地下水動力學電子教案

第一章地下水運動的基本概念與基本概念

本章概述：

掌握典型體元、非均質各向異性、非均質各向同性、均質各向異性、均質各向同性的等

概念；正確區(qū)分地下水質點實際流速、空隙平均流速和滲透流速；詳細敘述研究地下水運動

規(guī)律所遵循的基本定律－達西定律；掌握流網(wǎng)的特征并及其在實際中的應用，

重難介紹：掌握典型體元的概念和地下水運動基本定律；流網(wǎng)的應用。

本章學時數(shù)：4學時（180分鐘）

教學內容：

地下水運動的基本概念

我們以前學過《水力學》，從課程名字來看他們很相似，那《地下水動力學》和《水力

學》有什么異同點？

1、水力學與地下水動力學異同點

相同點：都是研究水的運動規(guī)律的學科。

相異點：水力學是研究水在管道或渠道中的運動。

地下水動力學則是研究水在巖石空隙中（孔隙、裂隙、巖溶）運動規(guī)律。

2、滲流與滲流場

我們把由由固體骨架和空隙兩部分組成的介質，叫多孔介質。如砂層、裂隙巖體等。地

下水在多孔介質中的運動，稱為滲流，滲流所占據(jù)的空間就叫滲流場。

我們剛才講到地下水地下水滲流，那滲流和實際的水流又有什么區(qū)別呢？

由水力學我們知道普通水流的流向是從總水頭高的地方流向總水頭低的地方，水流量

的大小取決于水頭差和水頭損失，同樣地下水水的流向也是從高水頭流向低水頭，流量的大

小也水頭差和水頭損失。但是從圖1-1-0b和1-1-3a可以看出，普通水流在管道中運動取決

于管道大小、形狀及管壁的粗糙度，而滲流運動取決于多孔介質空隙大小、形狀以及其連通

性。

我們知道在自然界中多孔介質中固體的邊界的集合形狀是各種各樣的，形狀十分復雜，

其通道是曲折的，地下水在這樣復雜的介質中流動，其質點運動軌跡彎曲，通常其滲流速度

緩慢，流態(tài)多為層流，水只在空隙中流動，在固體物質中無滲流發(fā)生，因此從整個滲流空間

來說是不連續(xù)的，而此也其運動要素（如流速矢量）的分布變化無常，是非穩(wěn)定流，但是大

部分是緩變流。

圖1-1-3a地下水實際流動圖1-1-3b基于滲流流速

的流線

從微觀角度研究地下水運動的難度有兩個方面：

A）如果從微觀角度來看地下水運動（滲流）：地下水是在不同的空隙中運動的。要獲

得微觀角度每一個空間點的水流運動參數(shù)，首先必須獲得空隙的幾何參數(shù)（查明每一個空隙

與固體顆粒之間的邊界位置等），這是十分困難的。

B）從微觀角度來看地下水流在空間上是不連續(xù)的。固體顆粒部分是沒有水流的，因此

從微觀角度地下水的運動參數(shù)在空間上是不連續(xù)的，有很多地方運動參數(shù)是零。也就是說描

述水流運動的物理量是非連續(xù)函數(shù)，因此基于連續(xù)函數(shù)的許多微積分方法無法應用。

因此在研究地下水運動規(guī)律時，我們通常要從宏觀水平上來考察。于是我們就提出了滲

流的概念。

現(xiàn)在我們?yōu)榱丝朔厦嫠岬降睦щy和研究方便我們引用一個假想的水流來代替真實

的水流(如圖1-1-3b)，這種假想水流是：

我們不是說從實際水流運動的物理量是非連續(xù)函數(shù)嗎？現(xiàn)在我們就假設：

1、這種假想水流充滿整個多孔介質的連續(xù)體；所謂的整個多孔介質它包括空隙和固體

部分，不僅僅是空隙了，主要處處有空隙，處處有水流。

當然為了使假設水流更加符合實際情況我們有一下2各假設：

2、這種假想水流（滲流）的阻力與實際水流在空隙中所受到的阻力相同；也就是說，

我們假設在這個空隙中的有一點，這一點的假想的水流和實際的水流所受的阻力是相等的。

3、滲流場任意一點的水頭H和流速矢量v等運動要素與實際水流在該點周圍一個小范

