《電磁場與電磁波》教案-02靜電場

第二章靜電場

主要內(nèi)容電場強(qiáng)度、電位、介質(zhì)極化、場方程、邊界條件、能量與力1.電場強(qiáng)度、電通及電場線

電場對某點(diǎn)單位正電荷的作用力稱為該點(diǎn)的電場強(qiáng)度，以E表示。

式中q

為試驗(yàn)電荷的電量，F(xiàn)為電荷q受到的作用力。電場強(qiáng)度通過任一曲面的通量稱為電通，以

表示,即

編輯ppt電場線方程用電場線圍成電場管帶電平行板

負(fù)電荷

正電荷

幾種典型的電場線分布由此可見，電場線的疏密程度可以顯示電場強(qiáng)度的大小。

編輯ppt2.真空中靜電場方程

物理實(shí)驗(yàn)表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度E

滿足下列兩個積分形式的方程式中0為真空介電常數(shù)。左式稱為高斯定理，它表明真空中靜電場的電場強(qiáng)度通過任一封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電量與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度沿任一條閉合曲線的環(huán)量為零。編輯ppt根據(jù)上面兩式可以求出電場強(qiáng)度的散度及旋度，即左式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度在某點(diǎn)的散度等于該點(diǎn)的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強(qiáng)度的旋度處處為零。由此可見，真空中靜電場是有散無旋場。

已知靜電場的電場強(qiáng)度的散度及旋度以后，根據(jù)亥姆霍茲定理，電場強(qiáng)度E應(yīng)為式中xPzyr0編輯ppt將前述結(jié)果代入，求得因此標(biāo)量函數(shù)稱為電位。因此，上式表明真空中靜電場在某點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電位梯度的負(fù)值。按照國家標(biāo)準(zhǔn)，電位以小寫希臘字母

表示，上式應(yīng)寫為將電位表達(dá)式代入，求得電場強(qiáng)度與電荷密度的關(guān)系為編輯ppt若電荷分布在一個有限的表面上，或者分布在一個有限的線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時電位及電場強(qiáng)度與電荷的面密度

S及線密度l的關(guān)系分別為編輯ppt（1）高斯定律中的電量q

應(yīng)理解為封閉面S

所包圍的全部正負(fù)電荷的總和。

靜電場特性的進(jìn)一步認(rèn)識：（2）靜電場的電場線是不可能閉合的，而且也不可能相交。（3）任意兩點(diǎn)之間電場強(qiáng)度E的線積分與路徑無關(guān)。真空中的靜電場和重力場一樣，它是一種保守場。（4）已知電荷分布的情況下，可以利用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度，或者可以通過電位求出電場強(qiáng)度，或者直接根據(jù)電荷分布計(jì)算電場強(qiáng)度等三種計(jì)算靜電場的方法。

編輯ppt例1計(jì)算點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度。

點(diǎn)電荷就是指體積為零，但具有一定電量的電荷。由于點(diǎn)電荷的結(jié)構(gòu)具有球?qū)ΨQ特點(diǎn)，因此若點(diǎn)電荷位于球坐標(biāo)的原點(diǎn)，它產(chǎn)生的電場強(qiáng)度一定與球坐標(biāo)的方位角及無關(guān)。取中心位于點(diǎn)電荷的球面為高斯面。若點(diǎn)電荷為正電荷，球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向與球面的外法線方向一致。利用高斯定律上式左端積分為得或編輯ppt也可通過電位計(jì)算點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度。當(dāng)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時，。那么點(diǎn)電荷的電位為求得電場強(qiáng)度E

為

若直接根據(jù)電場強(qiáng)度公式（2-2-14），同樣求得電場強(qiáng)度E為

編輯ppt例2計(jì)算電偶極子的電場強(qiáng)度。

由前述電位和電場強(qiáng)度的計(jì)算公式可見，無論電荷何種分布，電位及電場強(qiáng)度均與電量的一次方成正比。因此，可以利用疊加原理計(jì)算多種分布電荷產(chǎn)生的電位和電場強(qiáng)度。那么，電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為

