數(shù)字控制器的設計方法

（優(yōu)選）數(shù)字控制器的設計方法現(xiàn)在是1頁\一共有123頁\編輯于星期三3．1數(shù)字控制器的設計方法分類按其設計特點分為二大類：1.模擬化設計方法一般可按以下步驟進行：第一步：用連續(xù)系統(tǒng)理論確定；第二步：用合適的離散化方法由求出；第三步：檢查系統(tǒng)性能是否滿足設計要求；第四步：將變?yōu)椴罘址匠袒驙顟B(tài)空間方程，并編寫計算機程序。需要時可運用混合仿真的方法檢查系統(tǒng)的設計與程序編制是否正確?，F(xiàn)在是2頁\一共有123頁\編輯于星期三2.離散化設計方法

首先用適當?shù)碾x散化方法將連續(xù)部分（如圖所示的保持器和被控對象）離散化，使整個系統(tǒng)完全變成離散系統(tǒng)，然后用離散控制系統(tǒng)的設計方法來設計數(shù)字控制器，最后用計算機實現(xiàn)控制功能。

現(xiàn)在是3頁\一共有123頁\編輯于星期三3．兩種方法的比較

模擬化設計方法可引用成熟的經(jīng)典設計理論和方法。但在“離散”處理時，系統(tǒng)的動態(tài)特性會因采樣周期的增加而改變，甚至導致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。離散化設計方法運用的數(shù)學工具是Z變換與離散狀態(tài)空間分析法。這種方法是一種直接數(shù)字設計方法，不僅更具有一般性，而且穩(wěn)定性好、精度高。相對而言有時稱為精確法。需要注意的是，該法的精確性僅限于線性范圍內(nèi)以及采樣點上才成立?，F(xiàn)在是4頁\一共有123頁\編輯于星期三3．2模擬控制器的離散化表征模擬校正裝置的重要參數(shù)是：①極點與零點的數(shù)目；②頻帶寬度與截止頻率；③DC增益；④相位裕度；⑤增益裕度、超調(diào)量、閉環(huán)頻率響應峰值等。

在選擇模擬控制器的離散化方法時，首先必須明白對離散化控制算法有何要求，以保證模擬校正裝置的主要特性能得到保持?，F(xiàn)在是5頁\一共有123頁\編輯于星期三模擬控制器的離散化的主要方法Z變化法帶有零階保持器的Z變換法差分變換法雙線性變換法現(xiàn)在是6頁\一共有123頁\編輯于星期三1.Z變化法

Z變換法就是在D(z)與D(s)之間建立的一種映射關系（），這種映射關系保證模擬控制器的脈沖響應的采樣值與數(shù)字控制器的輸出相同。將D(s)寫成部分分式的形式：則離散化校正裝置為：現(xiàn)在是7頁\一共有123頁\編輯于星期三

在設計中所需要的高頻部分出現(xiàn)頻率混迭問題。為了解決這一問題,可以在上串聯(lián)一個低通濾波器，從而使轉(zhuǎn)化為新的控制器。增加采樣角頻率，使遠高于控制器的截止頻率。

Z變換的特點：1．與的脈沖響應相同；2．如果是穩(wěn)定的，則也穩(wěn)定；3．不能保持的頻率響應，頻譜以進行延伸；4．將的整數(shù)倍的信號，變換為Z平面上同一頻率點，所以出現(xiàn)了混迭現(xiàn)象(為采樣角頻率)；5．如果是一個復雜的傳遞函數(shù)，則其Z變換很可能無法在一般Z變換表中查到，這時需要進行部分分式展開現(xiàn)在是8頁\一共有123頁\編輯于星期三2.帶有零階保持器的Z變換法在原線性系統(tǒng)的基礎上串聯(lián)一個虛擬的零階保持器，再進行Z變換從而得到D(s)的離散化模型D(z)加保持器的Z變換法的特點是：(1)如果D(s)是穩(wěn)定的，D(z)則也穩(wěn)定；(2)如果D(s)是一個復雜的傳遞函數(shù)，其Z變換很可能無法在一般Z變換表中查到，這里需要進行部分分式展開；(3)由于串聯(lián)了零階保持器，D(z)不能保持D(s)的脈沖響應和頻率響應。現(xiàn)在是9頁\一共有123頁\編輯于星期三3.差分變換法（又稱數(shù)值積分法）差分變換法將微分方程離散化為差分方程，最后求z傳遞函數(shù)。即變量的導數(shù)用有限差分來近似地等效，從而得到一個逼近給定微分方程的差分方程，其中最簡單的差分變換是用后向差分或前向差分代替一階導數(shù)。后向差分由可得或于是得出后向差分變換式：現(xiàn)在是10頁\一共有123頁\編輯于星期三例如：或后向差分將使頻率響應產(chǎn)生畸變。這一點可從平面的軸在Z平面上的映射可以看出。當時，現(xiàn)在是11頁\一共有123頁\編輯于星期三取的實部與虛部：于是S平面上的直線(Ω從到)映射到Z平面是一個用下式描述的圓：上式是一個圓心在處，半徑為的圓，如圖3．2(a)所示，從圖中可以看出平面軸在Z平面上的映像，除值極小情況外，均在單位圓內(nèi)?，F(xiàn)在是12頁\一共有123頁\編輯于星期三由此可得后向差分的性質(zhì)是：(1)使用方便，而且不要求傳遞函數(shù)的因式分解；(2)一個穩(wěn)定的變換為一個穩(wěn)定的；(3)不能保持的脈沖與頻率響應?，F(xiàn)在是13頁\一共有123頁\編輯于星期三或前向差分:當時，表明其映射為截于單位圓上的一點且平行于縱軸的一條直線，如圖3.2(b)所示。由此可知，S平面jΩ的軸在Z平面上的映像除ΩT的極小值外，均在單位圓外，因此這種方法將不利于控制器的穩(wěn)定性。