圍內的平均值相等。

這種假想水流便是宏觀水平的地下水流，我們稱之為滲流。它所占據(jù)的空間稱為“滲流

場”。

我們剛才在假設3中提到滲流場任意一點的水頭H和流速矢量v等運動要素與實際水流

在該點周圍一個小范圍內的平均值相等。這個小范圍到底是多少？，比如說在二維流中，是

1平方厘米、1平方分米、1平方米等等。

下面我們引入一個典型體元，有些書也叫典型單元體（RepresentativeElementary

Volume）的概念：

下面我們是空隙率為例來講解什么是典型單元體。

我們在水文地質學基礎中學過空隙率n的定義是：

V

nv

V

其中：———中空隙中的體積

VvV

那么要取多大的V才能代表典型單元體的體積呢？

現(xiàn)在假設P點為多孔介質的內的某一點，這一點可以在落在固體顆粒上也可以在空隙

中，以該點為中心，如果以P點為形心取一體積，當P點位于顆粒上時，所取的體積小于或

等于顆粒的體積是我們知道空隙率n=0；當P點位于空隙中時，所取的體積小于或等于顆粒

的體積是我們知道空隙率n=0，隨著所取的體積V的增大，空隙率n的值因為隨機劃進來的

顆粒或空隙體積產(chǎn)生明顯的波動，但是隨著體積V的逐漸增大波動逐漸減少，當體積V取

至某一個體積時，空隙率趨于一平均值，此時的體積稱為典型體元。

nVV0

若體積再繼續(xù)增大把P點外圍的非均質區(qū)(K2區(qū))也劃進來平均，此時又會產(chǎn)生明顯的變

化。

因此典型單元體是有一定體積，但是不能太大，因為太大掩蓋了多孔介質的非均質性。

因此通過上述分析，我們可以通過利用典型體元來定義任意點的空隙率，即：

V0Pn(P)

VV

n(P)limv或n(P)0v

VV

VV00

其中為典型體元中的空隙。

V0vV0

如果使二維面積上或線上取平均值，則稱為面空隙率或線空隙率。

AL

n(P)0v或n(P)0v

AL

00

1.1.2滲流的運動要素

1、地下水質點實際流速、空隙平均流速和滲透流速

在水力學的學習中知道，由于由于水具有一定的粘滯性，在流動時水和顆粒間有阻力和

粘滯力，因此從微觀上看顆粒間的水的流速分布如圖1-1-2a所示，并不是相等的，那怎么

才能得到典型體元上的平均流速呢？

設空隙中地下水水質點的流速矢量為u＇。

現(xiàn)在有2種取平均值的方法。

A）將u＇在以P為中心的典型體元空隙部分V上取平均值，其表達式為：

0v

11

u(P)u'dvu'dv

VvVv

0vV0vV

0v0

我們也知道在固體顆粒部分水的流速為0，因此積分的范圍可以用V來代替V。我們通常

00v

把這樣平均的流速叫空隙平均流速，用u表示。

B）將u在以P為中心的整個典型體元V（包括空隙和固體兩個部分）上取平均值——

0

滲透流速（達西流速），用v（p）每表示：

11

v(P)u'dvu'dv

VvVv

0V0V

0v0

這就是我們剛才講到的滲流時假設的流速，因此通常把這樣平均的流速叫滲透流速，用

v表示。

我們剛才提到了質點流速u＇、空隙平均流速u和滲透流速v。這三者有什么關系呢？

我們現(xiàn)在看某一個時刻一個多孔介質放大的流速分布示意圖。地下水流速圖圖，紅線是

質點的實際流速u＇，藍線為空隙平均流速u，紫色為滲透流速v。

現(xiàn)在用空隙平均流速u和滲透流速v的相除可以得到

uV

0vn

vV

0

因此空隙平均流速u和滲透流速v的的關系是

vnu

我們知道在多孔介質中，互不連通的孤立孔隙對地下水的儲存和運動都是沒有意義的，

另外研究地下水運動時，一般情況下可以忽略結合水的運動，因此也可以忽略結合水所占據(jù)