若觀察距離遠(yuǎn)大于兩電荷的間距l(xiāng)

，則可認(rèn)為，與平行，則x-q+qzylrr-r+O編輯ppt式中l(wèi)的方向規(guī)定由負(fù)電荷指向正電荷。通常定義乘積ql

為電偶極子的電矩，以p

表示，即求得那么電偶極子產(chǎn)生的電位為

利用關(guān)系式，求得電偶極子的電場強(qiáng)度為編輯ppt上述結(jié)果表明，電偶極子的電位與距離平方成反比，電場強(qiáng)度的大小與距離的三次方成反比。而且兩者均與方位角有關(guān)。這些特點(diǎn)與點(diǎn)電荷顯著不同。下圖繪出了電偶極子的電場線和等位線的分布。

編輯ppt例3設(shè)半徑為a，電荷體密度為的無限長圓柱帶電體位于真空，計(jì)算該帶電圓柱體內(nèi)外的電場強(qiáng)度。xzyaLS1

選取圓柱坐標(biāo)系，令z

軸為圓柱的軸線。由于圓柱是無限長的，對于任一z值，上下均勻無限長，因此場量與z坐標(biāo)無關(guān)。對于任一z為常數(shù)的平面，上下是對稱的，因此電場強(qiáng)度一定垂直于z軸，且與徑向坐標(biāo)r一致。再考慮到圓柱結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對稱的特點(diǎn)，場強(qiáng)一定與角度

無關(guān)。

取半徑為r

，長度為L的圓柱面與其上下端面構(gòu)成高斯面。應(yīng)用高斯定律

編輯ppt因電場強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為當(dāng)r<a時，則電量q為,求得電場強(qiáng)度為當(dāng)r>a時，則電量q為,求得電場強(qiáng)度為編輯ppt上式中a2可以認(rèn)為是單位長度內(nèi)的電量。那么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為=a2

的線電荷產(chǎn)生的電場。由此我們推出線密度為的無限長線電荷的電場強(qiáng)度為由此例可見，對于這種結(jié)構(gòu)對稱的無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計(jì)算其電場強(qiáng)度是十分簡便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計(jì)算電位或電場強(qiáng)度，顯然不易。編輯pptxzyr21r0例4求長度為L，線密度為的均勻線分布電荷的電場強(qiáng)度。

令圓柱坐標(biāo)系的z軸與線電荷的長度方位一致，且中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)對稱，場強(qiáng)與方位角

無關(guān)。因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度的方向無法判斷，不能應(yīng)用高斯定律求解其電場強(qiáng)度。只好進(jìn)行直接積分，計(jì)算其電位及電場強(qiáng)度。

因場量與無關(guān)，為了方便起見，可令觀察點(diǎn)P

位于yz平面，即，那么編輯ppt考慮到求得當(dāng)長度L時，1

0，2，則此結(jié)果與例3

導(dǎo)出的結(jié)果完全相同。編輯ppt3.電位與等位面

靜電場中某點(diǎn)的電位，其物理意義是單位正電荷在電場力的作用下，自該點(diǎn)沿任一條路徑移至無限遠(yuǎn)處過程中電場力作的功。應(yīng)該注意，這里所說的電位實(shí)際上是該點(diǎn)與無限遠(yuǎn)處之間的電位差，或者說是以無限遠(yuǎn)處作為參考點(diǎn)的電位。原則上，可以任取一點(diǎn)作為電位參考點(diǎn)。顯然，電位的參考點(diǎn)不同，某點(diǎn)電位的值也不同。但是任意兩點(diǎn)之間的電位差與電位參考點(diǎn)無關(guān)，因此電位參考點(diǎn)的選擇不會影響電場強(qiáng)度的值。當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時，通常選擇無限遠(yuǎn)處作為電位參考點(diǎn)，因?yàn)榇藭r無限遠(yuǎn)處的電位為零。電位的數(shù)學(xué)表示式中q為電荷的電量，W為電場力將電荷q推到無限遠(yuǎn)處作的功。編輯ppt由于電場強(qiáng)度的方向?yàn)殡娢惶荻鹊呢?fù)方向，而梯度方向總是垂直于等位面，因此，電場線與等位面一定處處保持垂直。若規(guī)定相鄰的等位面之間的電位差保持恒定，那么等位面密集處表明電位變化較快，因而場強(qiáng)較強(qiáng)。這樣，等位面分布的疏密程度也可表示電場強(qiáng)度的強(qiáng)弱。電位相等的曲面稱為等位面，其方程為電場線等位面式中常數(shù)C

