2012第二輪復(fù)習(xí)(解析幾何)

2011~2012學(xué)年潮陽(yáng)林百欣中學(xué)高三理科數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題五-PAGE4-解析幾何（教師版）解析幾何是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，通常有1-2個(gè)小題和1個(gè)大題，約占24分左右?？陀^題重點(diǎn)考查的內(nèi)容是：直線與方程，圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，離心率、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和漸近線等簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)。解答題重點(diǎn)考查的內(nèi)容是：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系等。?？汲Ｐ碌念}型有軌跡、最值、定值、對(duì)稱(chēng)、參數(shù)范圍、幾何證明和探究性問(wèn)題等。選擇、填空題主要考點(diǎn)：1、點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系問(wèn)題；2、直線、圓的方程問(wèn)題；3、有關(guān)圓錐曲線的定義的問(wèn)題；4、圓錐曲線的幾何性質(zhì)；5、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題。例1、設(shè)圓：的一條切線與軸、軸分別交于點(diǎn)，則的最小值為4．例2、已知⊙A：，⊙B:，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作⊙A、⊙B的切線，切點(diǎn)分別為D、E，若，則P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為．答：例3、橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為弦過(guò)，若的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則=．答：例4、橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的面積為．答：例5、已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍為．答：例6、已知橢圓（）與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn).若恰好將線段三等分，則=____．圖2例7、設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和直線所圍成三角形的邊界及內(nèi)部。當(dāng)時(shí)，的最大值為（）【答案】A圖2A．24B．25C．4D．7例8、在平面直角坐標(biāo)系中，與所表示的曲線如圖2所示，則常數(shù)、、之間的關(guān)系可能是()【答案】AA．且B．且C．且D．A或C例9、無(wú)論為任何數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）【答案】BA． B． C． D．例10、在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）【答案】BA． B． C． D．例11、若曲線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）【答案】BA．B．C．D．例12、將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為，則()【答案】CA． B． C． D．例13、如圖，直角坐標(biāo)系所在的平面為，直角坐標(biāo)系（其中軸一與軸重合）所在的平面為，．【答案】（2，2）（Ⅰ）已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為_(kāi)_________；（Ⅱ）已知平面內(nèi)的曲線的方程是，則曲線在平面內(nèi)的射影的方程是____________________．解法二：設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，①×②得，………③，又∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，即，代入③式整理得，∵點(diǎn)，是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，∴它們與點(diǎn)，均不重合，故點(diǎn)，均不在軌跡上．過(guò)點(diǎn)及的直線的方程為，解方程組得，∴直線與雙曲線只有唯一交點(diǎn)，故軌跡不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，同理軌跡也不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．綜合上述分析，軌跡的方程為，，且．(2)若過(guò)點(diǎn)的直線為，聯(lián)立，得，令得，解得，．由于，則，即，解得．過(guò)點(diǎn)，分別引直線，通過(guò)軸上的點(diǎn)，且使，因此，由，得．此時(shí)，的方程為與，它們與軌跡分別僅有一個(gè)交點(diǎn)與，∴符合條件的的值為或．例4、設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿(mǎn)足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足,求點(diǎn)的軌跡方程． 解：由知Q，M，P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè) ① 再設(shè) 解得② 將①式代入②式，消去，得 ③ 又點(diǎn)B在拋物線上，所以，再將③式代入，得 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為類(lèi)型2定點(diǎn)和定值問(wèn)題定點(diǎn)和定值問(wèn)題是指在一定的情境下，研究運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中不隨其它因素改變而改變的量.一般思路是：先將變動(dòng)元素用參數(shù)表示，再通過(guò)計(jì)算或推理判斷結(jié)論與題設(shè)中的參數(shù)值無(wú)關(guān).近幾年的解析幾何試題中，定點(diǎn)和定值問(wèn)題在各類(lèi)題型中均有所涉及，著重考查特殊化與一般化、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力.例5、已知?jiǎng)又本€與橢圓C:交于、兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明和均為定值;(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；(3)圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以因?yàn)樵跈E圓上，因此 ①又因?yàn)樗? ②由①、②得此時(shí)（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即 …………（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)論成立。（II）解法一：（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知因此（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因?yàn)樗约串?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此|OM|·|PQ|的最大值為（III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿(mǎn)足條件的三點(diǎn)D，E，G.