的空間。因此嚴格意義上n應該是有效空隙度ne，去掉與地下水運動沒有作用的空隙（結構

空隙、盲孔等）。

vnu

e

2、壓強、水頭和水力坡度

在中學我們學過壓強的有關概念，壓強是指單位面積上所受的壓力。它是一個平均的概

念。

通過剛才講過我們研究地下水流動不是研究它的微觀運動而是研究在一定范圍的各項

運動要素的平均值。

因此，地下水的壓強也是指典型體元宏觀水平上的平均壓強。用下式表示：

1

p(P)pdV

Vv

0vV

0v

與水力學一樣，為了研究方便，地下水的壓強的大小也用水柱的高度表示，

p

h

p

因此宏觀水平的水頭H定義為

1

H(P)HdV

Vv

0vV

0v

圖1-1-4a潛水含水層中的壓強及水頭圖1-1-4b潛水含水層中的

壓強及水頭

在水力學中我們知道總水頭應表征滲流場中任意點具有的位置勢能，壓力勢能和動能三

者之和。即

pu2

Hz

2g

u2

由于在地下水運動中，地下水孔隙平均流速很?。◣r溶管道除外）因此相對前兩

2g

項小得多，一般情況下忽略不計。因此

p

HzH

p

因此在在研究地下運動時，一般不去嚴格區(qū)分總水頭或測壓水頭，而通稱水頭，用H

表示。

由上面公式可以看出，水頭H隨著位置高度z而變，而位置高度又處決于基準面的選取，

那又如何選擇基準面呢？

這主要要考慮我們使用方便，一般來說，隔水底板水平的含水層，其基準面要取在隔水

底板處，其它情況通常以海平面為基準。

水頭值（H）的大小可以用水頭來表示。量綱為[L],因而任意點的水頭值大小可以從基

準面到揭穿該點井孔的水位處的垂直距離來表示。

圖1-1-5水力坡度概念土

在滲流場內水頭值相等的點連成面（線）成為等水頭（面）線。

即圖上的H、H、H。沿著等水頭面（線）的法線方向（n、n、n）S水頭變化最大，

123123

沿法線方向的水頭變化稱為水力坡度。即

dH

J

dn

在各向同性巖層中，流線是垂直穿過等水頭面，與等水頭面的法線方向重合。因而水力

坡度可以表示為：

dH

J

ds

s是指流線方向（也就是等水頭面的法線方向）。在此條件下，水力坡度J表示水頭H

沿流線方向的變化率（最大變化率）。

那水力坡度J在空間直角坐標系又如何來表示呢？

表達為三個分量，即

dHdHdH

JJJ

dxdydz

1.2滲流基本定律

一、達西實驗（穩(wěn)定流）

在《水文地質學基礎》中我們做個這個實驗，下面我們來回顧一下：

這個實驗由法國水力工程師亨利·達西(HenryDarcy)在裝有均質砂土濾料的圓柱形筒中

做了大量的滲流實驗(圖1-2-1)，于l856年發(fā)現(xiàn)：滲透流速與水力坡度成正比，即線性滲流

定律，這是滲流基本定律，后人稱之為達西定律，其形式為

HH

QKA12KAJ

l

式中：為滲透流量；為滲流斷面面積；、為和斷面上的測壓水頭值；為

QAH1H2l2L1

和2兩斷面間的距離；J為水力坡度，圓筒中滲流屬于均勻介質一維流動，滲流段內各點的

水力坡度均相等；K為比例系數(shù)，稱為砂土的滲透系數(shù)(也稱水力傳導系數(shù))。達西定律的另

一表達形式為

Q

vKJ

A

式中：υ為滲流速度，又稱達西速度，量綱為[L]。滲流速度與水力坡度成正比，所

以稱它為線性滲透定律，這也說明此時地下水的流動狀態(tài)為層流。

若將達西定律用于二維或三維的地下水運動，則水力坡度不是常量，沿流向可以變大也可以

變小。剛才我們講過，它的微分形式；

dH

vK

ds

dH

是沿流線任意點的水力坡度。

ds

在直角坐標系可表示為

H

vK

xx

H

vK

yy

H

vK

zz

二、不穩(wěn)定條件下滲流實驗

達西實驗是在定水頭穩(wěn)定流條件下進行的，那么在變水頭條件下的不穩(wěn)定滲流是否同樣

滿足線性滲流定律呢?

下面我們用如圖1-2-2這樣的裝置，來驗證了達西線性定律同樣適用于不穩(wěn)定滲流。

圖1-2-3變水頭滲流實驗的t~lgH圖

在某一時刻t時刻這一瞬間（按下暫停，按鈕），若該流動符合達西定律，則可以得到：

H(t)

Q(t)KA

l

式中：H(t)是隨t時刻的水頭差；l為砂柱的長度；A為砂柱的橫斷面積；Q(t)是t時刻

的流量。

那么在dt時段內通過砂柱斷面的體積應該是

H(t)

dVQ(t)?dtKA?dt

l

由水均衡可知：

dVAdH

式中的負號表示了隨著通過砂柱斷面水體積(V)的增加，水頭(H)值在減小

H(t)

dVAdHKA?dt

l

KdH

則dt

lH

積分

KdH

tdtH

0lH0H

KH

tln0

lH

ll

tlnHlnH

K0K

由上式可以看出，如果不穩(wěn)定滲流服從達西定律，則觀測數(shù)據(jù)(t，H)在t-lgH坐標系中呈線性

關系；否則呈非線性關系。反之，我們可根據(jù)實驗曲線t-lgH的形態(tài)來判斷滲流是否服從達

西線性定律。如果這些點基本在一條直線上，表示遵循達西定律的一次實驗數(shù)據(jù)。如果落在

一條曲線，那表示不遵循達西定律。

另外也可以通過不穩(wěn)定滲流實驗來求得砂樣的滲透系數(shù)值。其滲透系數(shù)的大小就是這條直線

的斜率。

三、滲透系數(shù)

在《水基》中我們就學過滲透系數(shù)的這個概念，知道滲透系數(shù)是一個極其重要的水文地

質參數(shù)。它反映巖層的透水性能，是地下水計算中一個不可缺少的指標。那么滲透系數(shù)的大

小取決于哪些因素呢?