等于電位值。E編輯ppt有極分子無極分子4.介質(zhì)極化

導(dǎo)體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。介質(zhì)中的電荷是不會自由運(yùn)動的，這些電荷稱為束縛電荷。

在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。

無極分子有極分子Ea編輯ppt實(shí)際上，介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當(dāng)外加電場Ea

加到介質(zhì)中以后，介質(zhì)中出現(xiàn)的電偶極子產(chǎn)生二次電場Es，這種二次電場Es又影響外加電場，從而導(dǎo)致介質(zhì)極化發(fā)生改變，使二次電場又發(fā)生變化。一直到合成電場產(chǎn)生的極化能夠建立一個穩(wěn)態(tài)的二次電場，極化狀態(tài)達(dá)到動態(tài)平衡，其過程如下圖所示。

介質(zhì)合成場Ea+Es極化二次場Es外加場Ea編輯ppt介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，以P表示，即式中pi

為體積V

中第i個電偶極子的電矩，N

為V中電偶極子的數(shù)目。這里V應(yīng)理解為物理無限小的體積。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，大多數(shù)介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化時，其極化強(qiáng)度P與介質(zhì)中的合成電場強(qiáng)度E

成正比，即式中e

稱為極化率，它是一個正實(shí)數(shù)。

編輯ppt由上可見，這類介質(zhì)的極化強(qiáng)度與合成的電場強(qiáng)度的方向相同。極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量僅決定于相應(yīng)的電場強(qiáng)度的坐標(biāo)分量。極化率與電場方向無關(guān)，這類介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì)。有些介質(zhì)并不是這樣，其極化強(qiáng)度的某一坐標(biāo)分量不僅與電場強(qiáng)度相應(yīng)的坐標(biāo)分量有關(guān)，而且與電場強(qiáng)度的其他分量也有關(guān)。這類介質(zhì)的極化強(qiáng)度P

與電場強(qiáng)度

E

的關(guān)系可用下列矩陣表示這就表明，介質(zhì)的極化率與電場強(qiáng)度的方向有關(guān)，也就是極化特性與電場強(qiáng)度方向有關(guān)，因此，這類介質(zhì)稱為各向異性介質(zhì)。

編輯ppt空間各點(diǎn)極化率相同的介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)，否則，稱為非均勻介質(zhì)。極化率與時間無關(guān)的介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，否則稱為運(yùn)動媒質(zhì)。介質(zhì)的均勻與非均勻性、線性與非線性、各向同性與各向異性、靜止與運(yùn)動分別代表完全不同的概念，不應(yīng)混淆。因此，若極化率是一個正實(shí)常數(shù)，則適用于線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若前述矩陣的各個元素都是一個正實(shí)常數(shù)，則適用于線性均勻各向異性的介質(zhì)。極化率與電場強(qiáng)度的大小無關(guān)的介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則，稱為非線性介質(zhì)。各向異性的介質(zhì)能否是均勻的？非均勻介質(zhì)能否是各向同性的？編輯ppt發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷?？梢宰C明這些極化電荷產(chǎn)生的電位為

式中為極化強(qiáng)度，它與極化電荷的關(guān)系為由此可見，任一塊介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷與介質(zhì)塊的表面束縛電荷是等值異性的。

右式又可寫為積分形式編輯ppt

5.介質(zhì)中的靜電場方程

在介質(zhì)內(nèi)部，穿過任一閉合面S的電通應(yīng)為式中q為閉合面S

中的自由電荷，為閉合面S

中的束縛電荷。那么

令，求得此處定義的D

稱為電位移?？梢姡橘|(zhì)中穿過任一閉合面的電位移的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關(guān)。上式又稱為介質(zhì)中的高斯定律的積分形式，利用矢量恒等式不難推出其微分形式為