現(xiàn)在是14頁\一共有123頁\編輯于星期三根據(jù)z變換定義:展成級數(shù)：同理：得雙線性變換公式：4.雙線性變換法現(xiàn)在是15頁\一共有123頁\編輯于星期三雙線性變換公式可以進行實s傳遞函數(shù)與z傳遞函數(shù)相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式如下：

現(xiàn)在是16頁\一共有123頁\編輯于星期三各種離散化方法的比較A.本茨和M.普里斯勒通過對圖3.5所示的位置隨動系統(tǒng)的模擬化設計進行研究，得出如下研究結論：(1)最好的離散化方法是雙線性變換法，該方法對低采樣頻率的結構也很好；(2)如果增益是惟一的性能標準的話，則匹配Z變換法的效果比雙線性的效果更好一些；(3)采用頻率曲折法可以保持系統(tǒng)臨界頻率的位置，但不能保持系統(tǒng)的增益和相位。(4)如果模擬控制器中一個極點或零點的位置遠離我們所感興趣的頻率以外，則該極點或零點可以不考慮。現(xiàn)在是17頁\一共有123頁\編輯于星期三3.3數(shù)字PID控制3.3.1

理想微分PID控制

設系統(tǒng)的誤差為e(t)，則模擬PID控制規(guī)律為它所對應的連續(xù)時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在是18頁\一共有123頁\編輯于星期三（1）比例調(diào)節(jié)器

控制規(guī)律：根據(jù)誤差進行調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)沿著減小誤差的方向運動。誤差大則控制作用也大。比例調(diào)節(jié)器一般不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。增大KP可以加快系統(tǒng)的響應速度及減少穩(wěn)態(tài)誤差。但過大的KP有可能加大系統(tǒng)超調(diào)，產(chǎn)生振蕩，以至于系統(tǒng)不穩(wěn)定。

現(xiàn)在是19頁\一共有123頁\編輯于星期三（2）比例積分調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：積分調(diào)節(jié)的引入，可以消除或減少控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。但是積分的引人，有可能使系統(tǒng)的響應變慢，并有可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。增加Ti即減少積分作用，有利于增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調(diào)，但系統(tǒng)靜態(tài)誤差的消除也隨之變慢。

現(xiàn)在是20頁\一共有123頁\編輯于星期三（3）PID調(diào)節(jié)器控制規(guī)律：微分環(huán)節(jié)的加入，可以在誤差出現(xiàn)或變化瞬間，按偏差變化的趨向進行控制。它引進一個早期的修正作用，有助于增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。微分時間常數(shù)Td的增加即微分作用的增加，將有助于加速系統(tǒng)的動態(tài)響應，使系統(tǒng)超調(diào)減少，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。但微分作用有可能放大系統(tǒng)的噪聲，減低系統(tǒng)的抗干擾能力。理想的微分器是不能物理實現(xiàn)的，必須要采用適當?shù)姆绞浇啤，F(xiàn)在是21頁\一共有123頁\編輯于星期三PID控制器連續(xù)時間系統(tǒng)傳遞函數(shù)

微分積分比例現(xiàn)在是22頁\一共有123頁\編輯于星期三PID模擬控制器的離散化用矩形法來計算數(shù)值積分：用后向差分來代替微分：現(xiàn)在是23頁\一共有123頁\編輯于星期三則離散化的PID控制規(guī)律為：上式表示的控制算法提供了執(zhí)行機構的位置所以稱為PID位置控制算法。這種算式中有一累加項，隨著時間k的增加，累加的項次也依次增加，不利于計算機計算。另外，如果由于某種干擾因素導致u(k)為某一極限值時，被控對象的輸出也將作大幅度的劇烈變化，由此可能導致嚴重的事故。就其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所給出的只是當前控制量的大小，與此前時刻控制量的大小卻完全不相關。為此，有必要改進上述算法。

現(xiàn)在是24頁\一共有123頁\編輯于星期三在很多控制系統(tǒng)中，由于執(zhí)行機構是采用步進電機或多圈電位器進行控制的，所以，只要給出一個增量信號即可。

寫出K-1的輸出值：上兩式相減得PID增量式控制算法現(xiàn)在是25頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是26頁\一共有123頁\編輯于星期三增量式PID算法與位置式PID算法的比較：

兩者本質(zhì)相同，只是前者需要使用有附加積分作用的執(zhí)行機構。但有如下優(yōu)點：1、計算機只輸出增量，誤動作時影響小，必要時可增設邏輯保護；2、手動/自動切換時沖擊?。?、算式不需要累加，只需記住四個歷史數(shù)據(jù)，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用內(nèi)存少，計算方便，不易引起誤差累積?，F(xiàn)在是27頁\一共有123頁\編輯于星期三數(shù)字PID控制算法程序框圖

現(xiàn)在是28頁\一共有123頁\編輯于星期三PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)形式兩邊求z變換，并注意到，得

