2023年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

2023年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題分，共分）1．復(fù)數(shù)=（）A．B．C．D．2．若滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為（）A．B．C．D．4．設(shè)是兩個不同的平面，是直線且，“∥“是“∥”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A． B． C． D．6．設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7．如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A．B．C．D．8．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A．消耗升汽油，乙車最多可行駛千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以千米/小時的速度行駛小時，消耗升汽油D．某城市機(jī)動車最高限速千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油二、填空題（每小題分，共分）9．在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）10．已知雙曲線的一條漸近線為，則=．11．在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離為．12．在中，，則=．13．在中，點滿足，若,則=，=．14．設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為；②若恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題（共小題，共分）15．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．16．兩組各有位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：組：，，，，，，B組；，，，，，，假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從兩組隨機(jī)各選人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（Ⅰ）求甲的康復(fù)時間不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；（Ⅲ）當(dāng)為何值時，兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）17．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面⊥平面，∥，，為的中點．（Ⅰ）求證：．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若⊥平面，求的值．18．已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求證，當(dāng)時，；（Ⅲ）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．19．已知橢圓的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點．（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點的坐標(biāo)（用表示）；（Ⅱ）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點，問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．20．已知數(shù)列{an}滿足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），記集合M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，寫出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合M的元素個數(shù)的最大值．2023年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共40分）1．（2023?北京）復(fù)數(shù)i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故選：A．2．（2023?北京）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A．0 B．1 C． D．2【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，即可求出z取得最大值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，當(dāng)l經(jīng)過點B時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值∴z最大值=0+2×1=2．故選：D．3．（2023?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為（）A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8）【分析】模擬程序框圖的運行過程，即可得出程序運行后輸出的結(jié)果．【解答】解：模擬程序框圖的運行過程，如下；x=1，y=1，k=0時，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1時，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2時，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，k=3時，循環(huán)終止，輸出（x，y）是（﹣4，0）．故選：B．4．（2023?北京）設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】m∥β并得不到α∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，只有α內(nèi)的兩相交直線都平行于β，而α∥β，并且m?α，顯然能得到m∥β，這樣即可找出正確選項．【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因為α，β可能相交，只要m和α，β的交線平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β沒有公共點，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．5．（2023?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5【分析】根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積．【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，運用直線平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．6．（2023?北京）設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A．若a1+a2＞0，則a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，則a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，則a2 D．若a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】對選項分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：若a1+a2＞0，則2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0時，結(jié)論成立，即A不正確；若a1+a3＜0，則a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0時，結(jié)論成立，即B不正確；{an}是等差數(shù)列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正確；若a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正確．故選：C．7．（2023?北京）如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}【分析】在已知坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的圖象，在此坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范圍是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故選C．8．（2023?北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【分析】根據(jù)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，以及圖象，分別判斷各個選項即可．【解答】解：對于選項A，從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40千米每小時時的燃油效率大于5千米每升，故乙車消耗1升汽油的行駛路程遠(yuǎn)大于5千米，故A錯誤；對于選項B，以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最小，故B錯誤，對于選項C，甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，里程為80千米，燃油效率為10，故消耗8升汽油，故C錯誤，對于選項D，因為在速度低于80千米/小時，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正確．二、填空題（每小題5分，共30分）9．（2023?北京）在（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為40（用數(shù)字作答）【分析】寫出二項式定理展開式的通項公式，利用x的指數(shù)為3，求出r，然后求解所求數(shù)值．【解答】解：（2+x）5的展開式的通項公式為：Tr+1=25﹣rxr，所求x3的系數(shù)為：=40．故答案為：40．10．（2023?北京）已知雙曲線﹣y2=1（a＞0）的一條漸近線為x+y=0，則a=．【分析】運用雙曲線的漸近線方程為y=±，結(jié)合條件可得=，即可得到a的值．【解答】解：雙曲線﹣y2=1的漸近線方程為y=±，由題意可得=，解得a=．故答案為：．11．（2023?北京）在極坐標(biāo)系中，點（2，）到直線ρ（cosθ+sinθ）=6的距離為1．【分析】化為直角坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式距離公式即可得出．【解答】解：點P（2，）化為P．