編輯ppt介質(zhì)中微分形式的高斯定律表明，某點(diǎn)電位移的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度。

電位移也可用一系列曲線表示。曲線上某點(diǎn)的切線方向等于該點(diǎn)電位移的方向，這些曲線稱為電位移線。若規(guī)定電位移線組成的相鄰的通量管中電位移的通量相等，那么電位移線的疏密程度即可表示電位移的大小。值得注意的是，電位移線起始于正的自由電荷，而終止于負(fù)的自由電荷，與束縛電荷無關(guān)。已知各向同性介質(zhì)的極化強(qiáng)度，求得令，式中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)。已知極化率e為正實(shí)數(shù)，因此，一切介質(zhì)的介電常數(shù)均大于真空的介電常數(shù)。則編輯ppt實(shí)際中經(jīng)常使用介電常數(shù)的相對值，這種相對值稱為相對介電常數(shù)，以r

表示，其定義為可見，任何介質(zhì)的相對介電常數(shù)總是大于1。下表給出了幾種介質(zhì)的相對介電常數(shù)的近似值。介

質(zhì)介

質(zhì)空

氣1.0石

英3.3油2.3云

母6.0紙1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有機(jī)玻璃2.6~3.5純

水81石

臘2.1樹

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr編輯ppt各向異性介質(zhì)的電位移與電場強(qiáng)度的關(guān)系可以表示為此式表明，各向異性介質(zhì)中，電位移的方向與電場強(qiáng)度的方向不一定相同，電位移某一分量可能與電場強(qiáng)度的各個（或者某些）分量有關(guān)。電位移和電場強(qiáng)度的關(guān)系與外加電場的方向有關(guān)。此外，可以推知均勻介質(zhì)的介電常數(shù)與空間坐標(biāo)無關(guān)。線性介質(zhì)的介電常數(shù)與電場強(qiáng)度的大小無關(guān)。靜止媒質(zhì)的介電常數(shù)與時間無關(guān)。編輯ppt對于均勻介質(zhì)，由于介電常數(shù)與坐標(biāo)無關(guān)，因此獲得此外，對于均勻介質(zhì)，前述電場強(qiáng)度及電位與自由電荷的關(guān)系式仍然成立，只須將其中真空介電常數(shù)換為介質(zhì)的介電常數(shù)即可。6.兩種介質(zhì)的邊界條件

由于媒質(zhì)的特性不同，引起場量在兩種媒質(zhì)的交界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的邊界條件。為了方便起見，通常分別討論邊界上場量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。編輯pptE2E11324lh

1

2et為了討論邊界上某點(diǎn)電場強(qiáng)度的切向分量的變化規(guī)律，圍繞該點(diǎn)且緊貼邊界作一個有向矩形閉合曲線，其長度為l，高度為h，則電場強(qiáng)度沿該矩形曲線的環(huán)量為為了求出邊界上的場量關(guān)系，必須令h0，則線積分編輯ppt為了求出邊界上某點(diǎn)的場量關(guān)系，必須令l足夠短，以致于在l內(nèi)可以認(rèn)為場量是均勻的，則上述環(huán)量為式中E1t

和E2t分別表示介質(zhì)①和②中電場強(qiáng)度與邊界平行的切向分量。已知靜電場中電場強(qiáng)度的環(huán)量處處為零，因此由上式得此式表明，在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的電場強(qiáng)度的切向分量相等，或者說，電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。

對于各向同性的線性介質(zhì)，得此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電位移的切向分量是不連續(xù)的。

編輯ppthS為了討論電位移的法向分量變化規(guī)律，在邊界上圍繞某點(diǎn)作一個圓柱面，其高度為h，端面為S。那么根據(jù)介質(zhì)中的高斯定律，得知電位移通過該圓柱面的通量等于圓柱面包圍的自由電荷，即D2D1令h0，則通過側(cè)面的通量為零，又考慮到S必須足夠小，則上述通量應(yīng)為式中D1t及D2t分別代表對應(yīng)介質(zhì)中電位移與邊界垂直的法線分量。邊界法線的方向en規(guī)定為由介質(zhì)①指向介質(zhì)②。