現(xiàn)在是29頁\一共有123頁\編輯于星期三

理想微分PID控制的實際效果并不理想，從階躍響應看，它的微分作用只能維持一個采樣周期。由于工業(yè)用執(zhí)行機構(如氣動調(diào)節(jié)閥或電動調(diào)節(jié)機構)的動作速度限制，致使偏差大時，微分作用不能充分發(fā)揮，再加之理想微分還容易引進高頻干擾。為此，實際應用中，幾乎所有的數(shù)字控制回路，通常都加一低通濾波器來限制高頻干擾的影響。

問題：現(xiàn)在是30頁\一共有123頁\編輯于星期三1、實際微分PID控制算式一通過一級低通濾波器來限制高頻干擾的影響3．3．2實際微分PID控制低通濾波器和理想微分PID算式相結合后的傳遞函數(shù)為：現(xiàn)在是31頁\一共有123頁\編輯于星期三若令（Kd為微分系數(shù)）則差分方程：

現(xiàn)在是32頁\一共有123頁\編輯于星期三2、實際微分PID控制算式之二實際微分PID算式的傳遞函數(shù)：

現(xiàn)在是33頁\一共有123頁\編輯于星期三利用差分變換法得出微分作用輸出差分方程為：

圖中的前置方塊主要起微分作用，所以它也稱為微分先行PID控制?，F(xiàn)在是34頁\一共有123頁\編輯于星期三積分作用輸出差分方程為：比例作用輸出差分方程為：

位置型算式為：現(xiàn)在是35頁\一共有123頁\編輯于星期三同樣，也可以得出其增量式現(xiàn)在是36頁\一共有123頁\編輯于星期三3、實際微分PID控制算式之三–不完全微分微分環(huán)節(jié)上加一個慣性環(huán)節(jié)現(xiàn)在是37頁\一共有123頁\編輯于星期三比例、積分和微分三個框的輸出差分方程現(xiàn)在是38頁\一共有123頁\編輯于星期三由圖可見，本算法是微分環(huán)節(jié)上加一個慣性環(huán)節(jié)，故也稱不完全微分PID控制它僅改變了標準PID控制器的微分部分，使得在偏差發(fā)生突變時，微分作用可比較平緩?，F(xiàn)在是39頁\一共有123頁\編輯于星期三3.3.3標準PID控制算法的改進

在實際應用中，數(shù)字PID控制器的控制效果有時不如模擬PID控制器。

原因：主要是因為數(shù)字調(diào)節(jié)器的控制量在一個采樣周期內(nèi)保持不變，使得在這段時間內(nèi)系統(tǒng)相當于開環(huán)運行。其次由于計算機的數(shù)字運算以及數(shù)字量輸入輸出的時間，使得控制作用在時間上有延滯，計算機的有限字長及A／D，D／A轉(zhuǎn)換精度也給控制量帶來了誤差。辦法：充分發(fā)揮計算機運算速度快，邏輯判斷功能強，編制程序靈活等優(yōu)勢。手段：對PID算法進行了一系列改進。

現(xiàn)在是40頁\一共有123頁\編輯于星期三3.3.3標準PID控制算法的改進3.3.3.1積分項的改進

在PID控制中，積分作用是消除余差。1、梯形積分－－提高積分項的運算精度將矩形積分用梯形積分來代替。代價：增大存儲量和需要更多的運算時間。現(xiàn)在是41頁\一共有123頁\編輯于星期三2、消除積分不靈敏度采用以下措施：增加A/D轉(zhuǎn)換位數(shù)，加長運算字長，這樣可提高運算精度。當積分項連續(xù)出現(xiàn)小于輸出精度ε的情況下，不要把它們作為“零”舍掉，而是把它們一次一次累加起來，即直到累加值Si大于ε時，再輸出Si?，F(xiàn)在是42頁\一共有123頁\編輯于星期三3、PID算法積分飽和現(xiàn)象及其抑制圖3．12PID位置式算法的積分飽和現(xiàn)象

現(xiàn)在是43頁\一共有123頁\編輯于星期三過限削弱積分法

一旦控制變量進入飽和區(qū)，則程序只執(zhí)行削弱積分項的運算，而停止增大積分項的運算。如圖所示，u出現(xiàn)飽和后，在e>0階段，因為這時將增大積分項，所以停止積分運算。而在e<0階段，e為負將削弱積分項，因此執(zhí)行積分運算。

現(xiàn)在是44頁\一共有123頁\編輯于星期三積分分離法

當誤差e大于某個規(guī)定的門限值時，刪去積分作用，從而使∑ei不至于過大。只有當e較小時，才引入積分作用，以消除穩(wěn)態(tài)誤差。

現(xiàn)在是45頁\一共有123頁\編輯于星期三引入積分分離法后，控制量不易進入飽和區(qū)，即使進入了，也能較快退出。所以系統(tǒng)的輸出特性比標準PID控制得到了改善。與位置式算法相比，增量式PID算法沒有累加和式，因此不會由于積分項引起飽和。但是，當給定值突變時，比例及微分項的計算值也可能引起控制量超過極限值的飽和情況，從而減慢了系統(tǒng)的動態(tài)過程?？朔霓k法之一是“積累補償法”，即將那些因受限而未能執(zhí)行的增量信息積累起來，待到一旦可能，便再補充執(zhí)行?，F(xiàn)在是46頁\一共有123頁\編輯于星期三3.3.3.2微分項的改進