下面通過兩個簡單的理想模型，以幫助我們從本質上理解滲透系數(shù)的概念。

在《水力學》中我們得到：在層流條件下，圓管中過水斷面的平均流速為

d2

u?J

32

式中：d為圓管的內直徑；為液體的粘滯動力系數(shù)，；為液體的密度；

為液體的粘滯運動系數(shù)；為液體的重率。

①如果把空隙介質的透水性理想化，看成由一系列細小的圓管組成而保留其孔隙率不

變(圖1-2-4)，則沿圓管方向的滲透流速為

nd2

vnu?J（1-2-10）

32

②地下水在裂隙巖層中的運動，可以利用兩平行板間液體的運動來對比。兩平行板間

的寬度可視為理想化的裂隙巖層的裂隙寬度。當液體作層流運動時，其平均流速為

B2

u?J

12

式中：B為兩平行板的寬度。

如果將裂隙巖體中裂隙系統(tǒng)，想象成一系列等寬的、平直的裂隙所組成(圖1-2-5)，則

沿裂隙組的交線方向的滲透流速為

nB2

vnu?J（1-2-12）

12

如果將(1-2-10)式和(1-2-12)式與線性滲透定律vKJ進行比較，得出下列結論：

(1)上述兩式中，滲流速度和水力坡度都成正比關系。說明它們和達西定律的條件相同，都

屬于層流狀態(tài)。

nd2nB2

(2)滲透系數(shù)K在孔隙巖層中相當于?，在裂隙巖層中相當于?。前面的

3212

因子表示透水巖層的空隙性，后面的因子表示液體的物理性質。從而證明：滲透系數(shù)的大小

不僅取決于巖石的空隙性，而且與滲透液體的物理性質有關。

若以k表示純粹由巖石空隙性所決定的滲透性能，則

Kk

nd2nB2

k稱為滲透度(也稱滲透率)，k(或k)。它是不隨液體的物理性質而

3212

變化的。顯然，k的數(shù)值決定于空隙的大小(d和B)和空隙率(n)，這是對上述理想化了的空

隙介質而言的，至于對實際的介質，k還與空隙形狀、空隙的曲折性、連通性等有關。從上

式可以看出：空隙的大小(d，B)對k起主要作用(因為它們是平方關系)，而空隙率起次要作

用。實際資料表明：粘土的孔隙率一般為50％～60％，但它的滲透率僅是粗砂土(孔隙率約

為30％～40%)的0．0001～0．00001。這充分說明了上述結論的正確性。當然，這里還存在

結合水幾乎不參與流動的問題。

(3)液體的物理性質對滲透系數(shù)的大小有直接的影響。它與γ成正比，與粘滯動力系

數(shù)μ成反比。可以想象，若γ=0(例如在失重的人造衛(wèi)星上)，即使有水頭差，液體也不會

運動；在其他條件相同的情況下，γ愈大則愈易流動。但若液體粘滯性愈大，則愈不易流

動，例如油不如水容易流動。對于地下水來講，γ和μ決定予水的礦化度、水溫和壓力等

因素。其中溫度對粘滯性μ的影響較大。

(四)線性定律的適用條件

達西定律是我們水文學中這么重要的定律，那他有什么限制條件呢？

①、實驗證明，僅當Re<10的條件下，通過多孔介質的流體作層流運動，滲流才滿足達

西定律，即滲透流速口和水力坡度t，呈線性關系；當Re>10時，滲透流速和水力坡度呈現(xiàn)

曲線關系，達西定律不再適用。

②、液體要處于層流狀態(tài)，也就是說液體流速要小于它的臨界流速對于孔隙巖層，應用

vc,

前蘇聯(lián)學者巴甫洛夫斯基公式：

vR(0.75n0.23)

ced

10

實際資料說明，自然界孔隙巖層中的地下水運動基本上屬于層流狀態(tài)。

③、對于裂隙巖層，羅米捷在裂隙模型中做了大量實驗，得到判別裂隙巖層流動狀態(tài)的

臨界水力坡度、裂隙寬度及裂隙相對粗糙度間關系的經(jīng)驗公式為：

Jc

(10.960.4)1.5(161.5)

J0.00252

c

裂隙含水介質中一般情況下的地下水運動也是呈層流狀態(tài)。僅僅在寬裂隙和溶洞發(fā)育地

區(qū)可以形成局部的紊流地段。

④、有些學者還研究了達西定律的下限問題。他們通過實驗發(fā)現(xiàn)某些粘性土存在一個起

始水力坡度。若實際水力坡度時，滲流速度和水力坡度之間不呈線性關系；只有當

J0J<J0J>J0

時，滲流才服從達西定律。

線性滲流定律必須符合上面提到的條件才能成立，否則是非線性的。

對于非線性定律研究也很多，但具有代表意義的是：

1901年，福希海默(Forchheimer)提出在大雷諾數(shù)(Re>10)條件下，滲流速度和水力坡

度之問的非線性關系式，即

2

JAvBv

式中：A和B都是系數(shù)，它們取決于流動狀態(tài)，若滲流屬層流，則系數(shù)B=0，

JA?v，這與線性定律(v=KJ)的表達形式一致，此時；反之，若滲流屬紊流，系數(shù)A=0，

2

JBv。

1912年，克拉斯諾波里斯基提出了當?shù)叵滤饰闪鳡顟B(tài)時的滲流基本定律表示形

式

vKJ1/2

這表達式和福希海默提出的(1—2—16)式呈紊流態(tài)時的表達式一致。

1.2.3各向異性巖層中地下水的運動規(guī)律

一、滲流的分類

穩(wěn)定流（各運動要素不隨時間變化）

①、按運動要素(v,p,H)是否隨時間變化

非穩(wěn)定流（運動要素隨時間變化）

層流

②、按地下水質點運動狀態(tài)的混雜程度過渡區(qū)流態(tài)