1

2en編輯ppt求得式中s為邊界上存在的表面自由電荷的面密度?？紤]到在兩種介質(zhì)形成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此此式表明，在兩種介質(zhì)邊界上電位移的法向分量相等，或者說，電位移的法向分量是連續(xù)的。

對于各向同性的線性介質(zhì)，得此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電場強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)的。

還可導(dǎo)出邊界上束縛電荷與電場強(qiáng)度法向分量的關(guān)系為編輯ppt7.介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件

靜電平衡：當(dāng)孤立導(dǎo)體放入靜電場中以后，導(dǎo)體中自由電子發(fā)生運(yùn)動，電荷重新分布。由于自由電子逆電場方向反向移動，因此重新分布的電荷產(chǎn)生的二次電場與原電場方向相反，使導(dǎo)體中的合成電場逐漸削弱，一直到導(dǎo)體中的合成電場消失為零，自由電子的運(yùn)動方才停止，因而電荷分布不再改變，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。由此可見，導(dǎo)體中不可能存在靜電場，導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在自由電荷的體分布。所以，當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。因?yàn)閷?dǎo)體中不可能存在靜電場，因此導(dǎo)體中的電位梯度為零，這就意味著導(dǎo)體中電位不隨空間變化。所以，處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是一個等位體，導(dǎo)體表面是一個等位面。編輯ppt既然導(dǎo)體中的電場強(qiáng)度為零，導(dǎo)體表面的外側(cè)不可能存在電場強(qiáng)度的切向分量。換言之，電場強(qiáng)度必須垂直于導(dǎo)體的表面，即介質(zhì)E,D導(dǎo)體en導(dǎo)體表面存在的表面自由電荷面密度為或?qū)憺槭街?/p>

為導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。已知導(dǎo)體表面是一個等位面，因，求得表面電位與電荷的關(guān)系為考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場，因而極化強(qiáng)度為零。求得導(dǎo)體表面束縛電荷面密度為編輯ppt靜電屏蔽：當(dāng)封閉的導(dǎo)體空腔中沒有自由電荷時，即使腔外存在電荷，腔中也不可能存在靜電場。這就意味著封閉的導(dǎo)體腔可以屏蔽外部靜電場，這種效應(yīng)稱為靜電屏蔽。

當(dāng)然，總電通為零可能是由于閉合面內(nèi)部沒有電荷，因而沒有場；或者因?yàn)檎?fù)電荷相等，但是這是不可能的。因?yàn)殡姾芍豢赡芊植荚趯?dǎo)體的表面上，若以正負(fù)電荷之間任一根電場線和腔壁中任一根曲線組成一條閉合曲線，由于腔壁中沒有電場，沿該條閉合曲線的電場強(qiáng)度的環(huán)量不可能為零，這就違背了靜電場的基本特性。此外，顯然若腔體接地，位于腔中的電荷也不可能對外產(chǎn)生靜電場。由于導(dǎo)體內(nèi)部沒有靜電場，因此若沿腔壁內(nèi)部作一個閉合曲面，通過其表面的電通一定為零。編輯ppt例已知半徑為r1

的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為r2的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1，球殼的外半徑為r3，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4，介電常數(shù)為2，外部區(qū)域?yàn)檎婵?，如左下圖示。試求：①各區(qū)域中的電場強(qiáng)度；

②各個表面上的自由電荷和束縛電荷。r1r2r3r4

0

2

1解由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場必須垂直于導(dǎo)體表面，因而也垂直于高斯面。編輯ppt在r<r1及r2<r<r3區(qū)域中，因?qū)w中不可能存靜電場，所以E=0。在r1<r<r2區(qū)域中，由，得

r1r2r3r4

0

2

1同理，在r3<r<r4區(qū)域中，求得在r>r4區(qū)域中，求得編輯ppt根據(jù)及，可以求得各個表面上的自由電荷及束縛電荷面密度分別為r1r2r3r4

