線性代數(shù)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

線性代數(shù)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形第1頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

1.二次型的定義定義含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)稱(chēng)為二次型.(二次齊次多項(xiàng)式)當(dāng)系數(shù)為復(fù)數(shù)時(shí)，稱(chēng)為復(fù)二次型；當(dāng)系數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，稱(chēng)為實(shí)二次型.第2頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3.二次型的矩陣表示式令，則于是

第3頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第4頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二記第5頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

其中為對(duì)稱(chēng)陣：.——二次型的矩陣表示式說(shuō)明對(duì)稱(chēng)陣與二次型一一對(duì)應(yīng)；若，二次型的矩陣滿(mǎn)足：⑴的對(duì)角元是的系數(shù)；⑵的元是系數(shù)的一半.則對(duì)稱(chēng)陣稱(chēng)為

二次型的矩陣；二次型稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣的二次型；3.二次型的矩陣表示式第6頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例如：二次型的矩陣為于是第7頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型研究的主要問(wèn)題是：尋找可逆變換，使

這種只含平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(法式).特別地，如果標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)只在三個(gè)數(shù)中取值，那么這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形稱(chēng)為二次型的規(guī)范形.標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角陣.第8頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型1.經(jīng)可逆變換后，新舊二次型的矩陣的關(guān)系：因?yàn)橛兴耘c的關(guān)系為：第9頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.矩陣的合同關(guān)系定義

設(shè)和是階矩陣，若有可逆矩陣，使則稱(chēng)矩陣與合同.說(shuō)明合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.設(shè)與合同，若是對(duì)稱(chēng)陣，則也對(duì)稱(chēng)陣.對(duì)稱(chēng)陣一定合同相似于一個(gè)對(duì)角陣.若與合同，則.經(jīng)可逆變換后，二次型的矩陣由變?yōu)榕c合同的矩陣,且二次型的秩不變.第10頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形相當(dāng)于把對(duì)稱(chēng)陣用合同變換化成對(duì)角陣(稱(chēng)為把對(duì)稱(chēng)陣合同對(duì)角化)，3.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)二次型作可逆變換，相當(dāng)于對(duì)對(duì)稱(chēng)陣作合同變換；即尋找可逆陣,使.定理8任給二次型,總其中是的矩陣的特征值.即任何二次型都可用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.（主軸定理，P262Th6.1）存在正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn)形第11頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.即任何二次型都可用可逆變換化為規(guī)范形.

第12頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證設(shè)有二次型由定理8知，存在正交變換，使設(shè)二次型的秩為，則特征值中恰有個(gè)不為0，不妨設(shè)不等于0，于是，令其中則可逆，且變換把化為第13頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二記，則可逆變換能把化為規(guī)范形第14頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二推論任給二次型，總有可逆變換，使為規(guī)范形.即任何二次型都可用可逆變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.

4.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：⑴寫(xiě)出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫(xiě)出所求的正交變換和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.第15頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：⑴寫(xiě)出二次型的矩陣；⑵求出的特征值；⑶求出的兩兩正交的單位特征向量；⑷用表示在中⑶求得的特征向量構(gòu)成的矩陣，寫(xiě)出所求的正交變換和二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.將對(duì)稱(chēng)陣正交相似對(duì)角化的步驟：(1)求特征值；(2)求兩兩正交的單位特征向量；(3)寫(xiě)出正交矩陣和對(duì)角陣.第16頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1

已知二次型用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣.解

析：此題是一道典型例題.目的是熟悉用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的“標(biāo)準(zhǔn)程序”.⑴

寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為第17頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二⑵求的特征值由，求得的特征值為第18頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二⑶求的兩兩正交的單位特征向量對(duì)應(yīng)，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得第19頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)應(yīng)，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得第20頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)應(yīng)，解方程，由得基礎(chǔ)解系為將其單位化，得第21頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二⑷寫(xiě)出正交矩陣和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形令矩陣則為正交陣，于是，經(jīng)正交變換原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形第22頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1+：求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范形）．第23頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1+：求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形．解：二次型的矩陣有正交陣使得于是正交變換x=Py把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f=－2y12+y22+y32第24頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二如果要把f

化為規(guī)范形，令，即可得f

的規(guī)范形：f=－z12+z22+z32第25頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例2

已知二次型的秩為2.⑴求參數(shù)以及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值；⑵指出表示何種曲面.解

⑴二次型的矩陣因?yàn)榈闹葹?，所以的秩也為2，因而第26頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二當(dāng)時(shí)，的特征多項(xiàng)式為第27頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二于是，的特征值為⑵由定理8知，必存在正交變換其中為正交矩陣(不必具體求出)，使二次型于是，曲面這表示準(zhǔn)線是平面上橢圓、母線平行于軸的橢圓柱面.在新變量下稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)形第28頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第29頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、情形1配方法的系數(shù)例3用拉格朗日配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的變換矩陣.解第30頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二用到的線性變換為即用到的線性變換為即配方法第31頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二配方法第32頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二所用的變換矩陣為于是，的標(biāo)準(zhǔn)形為配方法33第33頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、情形2的系數(shù)例4用拉格朗日配方法化二次型成規(guī)范形，并求所用的變換矩陣.

解先用下面可逆變換，使二次型中即配方法第34頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二用到的線性變換為即配方法第35頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二用到的線性變換為即配方法第36頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二配方法第37頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二配方法第38頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二于是，配方法第39頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二于是，所用的變換矩陣為因此，的規(guī)范形為配方法第40頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、慣性定理定理9

(慣性定理)設(shè)有二次型，它的秩為，有兩個(gè)可逆變換及使及則正數(shù)的個(gè)數(shù)相等.（證明：P275Th6.3）中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中第41頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二說(shuō)明二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為二次型的負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為負(fù)慣性指數(shù).

正慣性指數(shù)；若二次型的正慣性指數(shù)為，秩為，則的規(guī)范形變可確定為只有用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)才是二次型矩陣的特征值.第42頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個(gè)？為什么？第43頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解析：此題的目的是熟悉慣性定理，用慣性定理解題.容易求得的特征值，于是可知，所對(duì)應(yīng)的二次型的正慣性指數(shù)為；負(fù)慣性指數(shù)為.合同的二次型應(yīng)有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，故選(B).

應(yīng)選(B)，理由是:第44頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例5下列矩陣中，與矩陣合同的矩陣是哪一個(gè)？為什么？第45頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、正定二次型的概念定義設(shè)有二次型，⑴如果對(duì)任何，都有⑵如果對(duì)任何，都有，則稱(chēng)為負(fù)定二次型，并稱(chēng)對(duì)稱(chēng)陣是負(fù)定的；陣是正定的；(顯然0)，則稱(chēng)為正定二次型，并稱(chēng)對(duì)稱(chēng)第46頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二說(shuō)明按定義，當(dāng)變量取不全為零的值時(shí)，二次型若是正定()二次型，則它的對(duì)應(yīng)值總是正數(shù)().負(fù)定負(fù)數(shù)若是正定二次型，則就是負(fù)定二次型.第47頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、正定二次型的性質(zhì)與判別法定理10二次型為正定的充要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為正數(shù)，即它的正慣性指數(shù)等于.推論1正定二次型(正定矩陣)的秩為.推論2對(duì)稱(chēng)陣為正定矩陣的充要條件是：的特征值全為正.證明第48頁(yè)，共53頁(yè)，2023年，2月20日，星期二定理10的證明證已