由于微分作用是在相鄰的采樣周期內(nèi)進行，因此它的強弱不僅與微分時間，放大系數(shù)有關，而且與采樣周期T也有明顯關系。當T太小時，二次采樣之間被控參數(shù)變化一般不會太大，因而微分作用就弱。為了在T小時增加微分作用，可增加Kp或Td，但這樣一來，會使抗噪聲特性惡化，微分作用對它們又特別敏感，因此應設法減少噪聲和數(shù)據(jù)誤差在微分項中的影響?，F(xiàn)在是47頁\一共有123頁\編輯于星期三微分項的改進方法①偏差平均②減少計算次數(shù)——為了提高計算機使用效率③測量值微分在微分項中不考慮給定值r(k)，只對測量值y(k)(即被控量)進行微分。現(xiàn)在是48頁\一共有123頁\編輯于星期三

必須注意，對串級控制的副回路而言，給定值是由主回路輸出給定的，其變化一般也應加以微分處理，因此，應采用原微分項算式對偏差進行微分。需要指出的是，數(shù)字PID算式中的測量值微分的微分項的物理意義，與模擬PID算式中的微分項一樣，它們的輸出都與被控參數(shù)的變化率成正比。只是由于數(shù)字PID在采樣周期內(nèi)進行一次，因此這里所指的變化率實際上具有平均變化率的概念。同樣數(shù)字PID微分項具有超前作用，它與“零階保持器”具有的滯后正相反，因此可以互相補償，以改善控制性能。

現(xiàn)在是49頁\一共有123頁\編輯于星期三3．3．3．3干擾的抑制數(shù)字PID控制器的輸入量是系統(tǒng)的給定值r和系統(tǒng)實際輸出y的偏差值e。在進入正常調(diào)節(jié)過程后，由于e值不大，相對而言，干擾對控制器的影響也就很大。為了消除干擾的影響，除了在硬件上采取相應的措施以外，在控制算法上也應采取一定措施。四點中心差分法的思想是：不直接采用誤差e(i)，而是用過去和現(xiàn)在四個采樣時刻的誤差平均值作為基準：現(xiàn)在是50頁\一共有123頁\編輯于星期三通過加權求和，構成近似微分

修正后的PID位置算法：修正后的PID增量式算法：現(xiàn)在是51頁\一共有123頁\編輯于星期三3．3．4數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定

PID調(diào)節(jié)器的設計一般來說可以分成兩個部分，首先是選擇調(diào)節(jié)器的結構，以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，并盡可能地消除穩(wěn)態(tài)誤差。一旦調(diào)節(jié)器的結構確定下來，調(diào)節(jié)器設計的下一步任務就歸結為參數(shù)整定。

3．3．4．1PID調(diào)節(jié)器參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響⑴放大倍數(shù)Kp對系統(tǒng)性能的影響

①對系統(tǒng)的動態(tài)性能：加大，將使系統(tǒng)動作靈敏，響應速度加快，偏大，衰減振蕩次數(shù)增多，調(diào)節(jié)時間變長。當太小又會使系統(tǒng)的響應速度緩慢。Kp的選擇以輸出響應產(chǎn)生4：1衰減過程為宜。②對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：在系統(tǒng)的穩(wěn)定性的前提下,加大可以減少余差(又稱殘差或穩(wěn)態(tài)誤差)，但靠它不能消除余差。因此的整定主要依據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)性能?，F(xiàn)在是52頁\一共有123頁\編輯于星期三⑵積分時間Ti對系統(tǒng)性能的影響①對系統(tǒng)的動態(tài)性能：積分時間通常影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。太小，系統(tǒng)將不穩(wěn)定，偏小振蕩次數(shù)較多；太大，系統(tǒng)的動態(tài)性能變差；當較適合時，系統(tǒng)的過渡過程特性比較理想。②對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：積分時間的作用，有助于消除系統(tǒng)余差，提高了系統(tǒng)控制精度，但若了太大，積分作用太弱，則不能減少余差。⑶微分時間Td對系統(tǒng)性能的影響

①對系統(tǒng)的動態(tài)性能：微分時間常數(shù)Td的增加即微分作用的增加可以改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，如超調(diào)量減少，調(diào)節(jié)時間縮短，允許加大比例控制，使穩(wěn)態(tài)誤差(余差)減少，提高控制精度。但微分作用有可能放大系統(tǒng)的噪聲，減低系統(tǒng)的抗干擾能力。現(xiàn)在是53頁\一共有123頁\編輯于星期三②對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能：微分環(huán)節(jié)的加入，可以在誤差出現(xiàn)或變化瞬間，按偏差變化的趨向進行控制。它引進一個早期的修正作用，有助于增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是54頁\一共有123頁\編輯于星期三采樣周期的選取應與PID參數(shù)的整定綜合起來考慮，選取采樣周期時，一般應考慮以下因素：(1)擾動信號(2)對象的動態(tài)特性(3)計算機所承擔的工作量(4)對象所要求的控制品質(zhì)(5)與計算機及A／D、D／A轉(zhuǎn)換器性能有關(6)考慮執(zhí)行機構的響應速度。3．3．4．2采樣周期的選定現(xiàn)在是55頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是56頁\一共有123頁\編輯于星期三3．3．4．3實驗確定法整定PID參數(shù)(1)試湊法①首先只整定比例系數(shù)，將由小變大，使系統(tǒng)響應曲線略有超調(diào)②若在比例調(diào)節(jié)基礎上，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差太大，則必須加入積分環(huán)節(jié)。③若使用PI調(diào)節(jié)器消除了穩(wěn)態(tài)誤差，但系統(tǒng)動態(tài)響應經(jīng)反復調(diào)整后仍不能令人滿意，則可以加入微分環(huán)節(jié)，構成PID調(diào)節(jié)器。