0

2

1r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:編輯ppt8.電容與部分電容

由物理學(xué)得知，平板電容器正極板上攜帶的電量q與極板間的電位差U的比值是一個常數(shù)，此常數(shù)稱為平板電容器的電容，即電容為

電容的單位F（法拉）太大。例如半徑大如地球的弧立導(dǎo)體的電容只有F。實(shí)際中，通常取F（微法）及pF（皮法）作為電容單位。編輯ppt對于多導(dǎo)體之間的電容計(jì)算，需要引入部分電容概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體本身電荷有關(guān)，同時還與其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)，因?yàn)橹車鷮?dǎo)體上電荷的存在必然影響周圍空間靜電場的分布，而多導(dǎo)體的電場是由它們共同產(chǎn)生的。q1q3qnq2此時，各個導(dǎo)體上的電荷與導(dǎo)體間的電位差的關(guān)系為式中Cii

稱為第i個導(dǎo)體的固有部分電容；Cij稱為第i個導(dǎo)體與第j個導(dǎo)體之間的互有部分電容。編輯ppt例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為。試求單位長度內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容。解由于電場強(qiáng)度一定垂直于導(dǎo)體表面，因此，同軸線中電場強(qiáng)度方向一定沿徑向方向。又因結(jié)構(gòu)對稱，可以應(yīng)用高斯定律。ab

設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度內(nèi)的電量為q，圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個圓柱面作為高斯面S，則那么內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差U為

因此同軸線單位長度內(nèi)的電容為編輯ppt9.電場能量

已知在靜電場的作用下，帶有正電荷的帶電體會沿電場方向發(fā)生運(yùn)動，這就意味著電場力作了功。靜電場為了對外作功必須消耗自身的能量，可見靜電場是具有能量的。如果靜止帶電體在外力作用下由無限遠(yuǎn)處移入靜電場中，外力必須反抗電場力作功，這部分功將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場的能量儲藏在靜電場中，使靜電場的能量增加。由此可見，根據(jù)電場力作功或外力作功與靜電場能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電場能量。首先根據(jù)外力作功與靜電場能量之間的關(guān)系計(jì)算電量為Q的孤立帶電體的能量。編輯ppt設(shè)帶電體的電量Q

是從零開始逐漸由無限遠(yuǎn)處移入的。由于開始時并無電場，移入第一個微量dq

時外力無須作功。當(dāng)?shù)诙€dq移入時，外力必須克服電場力作功。若獲得的電位為

，則外力必須作的功為

dq，因此，電場能量的增量為

dq。已知帶電體的電位隨著電荷的逐漸增加而不斷升高，可見電位是電量q的函數(shù)。那么當(dāng)電量增至最終值Q

時，外力作的總功，也就是電量為Q的帶電體具有的能量為已知孤立導(dǎo)體的電位等于攜帶的電量q

與電容C

的之比，即代入上式，求得電量為Q

的孤立帶電體具有的能量為或者表示為編輯ppt對于n

個帶電體具有的總能量，也可采用同樣的方法進(jìn)行計(jì)算。設(shè)每個帶電體的電量均從零開始，且以同樣的比例增長。若周圍媒質(zhì)是線性的，則當(dāng)各個帶電體的電量增加一倍時，各個帶電體的電位也升高一倍。設(shè)第i

個帶電體的電位最終值為i，電量的最終值為Qi，若某一時刻第i

個帶電體的電量為qi=Qi，<1則此時刻該帶電體的電位為i

=i。那么當(dāng)各個帶電體的電量均以同一比例

增長，外力必須作的功，也就是帶電系統(tǒng)的電場儲能增量為當(dāng)各個帶電體的電量同時分別增至最終值時，該系統(tǒng)的總電場能為求得編輯ppt當(dāng)帶電體的電荷為連續(xù)的體分布、面分布或線分布電荷時，由，求得這種分布電荷的帶電體總能量為式中