例6、已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，.圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),圓與軸交于兩點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)證明:無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn).（1）∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,∵,∴，解得.由，且,得.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.在橢圓:中，..∴.∴橢圓的方程為.（2）證法1:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，∵圓與軸交于兩點(diǎn)，且,∴.∴.∴圓的方程為. ∵點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),∴().∴.把代入消去整理得:.方程對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，解得∵點(diǎn)在橢圓:上,∴無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn).證法2:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，∵點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),∴().∵圓與軸交于兩點(diǎn)，且,∴.∴.∴圓的方程為. 令,則,得.此時(shí)圓的方程為.由解得∴圓:與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、.分別把點(diǎn)、代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可知點(diǎn)恒符合方程，點(diǎn)不恒符合方程.∴無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過(guò)橢圓上一定點(diǎn).例7、已知橢圓：的面積為π，包含于平面區(qū)域內(nèi)，向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓內(nèi)的概率為．(1)試求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問(wèn)：是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解：(1)平面區(qū)域是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示．………2分O依題意及幾何概型，可得，O………3分即．因?yàn)?，[來(lái)源:學(xué),科,網(wǎng)]所以．…………5分所以，橢圓的方程……………6分(2)設(shè)直線的方程為：，O聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得：O（1）代入（2）得：化簡(jiǎn)得：…（3）……8分當(dāng)時(shí)，即，也即，時(shí)，直線與橢圓有兩交點(diǎn)，由韋達(dá)定理得：，………………10分所以，，則……………13分所以，為定值。類(lèi)型4參數(shù)范圍和最值問(wèn)題求參數(shù)取值范圍和最值問(wèn)題,由于涉及的變量多，知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，一直是解析幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn).對(duì)于求參數(shù)范圍問(wèn)題，需構(gòu)造參數(shù)滿(mǎn)足的不等式，通過(guò)解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.對(duì)于最值問(wèn)題，解法常有兩種:當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值例8、已知橢圓.過(guò)點(diǎn)（m,0）作圓的切線交橢圓G于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；(2)將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.解：(1)由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為(1)由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.例9、已知在平面直角坐標(biāo)系中，向量,，且.(1)設(shè)的取值范圍；(2)設(shè)以原點(diǎn)為中心，對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，以為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且取最小值時(shí)，求橢圓的方程.解：（1）由， 得…………………3分 ∴夾角的取值范圍是（）…6分 （2） …8分………………10分∴當(dāng)且僅當(dāng)或…12分橢圓長(zhǎng)軸或故所求橢圓方程為.或…………14分例10、已知直線：（為常數(shù)）過(guò)橢圓（）的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)若，求橢圓的方程；(2)若，求橢圓離心率的取值范圍．解:(1)∵橢圓的上頂點(diǎn)B(0,),左焦點(diǎn)都在直線上∴,設(shè)圓與直線的另一交點(diǎn)為A,取AB中點(diǎn)D,由垂徑定理得∵∴由點(diǎn)到直線的距離公式得∵依題意知,∴,∴橢圓的方程為.(2)∵=又∵∴由∴∵∴∴.例11、已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知圓過(guò)定點(diǎn)，圓心在軌跡上運(yùn)動(dòng)，且圓與軸交于、兩點(diǎn)，設(shè)，，求的最大值．解：(1)設(shè)，則，∵，∴．即，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程．(2)設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，則．①圓的半徑為．圓的方程為．令，則，整理得，．②由①、②解得，．不妨設(shè)，，∴，．∴，③當(dāng)時(shí)，由③得，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，由③得，．故當(dāng)時(shí)，的最大值為．類(lèi)型4探究性問(wèn)題例12、已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)．(1)橢圓的方程；(2)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；(3當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為故橢圓的方程為(2)直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又由得故，又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值(3由(2)可知，當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)的方程為要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或例13、已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過(guò)作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使(是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)，依題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為……………1分