紊流

承壓流

③、按地下水有無自由表面：無壓流

、、承壓—無壓流

隔水層

④、按巖層透水性以及對地下水所起作用分含水層

透水層（弱透水層）

一維流（僅沿一個方向存在流速(圖1-2-8a)）

⑤、按滲流速度在空間上變化的特點

二維流：二維流(圖1-2-8b1)

（沿兩個平面

方向存在分流速）剖面二維流(圖1-2-8b2)

三維流（三個方向均存在分流速）(圖1-2-8c)

（這好比我們在學校開運動會，100m跑人在一直線方向運動是一維流，400m跑

人在平面上跑圈運動是二維流，400m障礙跑既在平面上跑圈，還要上下跳躍就是

三維流。）

⑥、按巖層滲透性隨空間和方向變化特點，分均質各向同性、均質各向異性、非均各

向同性、非均質各向異性。

（一）、按巖土的滲透性是否隨方向變化，將巖土分為各向同性和各向異性兩類。

各向同性：滲透系數(shù)值與滲流方向無關?；蛘哒f，同一點在不同滲流方向上的滲透系數(shù)都

相等，若用滲透系數(shù)圖表示，它是一個圓如圖[1-2-8(a)]。因此可以認為K是一個標量。

各向異性：滲透系數(shù)值隨滲流方向而變化，它可用滲透系數(shù)平方根橢圓來表示[圖1-2-8(b)]，

在三維上來看是一個橢球體。因此可以認為K是一個矢量，通常用標量的形式來表示，其表

達形式如下：

KKK

xxxyxz

KKKK

yxyyyz

KKK

zxzyzz

（a）(b)

圖1-2-8各向同性(a)及各向異性(b)滲透系數(shù)圖

（二）、按巖土透水性在空間上是否變化分為均質巖土和非均質巖士。

若空間各點同方向上滲透系數(shù)相等，稱為均質巖土；否則為非均質巖土。

自然界中，根據(jù)巖土結構的特點可以存在：

①均質各向同性巖土，如均勻砂或礫石土；

②均質各向異性巖土，如均質并發(fā)育垂直大孔隙的黃土層；

③非均質各向同性巖土，如雙層結構的土層；

④非均質各向異性，裂隙、巖溶含水介質大多屬于此類巖土

二、各向異性介質中地下水流的達西定律

在前面我們得到達西定律的表達形式為：

H

vK或vKgradH

s

在這里我們把它進行推廣，

在各向同性介質中：

H

vKKJ

xxx

H

vKKJ

yyy

H

vKKJ

zzz

各向異性介質中：

vKKKJ

xxxxyxzx

vKKKJ

yyxyyyzy

vKKKJ

zzxzyzzz

式中：v、v和v是滲透流速矢量v分別在x、y和z方向的分量；J、J和J分別是

xyzxyz

水力坡度矢量J在x、y、z軸向上的分量；K、K、K、···K9個系數(shù)構成的矩陣是

xxxyxzzz

各向異性介質滲透系數(shù)張量K的分量。

三、滲透系數(shù)張量的坐標轉換

一個客觀存在的各向異性介質，其滲透系數(shù)張量K的分量K、K、K、···K會

xxxyxzzz

隨著坐標軸x、y和z的取向而變化。這正如一個確定的矢量，如流速v的三個分量v、v、

xy

v會隨x、y和z軸的取向而變，但張量K和矢量v又是確定的。我們知道，轉動坐標軸，

z

當某軸(例如x軸)的軸向與矢量v方向一致時，vv,且vv0。同樣，當坐標軸轉

vyz

到某個合適的方向時，KKKKKKzy0，即滲透系數(shù)張量變換為

xyxzyxyzzx

對角線張量，即

K00

xx

K0K0

yy

00K

zz

這時的x、y和z方向稱為各向異性介質滲透系數(shù)的主方向。若K、K和K互

xxyyzz

不相等，則介質屬于三度各向異性介質；若KKK，則屬于二度各向異性介質；

xxyyzz

若KKK則屬于各向同性介質。顯然，當坐標軸取向與各向異性介質滲透系數(shù)主

xxyyzz

方向一致時，滲透流速v的三個分量為：

H

vK

xxxx

H

vK

yyyy

H

vK

zzzz

滲透主軸方向與所選x,y,z方向不一致時，須進行坐標轉換。如何轉換呢？

以平面二維流問題為例：取ζoη坐標系的坐標軸與各向異性介質主方向一致，該坐標系稱局

部坐標系；xoy為整體坐標系；前者對后者逆時針旋轉θ角(圖1-2-10)。

圖1-2-10局部坐標系與整體坐標系圖

依上面討論，對于xoy坐標系，滲流速度分量

vKJKJ

xxxxxyy（1-2-25）

vKJKJ

yyxxyyy

對于ζoη坐標系，滲透流速分量

vKJ

（1-2-26）

vKJ

兩者存在下列關系

vvcosvsin

xy（1-2-27）

vvsinvcos

xy

設旋轉矩陣[R]

