù)的取值范圍，下面我們分別從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)求.

解法一：（代數(shù)法）由

消去y得2x2+2（a-1）x+a2-2a=0，

≤a≤1+

.

由Δ=4（a-1）2-8（a2-2a）≥0，即（a－1）2≤2得1-

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-≤a≤1+.解法二：（幾何法）圓C與直線(xiàn)x+y+a=0有公共點(diǎn)，圓心（0，－1）到直線(xiàn)的距離不大于半徑，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-≤a≤1+.

直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法有：①代數(shù)法：利用二次方程的判別式判斷；②幾何法：依據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小關(guān)系判斷.

直線(xiàn)2x－y＋1＝0與圓O∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系是（）.A．相切B．相交且過(guò)圓心C．相離D．相交不過(guò)圓心

要想確定一條直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，我們需要得出圓心到直線(xiàn)的距離與圓半徑的大小關(guān)系.所以將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：圓O∶（x+1）2+（y-3）2=36.圓心為（－1，3），半徑為r＝6，圓心到直線(xiàn)的距離為d＝

從而知0＜d＜r，所以直線(xiàn)與圓相交但不過(guò)圓心.故正確答案為D

求圓的切線(xiàn)方程的幾種方法

在高中數(shù)學(xué)人教版其次冊(cè)第七章《圓的方程》一節(jié)中有一例題：求過(guò)已知圓上一

點(diǎn)的切線(xiàn)方程，除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。

例：已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線(xiàn)的方程。

解法一：利用斜率求解

20

15．（Ⅰ）∵kAB??2,AB?BC,

22,∴BC:y?x?22.22（Ⅱ）在上式中，令y?0,得：C(4,0),∴圓心M(1,0),．又∵AM?3,．∴外接

∴kCB?（Ⅲ）∵P(?1,0),M(1,0),∵圓N過(guò)點(diǎn)P(?1,0),，∴PN是該圓的半徑，又∵動(dòng)圓

圓的方程為(x?1)2?y2?9.

N與圓M內(nèi)切，∴MN?3?PN,即MN?PN?3,．

∴點(diǎn)N的軌跡是以M，P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓．∴a?3，c?1，25x2y2?1．b?a?c?,∴軌跡方程為?954442211．用一些棱長(zhǎng)是1cm的小正方體碼放成一個(gè)幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主視

圖，則這個(gè)幾何體的體積最多是▲cm3．

圖1（俯視圖）圖2（主視圖）

第11題圖

15．（本小題總分值14分）

如圖，已知圓心坐標(biāo)為M(3,1)的圓M與x軸及直線(xiàn)y?3x均相切，切點(diǎn)分別為

A、B，另一圓N與圓M、x軸及直線(xiàn)y?3x均相切，切點(diǎn)分別為C、D．（1）求圓M和圓N的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)MN的平行線(xiàn)l，求直線(xiàn)l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度．

yDN

B

M

OCAx15．（本小題總分值14分）

解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半徑，則M在∠BOA的平分線(xiàn)上，同理，N也在∠BOA的平分線(xiàn)上，即O，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，且OMN為∠BOA的平分線(xiàn)，∵M(jìn)的坐標(biāo)為(3,1)，∴M到x軸的距離為1，

26

即⊙M的半徑為1，則⊙M的方程為(x?3)2?(y?1)2?1，設(shè)⊙N的半徑為r，其與x軸的的切點(diǎn)為C，連接MA、MC，

由Rt△OAM∽R(shí)t△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即

r1??r?3，則3?rrOC=33，則⊙N的方程為(x?33)2?(y?3)2?9；

（2）由對(duì)稱(chēng)性可知，所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)A點(diǎn)直線(xiàn)MN的平行線(xiàn)被⊙N截得的弦的長(zhǎng)度，

33即：圓心N到該直線(xiàn)的距離d=，(x?3)，x?3y?3?0，

3233則弦長(zhǎng)=2r2?d2?33．另解：求得B（，再得過(guò)B與MN平行的直線(xiàn)方,）

223程x?3y?3?0，圓心N到該直線(xiàn)的距離d?=，則弦長(zhǎng)=2r2?d2?33．

2此弦的方程是y?（也可以直接求A點(diǎn)或B點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離，進(jìn)而求得弦長(zhǎng)）

27

如圖1，設(shè)切線(xiàn)的斜率為k，則k?kOM??1.?ky0OM?,?k??x0x0y0經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的切線(xiàn)方程是：y?y?x00?y(x?x0)0整理得x?y2y20x0y?x0?0.由于點(diǎn)M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線(xiàn)方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí)上面方程同樣適用。解法二：利用向量求解

如圖2，設(shè)切線(xiàn)上的任意一點(diǎn)p的坐標(biāo)?x,y?∵OM?PM，OM?（x0,y0),PM?(x0?x,y0?y)?OM?PM?0?x0?（x0?x）?y0?(y0?y)?0整理得：x?y220x0y?x0?y0.由于點(diǎn)M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線(xiàn)方程為：x0x?y0y?r2.（這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不用考慮直線(xiàn)的斜率存不存在）