現(xiàn)在是57頁\一共有123頁\編輯于星期三(2)PID參數(shù)的工程整定法①臨界比例法②階躍曲線法現(xiàn)在是58頁\一共有123頁\編輯于星期三3．3．4．4數(shù)字PID的變參數(shù)整定(1)按照負荷預先設置整定參數(shù)方法(2)時序控制按一定時間順序采用相應的Kc、Td、Ti參數(shù)。(3)人工模型模擬現(xiàn)場操作工人的操作方法，根據(jù)經(jīng)驗決定各種情況下的參數(shù)值，并編入程序中，然后在執(zhí)行程序時，自動改變這些參數(shù)和給定值?，F(xiàn)在是59頁\一共有123頁\編輯于星期三舉例：1、對于一階慣性對象，負荷變化不大，工藝要求不變，可采用P控制，例如：壓力、液位、串級副付回路等。2、對于一階慣性加純滯后對象，負荷變化不大，要求控制精度較高的場合，可采用PI控制，例如用于壓力、流量、液位控制。3、對于純滯后時間較大，控制性能要求高的場合，可采用PID控制，如過熱蒸汽溫度控制，成分控制等。4、對于二階以上慣性加純滯后對象，負荷變化較大，控制性能要求較高時，應采用串級、前饋-反饋，前饋-串級或純滯后補償?shù)葟碗s控制。現(xiàn)在是60頁\一共有123頁\編輯于星期三3．3．4．5數(shù)字PID參數(shù)的最優(yōu)整定(1)性能指標的選擇

(2)尋優(yōu)方法多參數(shù)的尋優(yōu)已有不少成熟的算法，如單純型加速法、梯度法等。由于單純型加速法具有控制參數(shù)收斂快，計算工作量小等優(yōu)點，因此被普遍應用?，F(xiàn)在是61頁\一共有123頁\編輯于星期三3．4最少拍數(shù)字控制系統(tǒng)的設計

若已知廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，并且根據(jù)對控制系統(tǒng)的性能的要求確定Φ(z)，則數(shù)字控制器D(z)也就確定下來了。

現(xiàn)在是62頁\一共有123頁\編輯于星期三

數(shù)字控制器的直接數(shù)字設計方法，就是根據(jù)控制系統(tǒng)的性能要求，應用離散控制理論，直接設計數(shù)字控制系統(tǒng)。直接設計法的步驟為：1．根據(jù)對控制系統(tǒng)性能指標的要求和其它的約束條件，確定閉環(huán)系統(tǒng)脈沖函數(shù)。2．根據(jù)D(z)計算公式，確定數(shù)字控制器。3．編程實現(xiàn)。

現(xiàn)在是63頁\一共有123頁\編輯于星期三最少拍控制系統(tǒng)是在最少的幾個采樣周期內(nèi)達到在采樣時刻輸入輸出無誤差的系統(tǒng)。直接數(shù)字設計法設計最少拍控制系統(tǒng)，要考慮以下幾點。

(1)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求：對于特定的參考輸入信號，到達穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)在采樣時刻精確實現(xiàn)對輸入的跟蹤。(2)最快速達到穩(wěn)態(tài)的要求

。(3)D(z)應是物理可實現(xiàn)的要求。(4)閉環(huán)系統(tǒng)應是穩(wěn)定的要求。

現(xiàn)在是64頁\一共有123頁\編輯于星期三

①階躍信號

②斜坡信號

③加速度信號

一般表達式：其中，A(z)中不含z=1的因子。

(1)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的要求現(xiàn)在是65頁\一共有123頁\編輯于星期三系統(tǒng)的誤差信號應滿足稱1-Φ(z)為誤差脈沖傳遞函數(shù)。根據(jù)z變換的終值定理。

要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)為零，則要求1-Ф(z)中必須含有(1-Z-1)的至少m次因子，即：其中，F(xiàn)1(z)為一個待定的z-1多項式。(3.79)現(xiàn)在是66頁\一共有123頁\編輯于星期三(2)最快速達到穩(wěn)態(tài)的要求

因為A(z)和F1(z)都是z-1多項式，所以E(z)是z-1的有限階多項式。它的次數(shù)等于E(z)趨于零的拍數(shù)。為使E(z)盡快為零，我們希望這個多項式的次數(shù)為最小。使式3.82種右邊第一個因子等于1，即p=m，設計最少拍控制系統(tǒng)的一般公式：

若要使設計的數(shù)字控制器最簡單，且E(z)以最少的拍數(shù)達到零，可選F1(z)＝1。但選F1(z)＝1，可能使系統(tǒng)不能滿足D(z)物理可實現(xiàn)和穩(wěn)定性的要求，我們根據(jù)再進一步分析其它性能要求來確定是否可以實現(xiàn)。