cossin

R

sincos

vv

x

R

vv

則則(1-2-27)式可表為y

JJ

Rx

JJ

y

把上式代入1-2-26得

vcosvsinK(JcosJsin)

xyxx

vsinvcosK(JsinJcos)

xyxx

解得

v(Kcos2Ksin2)J(KK)cossinJ

xxy（1-2-32）

v(KK)cossinJ(Ksin2Kcos2)J

yxy

對比（1-2-25）式和（1-2-32）式得

KKcos2Ksin2

xx

K(KK)cossin

xy（1-2-26）

K(KK)cossin

yx

KKsin2Kcos2

yy

由此可以得出一個重要的結論，滲透系數(shù)張量分量所構成的矩陣

KK

Kxxxy是一個對稱矩陣。

KK

yxyy

地下水通過非均質巖層突變界面的折射現(xiàn)象

我們在中學中學過，光從一種介質進入到另外一種介質中會在接交界面發(fā)生折射現(xiàn)象，地

下水也有類似似的的現(xiàn)象，地下水在非均質巖層中運動，當水流通過滲透系數(shù)突變的分界

面時，出現(xiàn)流線改變方向的現(xiàn)象，我們叫做地下水的折射現(xiàn)象。

圖1-3-1地下水流線折射原理概念圖

折射現(xiàn)象應滿足下列的關系式：

tgK

11

tgK

22

(1)當KK，且α1≠0時，為什么流線穿過層界面時會發(fā)生折射？折射的根本原因

21

是為了改變滲流斷面的面積，以滿足滲流連續(xù)性原理。

(2)當K=K，α=α說明在均質巖層中流線無折射現(xiàn)象。

1212

(3)當Kl≠K2時，若0，則亦等于0。；若也等于90°。也就是說，當水

112

流平行或垂直層界面時，流線不發(fā)生折射而仍然平行或垂直于層界面流動。因此，只有當

090時，才有折射現(xiàn)象產(chǎn)生。

1

(4)在層界面上發(fā)生的流線折射并不改變地下水流動的總方向，地下水流動的方向仍然受

邊界條件和源匯項等的控制

（上面幾點結合光線折射的現(xiàn)象，類比進行講解）

1.4流網(wǎng)

流網(wǎng)：滲流場內由一系列等水頭線(面)和一系列流線(面)組成的網(wǎng)格。

各向同性和各向異性巖層的流網(wǎng)特征不同，下面我們將分別敘述。

1.4.1、各向同性巖層地下水的流網(wǎng)特征

各向同性的巖層由于各方向的透水性(K值)均相等，所以流線(面)和等水頭線(面)必定互

相垂直。由它們組成的網(wǎng)格是一系列矩形網(wǎng)格。若為非均質各向同性巖層，流線通過層界面

產(chǎn)生折射現(xiàn)象。

一、流網(wǎng)的實用意義

①、流網(wǎng)能集中反映滲流場地下水運動的水動力特征，因此對流網(wǎng)的分析可以了解地下

水運動方向及補排關系；

圖l-4-1的剖面流網(wǎng)表示了地下水與地表水之間的水力聯(lián)系。圖中aa是條分流線。

在aa分流線以上，一側的地下水先流入河槽轉變?yōu)榈乇硭?，再由河槽流向另一側，轉

變?yōu)榈叵滤?。然而在aa分流線以下的地下水由河流的一側直接向河流的另一側流動。

②、定性確定水文地質條件

①河流與地下水的補、排關系；

②等水頭線的疏密反映導水性的大小；

③流線繞流時，遇弱透水層[圖l-4-2(b)]

④流線匯集時，遇強透水層[圖l-4-2(a)]