解法三：利用幾何特征求解

如圖2，設(shè)直線(xiàn)上不同于M(x0,y0)的一點(diǎn)P(x,y)∵OM?PM

?OM2?PM2?OP2?x20?y20?(x?x0)2?(y?y0)2?x2?y2整理得：x?y2y20x0y?x0?0.由于點(diǎn)M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線(xiàn)方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)P和M重合時(shí)上面方程同樣適用。解法四：用待定系數(shù)法求解1、利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求解

設(shè)所求直線(xiàn)方程的斜率為k,則直線(xiàn)方程為：y?y0?k(x?x0),即：kx?y?y0?kx0?0⑴原點(diǎn)O(0,0)到切線(xiàn)的距離等于半徑y(tǒng)0?kx01?k2?r化簡(jiǎn)整理得：(r2?x2k?r2?y20)k2?2x0y00?0⑵由于x20?y220?r所以⑵式可化為：y2?2xx20k20y0k?0?0解得：k??x0y代入⑴式0整理得x220x?y0y?x0?y0.由于點(diǎn)M在圓上，所以x220?y0?r2.所求的直線(xiàn)方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)斜率不存在時(shí)上面方程同樣適用。2、利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求解：

21

圖1

圖2

設(shè)所求直線(xiàn)方程的斜率為k,則直線(xiàn)方程為：y?y0?k(x?x0),即：kx?y?y0?kx0?0（1）?kx?y?y0?kx0?0由?2消去y得22?x?y?r(1?k2)x2?2k(y0?kx0)x?y0?k2x0?2ky0x0?r2?0??4k2(y0?kx0)2?4(1?k2)(y0?k2x0?2ky0x0?r2)?0整理得：(r2?x0)k2?2x0y0k?r2?y0?0⑵由于x0?y0?r2所以⑵式可化為：y0k2?2x0y0k?x0?0解得：k??x0代入⑴式y(tǒng)0222222222222整理得x0x?y0y?x0?y0.22由于點(diǎn)M在圓上，所以x0?y0?r2.

所求的直線(xiàn)方程為：x0x?y0y?r2.當(dāng)斜率不存在時(shí)上面方程同樣適用。

這是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程的求法，若圓心不在原點(diǎn)，也可以用這些方法求解。

同樣一道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上的幾種解法中，用向量法和幾何特征求解相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單一些。實(shí)際上在圓這一章，好多時(shí)候用幾何特征求解圓的方程和直線(xiàn)方程是教簡(jiǎn)單的方法，同學(xué)們下來(lái)可以嘗試。

巧構(gòu)思妙解題

解題不可只是下苦功夫，要?jiǎng)狱c(diǎn)腦筋、施點(diǎn)小計(jì)，才能使題目得以迎刃而解。本文就直線(xiàn)與圓的問(wèn)題舉數(shù)例說(shuō)明。

例1.已知兩點(diǎn)A(?2，0)，B(0，2)，點(diǎn)C是圓x2?y2?2x?0上的任意一點(diǎn)，則?ABC的面積最小值是_________.

分析：簡(jiǎn)單先想到假設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)，求點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離，然后將三角形面積化成函數(shù)來(lái)求最小值。想法當(dāng)然不錯(cuò)，但繁而不巧，細(xì)心想一想，便可知AB的長(zhǎng)為定值。只需點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離最小，即圓心到直線(xiàn)AB的距離與半徑的差，這樣可以輕松求出答案為：3?2.

例2.過(guò)點(diǎn)A(3，1)和B(1，3)，圓心在直線(xiàn)2x?y?0上的圓的方程為_(kāi)________.分析：若先假設(shè)圓的方程，再根據(jù)已知條件求出圓的方程，此法可行，但運(yùn)算不簡(jiǎn)單，實(shí)際上，圓心除了在已知直線(xiàn)2x?y?0上，還在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，簡(jiǎn)單求出圓心是（0，0），圓的方程即：x?y?10.

222例3.已知直線(xiàn)l：x?y?2?0與圓C：x?y?4ax?2ay?4a?0，設(shè)d是圓

22C上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，且圓C上有兩點(diǎn)使d取得最大值，則此時(shí)a?_______，d?______.

分析：只有直線(xiàn)過(guò)圓心時(shí)，圓上才能有兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)到此直線(xiàn)的距離最大，其距離即半徑。這樣將圓心坐標(biāo)(?2a，a)代入直線(xiàn)l的方程即可求得a??2，所以圓半徑即所求的d?2.

例4.直線(xiàn)a?x?1??b?y?1??0與圓x?y?2的位置關(guān)系是_________.

22分析：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(?1，?1)，此點(diǎn)在圓上，過(guò)圓上一點(diǎn)的直線(xiàn)與圓有一個(gè)或兩個(gè)

22

交點(diǎn)，故應(yīng)當(dāng)填：相交或相切。

例5.在直角坐標(biāo)系中，射線(xiàn)OA，OB的方程是x?y?0(x?0)，x?y?0(x?0)。動(dòng)點(diǎn)P在?AOB內(nèi)部，且點(diǎn)P到?AOB兩邊的距離的平方差的絕對(duì)值等于1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（）

1A.xy?.B.

21xy?.C.

2