直線ρ（cosθ+sinθ）=6化為．∴點P到直線的距離d==1．故答案為：1．12．（2023?北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則=1．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案為：1．13．（2023?北京）在△ABC中，點M，N滿足=2，=，若=x+y，則x=，y=﹣．【分析】首先利用向量的三角形法則，將所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．【解答】解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案為：．14．（2023?北京）設(shè)函數(shù)f（x）=，①若a=1，則f（x）的最小值為﹣1；②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是≤a＜1或a≥2．【分析】①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；②分別設(shè)h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．【解答】解：①當(dāng)a=1時，f（x）=，當(dāng)x＜1時，f（x）=2x﹣1為增函數(shù)，f（x）＞﹣1，當(dāng)x＞1時，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，當(dāng)1＜x＜時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞時，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時，f（x）min=f（）=﹣1，②設(shè)h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1時，h（x）=與x軸有一個交點，所以a＞0，并且當(dāng)x=1時，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一個交點，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函數(shù)h（x）=2x﹣a在x＜1時，與x軸沒有交點，則函數(shù)g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有兩個交點，當(dāng)a≤0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），當(dāng)h（1）=2﹣a≤0時，即a≥2時，g（x）的兩個交點滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是≤a＜1，或a≥2．三、解答題（共6小題，共80分）15．（2023?北京）已知函數(shù)f（x）=sincos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣π，0]上的最小值．【分析】（Ⅰ）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范圍，可得x+的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sincos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，則f（x）的最小正周期為2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，則當(dāng)x=﹣時，sin（x+）取得最小值﹣1，則有f（x）在區(qū)間[﹣π，0]上的最小值為﹣1﹣．16．（2023?北京）A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組；12，13，15，16，17，14，a假設(shè)所有病人的康復(fù)時間相互獨立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．（Ⅰ）求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；（Ⅲ）當(dāng)a為何值時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）【分析】設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，由題意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，??，7（Ⅰ）事件等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”，由概率公式可得；（Ⅱ）設(shè)事件“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．【解答】解：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，由題意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，??，7（Ⅰ）事件“甲的康復(fù)時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”∴甲的康復(fù)時間不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（Ⅱ）設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”，則C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）當(dāng)a為11或18時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等．17．（2023?北京）如圖，在四棱錐A﹣EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O為EF的中點．（Ⅰ）求證：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合向量法即可求a的值【解答】證明：（Ⅰ）∵△AEF為等邊三角形，O為EF的中點，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中點G，連接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG?平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，則E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），設(shè)平面AEB的法向量為=（x，y，z），則，即，令z=1，則x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量為，則cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值為；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，則BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．18．（2023?北京）已知函數(shù)f（x）=ln，（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）求證，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞；（Ⅲ）設(shè)實數(shù)k使得f（x）對x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求在曲線上某點處的切線方程．（2）構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明命題成立．（3）對k進(jìn)行討論，利用新函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)k的取值范圍．【解答】解答：（1）因為f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因為f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x．（2）證明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），則g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因為g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，當(dāng)k≤2時，f（x）＞對x∈（0，1）恒成立．當(dāng)k＞2時，令h（x）=f（x）﹣，則h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以當(dāng)時，h'（x）＜0，因此h（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減．當(dāng)時，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以當(dāng)k＞2時，f（x）＞并非對x∈（0，1）恒成立．綜上所知，k的最大值為2．19．（2023?北京）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，點P（0，1）和點A（m，n）（m≠0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M．（Ⅰ）求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（Ⅱ）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【分析】（I）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），運用圖形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即yQ2=xM?xN，+n2，根據(jù)m，m的關(guān)系整體求解．【解答】解：（Ⅰ）由題意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和點A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程為：y﹣1=x，y=0時，xM=∴M（，0）（II）∵點B與點A關(guān)于x軸對稱，點A（m，n）（m≠0）∴點B（m，﹣n）（m≠0）∵直線PB交x軸于點N，∴N（，0），∵存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即yQ2=xM?xN，+n2=1yQ2==2，∴yQ=，故y軸上存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）20．（2023?北京）已知數(shù)列{an}滿足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），記集合M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，寫出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求