將式(3.78)、式(3.81)代人式(3.79)，可得(3.82)(3.83)現(xiàn)在是67頁\一共有123頁\編輯于星期三(3)D(z)物理可實現(xiàn)的要求

所謂數(shù)字控制器D(z)物理可實現(xiàn)問題，是要求數(shù)字控制器算法中不允許出現(xiàn)對未來時刻的信息的要求。這是因為未來信息尚屬未知，不能用來計算控制量。具體說來，就是D(z)的無窮級數(shù)展開式中不能出現(xiàn)z的正冪項。

設廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為若我們希望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)為現(xiàn)在是68頁\一共有123頁\編輯于星期三其中：

則代入式可求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)：

顯然，r<l若，則D(z)的無窮級數(shù)展開式將出現(xiàn)z的正冪項。這意味著在計算u(k)時需要e(k+1)，e(k+2)，…等信息，這是不可能的。因為，這時的D(z)不是物理可實現(xiàn)的。為此，則要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)應具有形式：現(xiàn)在是69頁\一共有123頁\編輯于星期三(4)閉環(huán)穩(wěn)定性要求G(z)若有單位圓上或單位圓外的極點，并且該極點沒有與D(z)或1-Ф(z)的零點對消的話，則它也將成為Ф(z)的極點，從而造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果我們利用D(z)的零點去對消G(z)不穩(wěn)定的極點，雖然從理論上來說可以得到一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，但是這種穩(wěn)定是建立在零極點完全對消的基礎上的。當系統(tǒng)的參數(shù)產(chǎn)生漂移，或者辨識的對象有誤差時，這種零極點的對消不可能準確實現(xiàn)，從而引起閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，我們只能利用1－Ф(z)的零點來對消這些極點?？梢詫⑹?.74重寫成：現(xiàn)在是70頁\一共有123頁\編輯于星期三另外，由可得（3.89)現(xiàn)在是71頁\一共有123頁\編輯于星期三若G(z)有位于單位圓外或單位圓上的零點，則數(shù)字控制器輸出序列{u(k)}將隨著時間的推移而趨向于無窮大，造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。為克服這一現(xiàn)象，Ф(z)的零點必須包含G(z)的所有在單位圓外或單位圓上的零點?？傊瑸楸ＷC閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，1－Ф(z)的零點必須包含有G(z)的不穩(wěn)定極點，而Ф(z)零點必須包含有G(z)的不穩(wěn)定零點。設現(xiàn)在是72頁\一共有123頁\編輯于星期三G’(z)是G(z)的不包含單位圓外或單位圓上的零極點部分。上式表示G(z)有Z1，Z2，Z3，…，Zw等w個單位圓外或單位圓上的零點，P1，P2，P3，…，Pν等ν單位圓外或單位圓上的極點。為保證閉環(huán)穩(wěn)定性，Ф(z)和1－Ф(z)必須滿足：F2(z)是z-1的有限階多項式，可以利用它使Ф(z)滿足其它的要求。

F3(z)是z-1的有限階多項式，可以利用它使1－Ф(z)滿足其它的要求。

(3.91)(3.92)現(xiàn)在是73頁\一共有123頁\編輯于星期三應當指出，當G(z)有z＝1的極點時，相對于該極點，根據(jù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求導致的式(3.83)與根據(jù)閉環(huán)穩(wěn)定性要求導致的式(3.92)是一致的。為使系統(tǒng)具有最少拍響應，可以將這兩項合并。換句話說，若P1，P2，P3，…，Pν中有k個為1時，則將式3.92中對應的(1-z-1)k與式中的(1-z-1)m合并為(1-z-1)j，且取j=max(k，m)。現(xiàn)在是74頁\一共有123頁\編輯于星期三此時式(3.92)變?yōu)楫攌>m時：當m>k時：現(xiàn)在是75頁\一共有123頁\編輯于星期三綜合以上4個對Ф(z)的要求，總結出最少拍控制系統(tǒng)設計步驟如下：1．求出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)現(xiàn)在是76頁\一共有123頁\編輯于星期三2.設G(z)中有個采樣周期的純滯后，w個單位圓外或單位圓上的零點{Z1，Z2，Z3，…，Zw}，ν個單位圓外或單位圓上的極點{P1，P2，P3，…，Pν}。即

設輸入信號為：

其中，G’(z)沒有單位圓外或單位圓上的零、極點。現(xiàn)在是77頁\一共有123頁\編輯于星期三3．綜合考慮前面討論的對Ф(z)的4個要求，令：現(xiàn)在是78頁\一共有123頁\編輯于星期三若G(z)有k個z=1的極點，則可將相應的(1-z-1)k由式3.94中的中提出，并與(1-z-1)m合并為一項(1-z-1)j，其中j=max(k，m)。此時式3.97變?yōu)椋河忠驗椋含F(xiàn)在是79頁\一共有123頁\編輯于星期三則有：由此可得如下一組方程：現(xiàn)在是80頁\一共有123頁\編輯于星期三那么這組方程共有j+v-k個方程，由這些方程可確定Ф(z)中的待定的多項式Ф0(z)的前j+v-k個系數(shù)，由此多項式最少應為j+v-k-1階。即有：4．Ф(z)的階次為(l+w+p)、1-Ф(z)的階次為(j+ν-k+q),因Ф(z)與1-Ф(z)的階次相同，應有：其中p，q待定。為滿足上式，則有：

