駐馬店市重點(diǎn)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，內(nèi)角滿足，若，則的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知,則的值為()A． B． C． D．3．若向量滿足：與的夾角為，且，則的最小值是（）A．1 B． C． D．24．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為（）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），則首項(xiàng)a1為（）A．1 B．2 C．3 D．46．某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗(yàn)該廠家產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A．16 B．24 C．32 D．487．如圖，長(zhǎng)方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則最大角的余弦值為（）A． B． C． D．9．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．1010．在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，的夾角為，若，，則________.12．設(shè)變量滿足條件，則的最小值為___________13．已知中，，則面積的最大值為_____14．為了研究問題方便,有時(shí)將余弦定理寫成:,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下問題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足,，，則_______.15．已知二面角為60°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為．16．若，則=_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交軸正半軸于點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限.（Ⅰ）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范圍.18．（1）任意向軸上這一區(qū)間內(nèi)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)的概率是多少？（2）已知向量，，若，分別表示一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足的概率.19．某制造商月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表分組頻數(shù)頻率10205020合計(jì)100(1)請(qǐng)?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間的中點(diǎn)值是作為代表.據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).20．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知函數(shù)的最小正周期是.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

首先根據(jù)降冪公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，把帶入利用余弦定理以及基本不等式即可．【詳解】由題意得，為三角形內(nèi)角所以，所以，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，以及余弦定理和基本不等式．在化簡(jiǎn)的過程中常用到的公式有輔助角、二倍角、兩角和與差的正弦、余弦等．屬于中等題．2、C【解析】

根據(jù)輔助角公式即可．【詳解】由輔助角公式得所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用：，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

設(shè)作圖，由可知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，由圖可知，，代入所求不等式利用圓的特征化簡(jiǎn)即可.【詳解】如圖，設(shè)，取線段的中點(diǎn)為，連接OE交圓于點(diǎn)D，因?yàn)榧矗渣c(diǎn)在以線段為直徑的圓上(E為圓心)，且，于是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，垂直向量的數(shù)量積表示，幾何圖形在向量運(yùn)算中的應(yīng)用，屬于中檔題.4、C【解析】

試題分析：將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為底面為半徑為的圓、高為1的圓柱，其側(cè)面展開圖為長(zhǎng)為，寬為1，所以所得幾何體的側(cè)面積為.故選C.5、A【解析】

等比數(shù)列的公比設(shè)為，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，解方程可得所求首項(xiàng).【詳解】等比數(shù)列的公比設(shè)為，由，令，可得，，兩式相減可得，即，又所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因?yàn)榉謱映闃涌傮w和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.7、A【解析】

可證得四邊形為平行四邊形，得到，將所求的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為；假設(shè)，根據(jù)角度關(guān)系可求得的三邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求得余弦值.【詳解】連接，四邊形為平行四邊形異面直線與所成角即為與所成角，即設(shè)，，，，在中，由余弦定理得：異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.8、D【解析】

設(shè)，由余弦定理可求出.【詳解】設(shè),所以最大的角為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對(duì)大角，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)題中的程序語(yǔ)句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出?！驹斀狻坑深}意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語(yǔ)句的含義是解題關(guān)鍵。10、A【解析】

如圖做輔助線，正方體中，且，P，M為和中點(diǎn)，,則即為所求角，設(shè)邊長(zhǎng)即可求得．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，則是異面直線與所成角的平面角.設(shè)，在中，，，則，即.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造包含異面直線所成角的三角形．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，展開后進(jìn)行計(jì)算，得到的值，從而得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模長(zhǎng)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.12、-1【解析】

根據(jù)線性規(guī)劃的基本方法求解即可.【詳解】畫出可行域有：因?yàn)?根據(jù)當(dāng)直線縱截距最大時(shí),取得最小值.由圖易得在處取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃的基本運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得代入化簡(jiǎn)，由三角形三邊關(guān)系求得，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三邊關(guān)系有：，且，解得：，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時(shí)，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，屬于中檔題．14、【解析】

設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長(zhǎng)，由此計(jì)算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.15、【解析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.

故答案選C.【點(diǎn)睛】16、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）題意實(shí)質(zhì)上證明線段的中點(diǎn)到軸的距離等于線段長(zhǎng)的一半，根據(jù)拋物線的定義設(shè)可證得；（Ⅱ）同樣設(shè)，，把已知,用坐標(biāo)表示出來(lái)，消去坐標(biāo)及，得出與的關(guān)系，此時(shí)就可得出的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）由已知,設(shè)，則，圓心坐標(biāo)為，圓心到軸的距離為，圓的半徑為，所以，以線段為直徑的圓與軸相切．（Ⅱ）解法一：設(shè)，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵夥ǘ涸O(shè)，，將代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，將代入（*）式，得，所以，．代入，得．因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵键c(diǎn)：拋物線的定義，拋物線的焦點(diǎn)弦問題．18、（1）（2）【解析】

（1）幾何概型的計(jì)算公式求解即可；（2）求出該骰子先后拋擲兩次的基本事件總數(shù)，根據(jù)數(shù)量積公式得出滿足包含的基本事件個(gè)數(shù)，由古典概型概率公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，任意向這一區(qū)間內(nèi)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在內(nèi)哪個(gè)位置是等可能的.令，則由幾何概型的計(jì)算公式可知：.（2）將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，共有個(gè)基本事件.由，得滿足包含的基本事件為，，，，，共6種情形，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用幾何概型概率公式以及古典概型概率公式計(jì)算概率，屬于中檔題.19、(1)見解析；(2)40.00(mm)【解析】解：(1)頻率分布表如下：分組

頻數(shù)

頻率

[39.95,39.97)

10

0.10

5

[39.97,39.99)

20

0.20

10

[39.99,40.01)

50

0.50

25

[40.01,40.03]

20

0.20

10

合計(jì)

100

1

注：頻率分布表可不要最后一列，這里列出，只是為畫頻率分布直方圖方便．頻率分布直方圖如下：(2)整體數(shù)據(jù)的平均值約為39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．20、（1）（2）【解析】

（1）先設(shè)等比數(shù)列的公比為，再求解即可；（2）由已知條件可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，，則，即，則，（2）由數(shù)列的前項(xiàng)和，則，即當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，，①，②①-②得：，即.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，