③、流網(wǎng)的研究對水文地質計算方法的選擇有重要意義；

④、流網(wǎng)特征的分析還可以確定滲流場的邊界性質；

若流線和已知邊界平行，說明沒有水流通過該邊界，為不透水邊界[圖1-4-3(a)]；若流

線和邊界相正交，該邊界為等水頭邊界[圖1-4-3(b)]；假如流線和邊界斜交，則它是屬于非

等水頭的補給或排泄邊界[圖1-4-3(c)]。

⑤、精確的流網(wǎng)可用來計算滲流區(qū)的滲流速度、滲流量以及區(qū)內任意點的水力坡度(第

十一章介紹)。

⑥、不穩(wěn)定的流場，可以分別作出不同時間的流網(wǎng)圖，即可用來分析水文地質條件的變

化，也可求得各滲流要素隨時間的變化。

二、繪制流網(wǎng)的方法

繪制流網(wǎng)的方法很多，大體上有以下三類：

①、利用野外實地觀測到滲流區(qū)各已知點的水位資料結合邊界條件來繪制；

②、可采用物理模擬或數(shù)值模擬方法獲得(這將在以后章節(jié)和后續(xù)課程中講解)；

③、有時為了分析滲流區(qū)的水文地質條件，通常根據(jù)研究區(qū)已知的補給、排泄及邊界特

征來繪制。

三、繪制信手流網(wǎng)圖步驟

①、要確定補給區(qū)、排泄區(qū)，依此來確定地下水流向，即流線的起點和終點；

②、繪制肯定的流線與等水頭線

根據(jù)滲流場邊界性質來確定天然的流線與等水頭線，如隔水邊界、無入滲補給的潛水面

一定是一條流線。

河流、湖泊、海、井孔邊界一定是一條等水頭線。

③、當出現(xiàn)兩個以上排泄區(qū)時，依據(jù)概念分析滲流場內由于源匯形成的分流面。

④、已經(jīng)流網(wǎng)的性質繪制其他地方的流網(wǎng)。

1.4.2、各向異性巖層地下水的流網(wǎng)特征

在各向異性介質中，流線和等水頭一般不再呈正交關系。

本章小結：

①、假想一種水流能充滿整個多孔介質(包括空隙和固體部分)的連續(xù)體；而且這種假想水流

的阻力與實際水流在空隙中所受的阻力相同；它的任意一點水頭H和流速矢量V等要素與

實際水流在該點周圍一個小范圍內（即典型體元）的平均值相等。這種假想水流便是宏觀水

平的地下水流，我們稱之為“滲流”，它所占據(jù)的空間稱“滲流場”。

②、質點流速u＇、空隙平均流速u和滲透流速v是三個不同的概念，其中空隙平均流速u

和滲透流速v的關系是：vnu

③、沿法線方向的水頭變化稱為水力坡度。即

dH

J

dn

在各向同性巖層中，流線是垂直穿過等水頭面，與等水頭面的法線方向重合。因而水力

坡度可以表示為：

dH

J

ds

那水力坡度J在空間直角坐標系表達為三個分量，即

dHdHdH

JJJ

dxdydz

④、達西定律：

dH

穩(wěn)定流：vK

ds

ll

非穩(wěn)定流：tlnHlnH

K0K

適用范圍：層流條件下。

⑤、滲透系數(shù)能反映巖層的透水性能，是地下水計算中一個不可缺少的指標。那么滲透系數(shù)

