基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則(復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù))課件

3.2.2

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則（二）1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：2.導(dǎo)數(shù)的運算法則1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)

±g(x)′;2.[f(x).g(x)]′=f′(x)

g(x)+f(x)g(x)′;如何求函數(shù)y=㏑（3x+2）的導(dǎo)數(shù)呢？若設(shè)u=3x+2，則y=lnu.即y=㏑（3x+2）我們無法用現(xiàn)有的方法求函數(shù)y=可以看成是由y=lnu和u=3x+2經(jīng)過“復(fù)合”㏑（x+2）的導(dǎo)數(shù).下面，我們先分析得到的，即y可以通過中間變量u表示為自變量x的函數(shù).這個函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點.?

如果把

y

與

u

的關(guān)系記作

y

＝

f

(

u

)

，系記作u

＝

g

(x

)，復(fù)合過程可表示為y

＝

f(

u)＝f[g(x)]＝

ln(3x＋2)．?

如函數(shù)y＝(2x＋3)2，是由y＝u

和u＝2x＋32復(fù)合而成的．復(fù)合函數(shù)一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,

y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù).記做y=f(g(x)).復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.問題解答由此可得，y=㏑(3x+2)對x的導(dǎo)數(shù)等于y=㏑u對u的導(dǎo)數(shù)與u=3x+2對x的導(dǎo)數(shù)的乘積，即例1：說出下列函數(shù)分別由哪幾個函數(shù)復(fù)合而成．點撥：找復(fù)合關(guān)系一般是從外向里分析，每層的主體為基本初等函數(shù)，最里層應(yīng)為關(guān)于x的基本函數(shù)解：函數(shù)的復(fù)合關(guān)系分別是：(1)y＝um，u＝a＋bx

；n例2：

求y＝ln(2x＋3)的導(dǎo)數(shù)．[分析]

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三步曲：第一步：分層(從外向內(nèi)分解成基本函數(shù)用到中間變量)．第二步：層層求導(dǎo)(將分解所得的基本函數(shù)進行求導(dǎo))．第三步：作積還原(將各層基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘，并將中間變量還原)．例

3

：

已知函數(shù)

f

(

x

)

是偶函數(shù)，

f

(

x

)

可f′(x)為奇函數(shù)．

證法一：由于f(x)是偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)．對f(－x)＝f(x)兩邊取x的導(dǎo)數(shù)，則f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)為奇函數(shù)．－f′(x)．所以f′(x)為奇函數(shù).類似的結(jié)論是：

若奇函數(shù)

f

(x

)是可導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)是偶函數(shù)．隨堂練習(xí)1.函數(shù)y＝(3x－4)2(的數(shù)是

)A．4(3x－2)

B．6xC．6x(3x－4)D．6(3x－4)解析：∵y′＝[(3x－4)－4)．2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x答案：D?

2．函數(shù)y＝2sin3x的數(shù)是

)(?

A．2cos3x?

C．6sin3xB．－