為體元dV、面元dS、或線元dl所在處的電位，積分區(qū)域?yàn)殡姾煞植嫉目臻g。

從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的整個空間，應(yīng)該計(jì)算靜電場的能量分布密度。靜電場的能量密度以小寫英文字母we表示。編輯ppt設(shè)兩個導(dǎo)體攜帶的電量為Q1和Q2，其表面積分別為S1和S2，如圖所示。

SS2Q2Q1S1Venen已知電荷分布在導(dǎo)體的表面上，因此，該系統(tǒng)的總能量為又知，求得若在無限遠(yuǎn)處再作一個無限大的球面S，由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠(yuǎn)處的電位及場強(qiáng)均趨于零。因此，積分編輯ppt那么，上面的儲能公式可寫為式中。該閉合面S包圍了靜電場所占據(jù)的整個空間。那么，利用高斯定理，上式可寫考慮到區(qū)域V中沒有自由電荷，所以，又，代入上式，求得由此可見，靜電場的能量密度編輯ppt對于各向同性的線性介質(zhì)，，代入后得此式表明，靜電場能量與電場強(qiáng)度平方成正比。因此，能量不符合疊加原理。雖然幾個帶電體在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度等于各個帶電體分別產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和，但是，其總能量并不等于各個帶電體單獨(dú)存在時具有的各個能量之和。事實(shí)上，這是因?yàn)楫?dāng)?shù)诙€帶電體引入系統(tǒng)中時，外力必須反抗第一個帶電體對第二個帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此功也轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿芰?，這份能量通常稱為互有能，而帶電體單獨(dú)存在時具有的能量稱為固有能。編輯ppt例計(jì)算半徑為a，電量為Q的導(dǎo)體球具有的能量。導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為

。

解可以通過三種途徑獲得相同結(jié)果。（1）已知半徑為a，電量為Q的導(dǎo)體球的電位為那么求得（2）已知導(dǎo)體表面是一個等位面，那么積分求得

（3）已知電量為Q

的導(dǎo)體球外的電場強(qiáng)度為，能量密度為，那么沿球外整個空間積分求得編輯ppt10.電場力已知某點(diǎn)的電場強(qiáng)度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)受到的電場力。因此，點(diǎn)電荷受到的電場力為若上式中E

為點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，則

式中

為該點(diǎn)電荷周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。那么，點(diǎn)電荷受到點(diǎn)電荷q的作用力，或者說點(diǎn)電荷q

對于點(diǎn)電荷的作用力為

式中er

為由q

指向的單位矢量。上式就是法國科學(xué)家?guī)靵龈鶕?jù)實(shí)驗(yàn)總結(jié)歸納的庫侖定律。

編輯ppt已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場力。但是，對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場力是非常困難的，有時甚至無法求積。為了計(jì)算具有一定電荷分布的帶電體之間的電場力，通常采用虛位移法。這種方法是假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定的位移，根據(jù)位移過程中電場能量的變化與外力及電場力所作的功之間的關(guān)系計(jì)算電場力。

以平板電容器為例，設(shè)兩極板上的電量分別為+q

及-q，板間距離為l。為了計(jì)算方便，假定在電場力作用下，極板之間的距離增量為dl。眾所周知，兩極板間的相互作用力實(shí)際上導(dǎo)致板間距離減小。因此，求出的作用力應(yīng)為負(fù)值。dll-q+q編輯ppt既然認(rèn)為作用力F導(dǎo)致位移增加，因此，作用力F的方向?yàn)槲灰频脑黾臃较?。這樣，為了產(chǎn)生dl

位移增量，電場力作的功應(yīng)為。根據(jù)能量守恒定律，這部分功應(yīng)等于電場能量的減小值，即由此求得式中腳注q=常數(shù)說明當(dāng)極板發(fā)生位移時，極板上的電量沒有發(fā)生變化，這樣的帶電系統(tǒng)稱為常電荷系統(tǒng)。已知平板電容器的能量為。對于常電荷系統(tǒng)，發(fā)生位移時電量q未變，只有電容C

改變了。編輯ppt式中S

為極板的面積，l為兩極板的間距。將這些結(jié)果代入上式，求得平板電容器兩極板之間的作用力為已知平板電容器的電容式中