的大小除了受到空隙介質的影響外還受到液體物理性質的影響。

⑥、按巖土的滲透性是否隨方向變化，將巖土分為各向同性和各向異性兩類，

按巖土透水性在空間上是否變化分為均質巖土和非均質巖士。

⑦、在各項同性介質中，K是個標量，在各向異性介質中K是一個張量。

tgK

⑧、地下水通過非均質巖層突變界面的折射現(xiàn)象，折射現(xiàn)象滿足11。

tgK

22

⑨、流網(wǎng)是滲流場內由一系列等水頭線(面)和一系列流線(面)組成的網(wǎng)格。

⑩、各向同性的巖層流線(面)和等水頭線(面)必定互相垂直。由它們組成的網(wǎng)格是一系列矩

形網(wǎng)格；在各向異性介質中，流線和等水頭一般不再呈正交關系。

第二章地下水運動的基本微分方程及定

解條件

本章概述：

重點理解地下水彈性儲存的含義，掌握彈性釋水系數(shù)和重力給水度的概念；掌握滲流的

連續(xù)性方程，潛水、承壓水和越流含水層中地下水非穩(wěn)定運動的基本微分方程的推導過程；

熟悉定解條件，并能夠正確建立數(shù)學模型。

重難介紹：了解地下水三維流動基本微分方程的基本形式以及幾種簡單條件下的流動

微分方程

本章學時數(shù)：4學時（180分鐘）

教學內容：

2.1滲流連續(xù)性方程

在上節(jié)課中，為了研究的方便，引入了“滲流”、“典型體”的概念，因此可以地下水的

滲流看作是連續(xù)介質，所以流體在運動過程中是連續(xù)充滿著它所據(jù)的空間。流體運動時的這

種連續(xù)性，若用數(shù)學方程式來表示，那就是連續(xù)性方程。

連續(xù)性方程是質量守恒定律應用于流體運動的具體表現(xiàn)形式。

在滲流場中，各點的滲流速度的大小、方向都可能不相同。為了反映流體運動中的質量

守恒，就需要建立以微分方程表達的連續(xù)性方程。

為了反映含水層中地下水運動的普遍規(guī)律，我們選定在各向異性多孔介質中建立地下水

三維不穩(wěn)定流動的連續(xù)性方程。

>>水是可壓縮的；

>>忽略多孔介質固體顆粒的壓縮性；

>>多孔介質骨架在垂直方向上是可壓縮的，但水平方向不可變形；

>>為了方便，取直角坐標系的x、y，z軸分別平行于各向異性巖層滲透系數(shù)的主方向。

2.1.2方程建立的過程

我們在各向異性含水介質中取一微小立方體(圖2-1-1)，以這個微小立方體的多孔介質

為均衡體，以△t為均衡時段，建立其質量守恒方程，即滲流連續(xù)性方程。

（1）△t時間段內，三個方向凈流入均衡體的質量：

①△x方向上，水凈流入均衡體的質量：

在△t時段內，沿x方向通過左側x斷面流入均衡體的質量為

m(v)|yzt

xx(x,y,z,t)

在同一△t時段內，沿x方向通過右側x+△x斷面流出均衡體的質量為

m(v)|yzt

xxx(xx,y,z,t)

那么，在△t時段內，沿x方向通過左右側斷面凈流入均衡體的質量為

mmvyzt(v)|yzt

xxx

x(x,y,z,t)x(xx,y,z,t)

v(v)|yzt

x(x,y,z,t)x(xx,y,z,t)

②同理：△y方向上，水凈流入均衡體的質量為

mmvyzt(v)|yzt

yyy

y(x,y,z,t)y(x,yy,z,t)

v(v)|yzt

y(x,y,z,t)y(x,yy,z,t)

③同理：△z方向上，水凈流入均衡體的質量為

mmvyzt(v)|yzt

zzz

z(x,y,z,t)z(x,y,zz,t)

v(v)|yzt

z(x,y,z,t)z(x,y,zz,t)

④那么，在△t時間段內，三個方向凈流入均衡體的質量為

m(mm)(mm)(mm)

xxxyyyzzz

[()()][()()]

{x(x,y,z,t)x(xx,y,z,t)y(x,y,z,t)x(x,yy,z,t)

xy

[()()]

z(x,y,z,t)z(x,y,zz,t)}xyzt（a）

z

（2）△t時間段內，均衡體內所儲存地下水質量的變化△m：

當?shù)叵滤疄椴环€(wěn)定流動時，△m≠0，這個增量△m將表現(xiàn)為均衡體內所儲存的地下水質

量的變化，即

mnxyz(x,y,z,tt)nxyz(x,y,z,t)（b）

（3）質量守恒

在連續(xù)流動條件下，依據(jù)質量守恒定律，從均衡體外部流入水的質量等于均衡體內部水

的質量變化量，即a、b兩式相等：

[()()][()()]

yy

{x(x,y,z,t)x(xx,y,z,t)(x,y,z,t)(x,yy,z,t)

xy

[()()]

z(x,y,z,t)z(x,y,zz,t)}xyzt

z

nxyznxyz

(x,y,z,tt)(x,y,z,t)

方程兩端除以△t：

[()()][()()]

yy

{x(x,y,z,t)x(xx,y,z,t)(x,y,z,t)(x,yy,z,t)

xy

[()()]

z(x,y,z,t)z(x,y,zz,t)}xyz

z

nxyz(x,y,z,tt)nxyz(x,y,z,t)

t

并取△x→0，△y→0，△z→0和△t→0，則有

()()()

[xyz]xyz(nxyz)2-1-1

xyzt

式2-1-1即為滲流的連續(xù)性方程。

它用數(shù)學的形式表達了滲流區(qū)內任何一個“局部”所必須滿足的質量守恒定律，又稱

為質量守恒方程。

2.1.3小結

連續(xù)性方程是研究地下水運動的基本方程。即使有時不直接采用式2-1-1，但建立有關

關系式時，也必須應用能反映質量守恒原理的另一種形式的連續(xù)性方程來代替。

包含、、和ρ、n、△z等變量的地下水活動連續(xù)性方程只是建立地下水運動基

vxvyvz

本微分方程的基礎之一。

為建立以水頭H為因變量的地下水運動的基本微分方程，要引入滲流基本定律，將、

vx

、轉化為以水頭為變量的關系式。至于要解決ρ、n、△z與水頭或水壓P的關系時，

vyvzH

要涉及水和多孔介質的壓縮性問題。

2.2水及多孔介質的壓縮方程

2.2.1地下水的壓縮方程

在等溫條件下，水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有

1dV

dp（2-2-3）

V

式中：p—水壓；

V—水的體積；

—水的體積彈性壓縮（或膨脹系數(shù)），為正值，單位為1/MPa，的倒數(shù)為體積彈

性模量E；E和值隨其溫度而變化，但變化不大，一般可視為常數(shù)。

因為：Vm

恒量

其中：—水的密度。

所以：d(V)d(V)Vd()0

dV

所以：ddp（2-2-6）

V

式2-2-6表征ρ與p的關系。

p