現(xiàn)在是81頁\一共有123頁\編輯于星期三5．根據(jù)下式同次冪系數(shù)相等的原則?？傻贸鰝€方程，由之確定Ф0(z)和F(z)中的未知系數(shù)和6．得出最少拍數(shù)字控制器現(xiàn)在是82頁\一共有123頁\編輯于星期三例3．1設計算機控制系統(tǒng)結構如圖2．21所示。其中

已知：采樣周期T=0.025，輸人為斜坡信號。試設計最少拍控制系統(tǒng)D(z)。

系統(tǒng)廣義對象傳遞函數(shù)為現(xiàn)在是83頁\一共有123頁\編輯于星期三其脈沖傳遞函數(shù):G(z)的極點為1(單位圓上)和0.368(單位圓內(nèi))；零點為-0.718(單位圓內(nèi))。其中只有極點1在單位圓上，故w=0，k=ν=1。對于斜坡信號有，即m=2。由于穩(wěn)態(tài)誤差為零，要求必須有因子，而穩(wěn)定性要求必須有因子，前者顯然已包含了后者，故可取j=2。另外，由G(z)可得出。從而有，?，F(xiàn)在是84頁\一共有123頁\編輯于星期三根據(jù)以上分析，設:對單位斜坡輸入，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出序列為:現(xiàn)在是85頁\一共有123頁\編輯于星期三數(shù)字控制器的輸出序列(即控制變量)為:現(xiàn)在是86頁\一共有123頁\編輯于星期三例3．4考慮如圖2．21所示的系統(tǒng)，設廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)

設系統(tǒng)采樣周期T＝0.05s，典型輸人信號為階躍信號和斜坡信號，試設計最少拍控制系統(tǒng)。G(z)有兩個z＝1(單位圓上)的極點和一個z＝0.286(單位圓內(nèi))的極點；一個z=-2．78(單位圓外)的零點和一個z=-0.2(單位圓內(nèi))的零點。G(z)還有一拍的純滯后。因此有k=ν=2，w=1，l=1。對于要跟蹤的階躍信號和斜坡信號，分別有和

現(xiàn)在是87頁\一共有123頁\編輯于星期三若按分母階次較小的R1(z)進行設計，則當系統(tǒng)輸入為R2(z)時，穩(wěn)態(tài)誤差將為無窮大。因此，應按分母階次較大的R2(z)進行設計，取m=2。由于G(z)在z=1有兩個極點，由穩(wěn)定性要求所必須包含的因子(1－z-1)2與穩(wěn)態(tài)誤差要求所必須包含的因子(1－z-1)2是一致的。因此，兩者可合并為一項(1－z-1)2。即可令j=2。根據(jù)式(3．96)有p=j+ν-k-1=1q=l+w-1=1階次確定后，可令

由比較同次冪系數(shù)可得方程現(xiàn)在是88頁\一共有123頁\編輯于星期三所求的最少拍數(shù)字控制器:現(xiàn)在是89頁\一共有123頁\編輯于星期三在單位階躍輸入下系統(tǒng)的輸出為:在單位斜坡輸入下系統(tǒng)的輸出:現(xiàn)在是90頁\一共有123頁\編輯于星期三最少拍控制系統(tǒng)具有最快速的向應。但是它的輸出在采樣點之間存在有紋波，同時它還需要有很大的控制作用，這個控制作用有可能加劇采樣點之間的振蕩，還可能在D／A輸出端引起飽和。另外，針對某一典型輸入所設計的最少拍控制器，對其它輸人信號適應性較差。同時，最少拍控制系統(tǒng)還對參數(shù)變化過于敏感，參數(shù)變化有可能導致控制效果急劇下降。因此，除個別情況以外，最少拍控制系統(tǒng)實用意義不大?，F(xiàn)在是91頁\一共有123頁\編輯于星期三3．5最少拍無紋波控制系統(tǒng)設計按最少拍控制系統(tǒng)設計出來的閉環(huán)系統(tǒng)，在有限拍后即進人穩(wěn)態(tài)。這時閉環(huán)系統(tǒng)輸出c(k)在采樣時刻精確地跟蹤輸入信號。雖然在采樣時刻閉環(huán)系統(tǒng)輸出與所跟蹤的參考輸人一致，但是在兩個采樣時刻之間，系統(tǒng)的輸出存在著紋波或振蕩。這種紋波不但影響系統(tǒng)的控制性能，產(chǎn)生過大的超調(diào)和持續(xù)振蕩，而且還增加了系統(tǒng)功率損耗和機械磨損。最少拍系統(tǒng)產(chǎn)生紋波的原因

紋波產(chǎn)生根源是零階保持器的輸入序列u(k)在穩(wěn)態(tài)誤差消除后，仍然圍繞自己的平均值上下波動。現(xiàn)在是92頁\一共有123頁\編輯于星期三3．5最少拍無紋波控制系統(tǒng)設計由可以得到控制信號U(z)對輸入R(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：設廣義對象脈沖傳遞函數(shù)為

現(xiàn)在是93頁\一共有123頁\編輯于星期三則：P(z)的零點即是G(z)的零點。由于R(z)到U(z)的脈沖傳遞函數(shù)是一個有理分式，從而它的單位脈沖響應為無限長。如果我們在選擇時，令包含G(z)的所有零點，則由式(3．105)，P(z)與中相應因子產(chǎn)生相消，使得由R(z)到U(z)的脈沖傳遞函數(shù)為一階次有限的z-1多項式，這就表示它的脈沖響應時間為有限長了。這樣，經(jīng)過有限拍之后，控制變量u(k)或者為零，或者為常數(shù)，不會再產(chǎn)生振蕩，從而避免了連續(xù)被控對象的輸出c(t)在采樣時刻之間的紋波。

現(xiàn)在是94頁\一共有123頁\編輯于星期三為消除紋波，對閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的附加要求是：必須包含廣義對象G(z)的所有零點?，F(xiàn)在是95頁\一共有123頁\編輯于星期三

例3．5設計算機控制系統(tǒng)的結構及參數(shù)均與例3．3相同，試針對斜坡輸入信號，設計最少拍無紋波控制系統(tǒng)。

由例3．3知廣義對象脈沖傳遞函數(shù)

分析可知，w=1(包括G(z)的所有零點)，ν=1（G(z)有一個位于單位圓上的極點1），l=1。對于斜坡信號m＝2?？紤]到對穩(wěn)態(tài)誤差的要求所對應的因子(1-z-1)2，包含了對穩(wěn)定性要求所對應的因子(1-z-1)，故將兩者合并，即取m+ν=2。計算得：p=m+ν-1=1，q=l+w-1=1。

現(xiàn)在是96頁\一共有123頁\編輯于星期三現(xiàn)在是97頁\一共有123頁\編輯于星期三則最少拍無紋波控制器為:閉環(huán)系統(tǒng)輸出序列:數(shù)字控制器的輸出序列(即系統(tǒng)的控制變量):現(xiàn)在是98頁\一共有123頁\編輯于星期三將圖3．19與圖3．17比較，可以看出，有紋波系統(tǒng)的調(diào)整時間為兩個采樣周期，系統(tǒng)輸出跟隨輸入函數(shù)后，由于數(shù)字控制器的輸出仍在波動，所以系統(tǒng)輸出與采樣時刻之間有紋波。無紋波系統(tǒng)的調(diào)整時間為三個采樣周期，系統(tǒng)輸出進入穩(wěn)態(tài)所需時間比無紋波系統(tǒng)增加了一個采樣周期。由于系統(tǒng)中數(shù)字控制器的輸出經(jīng)3T后為常值，所以無紋波系統(tǒng)輸出在采樣點之間不存在紋波。現(xiàn)在是99頁\一共有123頁\編輯于星期三3．6最少拍控制系統(tǒng)的改進

最少拍控制是以調(diào)節(jié)時間最短為設計準則；最少拍無紋波控制是以調(diào)節(jié)時間最短和輸出無紋波為設計準則。他們的共同缺點是：對輸入信號適應性差；對系統(tǒng)參數(shù)變化特別敏感，控制效果較差。一般采用的其改進算法，如：阻尼因子法、非最少的有限拍控制等等?，F(xiàn)在是100頁\一共有123頁\編輯于星期三阻尼因子法是改進最少拍系統(tǒng)對輸入信號的適應能力的一種方法。

3．6．1阻尼因子法現(xiàn)在是101頁\一共有123頁\編輯于星期三例3.6設廣義對象脈沖傳遞函數(shù):

系統(tǒng)的典型輸入函數(shù)為斜坡輸入。

現(xiàn)在是102頁\一共有123頁\編輯于星期三于是得數(shù)字控制器為:現(xiàn)在是103頁\一共有123頁\編輯于星期三3．6．2非最少的有限拍控制將再乘上一個z-1的有限階多項式H(z)=h0+h1z-1+…+hnz-n，使得和的階次均適當提高。

通過適當選擇hi，可以改變中各項的系數(shù)，從而降低系統(tǒng)對參數(shù)變化的靈敏度。現(xiàn)在是104頁\一共有123頁\編輯于星期三例3．7：為降低閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)變化的靈敏度，試對斜坡輸入設計非最少的有限拍控制系統(tǒng)，并驗證當實際廣義對象G(z)變化后系統(tǒng)的輸出?，F(xiàn)在是105頁\一共有123頁\編輯于星期三設非最少的有限拍控制系統(tǒng)對應的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為，則有由之可得出:非最小的有限拍控制器為：現(xiàn)在是106頁\一共有123頁\編輯于星期三采用D(z)的閉環(huán)系統(tǒng)對單位斜坡輸入的響應為:當實際廣義被控對象變化時，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為現(xiàn)在是107頁\一共有123頁\編輯于星期三注意到這時，不再是有限階次的z-1多項式，因此系統(tǒng)響應已不再是有限拍的了。系統(tǒng)對單位速度輸入的響應為顯然，盡管系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生了較大變化，但系統(tǒng)的輸出響應仍然是比較好的。

另外，采用非最少的有限拍控制器，還有利于減少控制變量的幅值?，F(xiàn)在是108頁\一共有123頁\編輯于星期三3．7達林算法

在控制系統(tǒng)設計中，純滯后往往是影響系統(tǒng)動態(tài)特性的不利因素，工業(yè)過程中如熱工和化工過程中往往會有這樣的純滯后環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)如果控制器設計不當，常常會引起系統(tǒng)的超調(diào)和持續(xù)振蕩。而對這類系統(tǒng)的控制要求，快速性往往是次要的，通常主要要求系統(tǒng)沒有超調(diào)量或很少超調(diào)量，要求系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，而調(diào)整時間允許在較多的采樣周期內(nèi)結束。