初級質量工程師講義第五章-概率統計基礎

第五章概率統計基礎第一講概率統計基礎重點：概率的定義、分布的均值、方差及標準差難點：概率的統計定義在我們所生活的世界上，充溢了不確定性：從扔硬幣、擲色子和玩撲克等簡潔的機會嬉戲到困難的社會現象;從嬰兒的誕生到世間萬物的繁衍生息;從流星墜落到大自然的千變萬化…,我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性。一、兩種現象隨機現象和確定性現象。隨機現象：不確定、偶然性的現象。確定性現象：在確定條件下能預言其結果。推斷下列現象哪些是隨機現象?A太陽從東邊升起B(yǎng)上拋物體確定下落C明天的最高氣溫D新生嬰兒的體重隨機現象的例子在質量管理中隨處可見。以下是隨機現象的另外一些例子：⑴新產品在將來市場的占有率⑵加工某機械軸的誤差⑶一臺電視機從起先運用到第一次發(fā)生故障的時間⑷一罐午餐肉的重量。相識一個隨機現象首先要列出它的一切可能發(fā)生的基本結果。這些基本結果稱為樣本點，隨機現象一切可能樣本點的全體稱為這個隨機現象的樣本空間，常記為?！皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻g;“擲一顆色子”的樣本空間;“一臺電視機從起先運用到第一次發(fā)生故障的時間”的樣本空間;“加工某機械軸的誤差”的樣本空間。二、隨機事務隨機現象的某些樣本點的集合稱為隨機事務，簡稱事務，常用大寫字母A,B,C，D表示，它是樣本空間的子集合。在概率論中通常用一個長方形示意樣本空間，用其中的圓示意事務，這類圖形通常稱為維恩圖。(圖見考試用書132頁)1.隨機事務的特征(1)事務A發(fā)生，當且僅當子集A中的一個樣本點出現。若是中的兩個樣本點，則當出現，且時，事務A發(fā)生。當則事務A不發(fā)生。(2)隨意樣本空間有一個最大子集，這個子集就是，由于它對應的事務確定發(fā)生，因此稱為必定事務，仍用表示。比如，在擲一顆色子，“出現的點數不超過6”就是一個必定事務。(3)隨意樣本空間有一個最小子集，這個子集就是空集，它對應的事務稱為不行能事務，記為。在擲一顆色子，“出現的點數超過7”就是一個不行能事務。例1若產品只區(qū)分合格與不合格。用“0”表示合格品，用“1”表示不合格品。則檢驗兩件產品的樣本空間由下列四個樣本點組成。其中樣本點(0,1)表示第一件產品是合格品，其次件產品是不合格品。其他的樣本點可以類似地說明。下面幾個事務可用集合表示，也可用語言表示。A=“至少有一件合格品”=B=“恰有一件合格品”=“有三件不合格品”=空集。隨機事務的關系與運算1事務的包含與相等若事務A發(fā)生，則事務B必定發(fā)生。此時A包含的樣本點在B所包含的樣本點當中，記為。若且，則稱A與B相等，記為A=B。2事務的和(并)一個事務發(fā)生意味著A發(fā)生或者B發(fā)生，則稱該事務是A與B的并，記作或。由定義知道，由全部屬于A或者B中的樣本點構成。對于n個事務=稱為這n個事務的和或者并。3.事務的積(交)一事務發(fā)生意味著A與B同時發(fā)生，稱該事務為A與B的積(交),記作。由定義知道，由全部既屬于A又屬于B中的樣本點構成。n個事務的交記作。4.事務的差由那些屬于A但是不屬于B的點構成的新事務記作。5.互不相容事務(互斥)若，則稱A與B互不相容事務。6.對立事務由全部不包含在A中的點構成的新事務,記作。以上這些關系和運算，可以用維恩圖表示，維恩圖的表示方法和集合的維恩圖的表示方法一樣，這里不再重復(可以參照教材)。四、事務的概率隨機事務的發(fā)生由偶然性，但是隨機事務發(fā)生的可能性有大小之分，是可以度量的。事實上，通常人們關切事務發(fā)生的可能性大小。例如：(1)拋一枚硬幣，出現正面和反面的可能性各為。(2)購買彩票的中獎機會有多少呢?等等一個事務發(fā)生A發(fā)生的可能性大小通常用P(A)表示。概率是一個介于0和1之間的數。概率越大，事務發(fā)生的可能性越大;概率越小，事務發(fā)生的可能性越小。下面介紹概率的統計定義。1概率的統計定義若與事務A相關的隨機現象允許大量重復試驗，而且假設在n次重復試驗中，事務A發(fā)生次，則事務A發(fā)生的頻率為，依據概率論中的定理，頻率將會隨著試驗次數不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事務A的概率。在實際中，無法把一個試驗無限地重復下去，只能用重復試驗次數n較大時的頻率去近似它。2概率的性質性質1(非負性)性質2。性質3。特殊地，若事務A與事務B互不相容，則。性質4對任何事務A有。性質5。特殊地，若，則。很明顯，由上面的不等式知，對任一事務A，有。性質6若事務A與B相互獨立，即事務A的發(fā)生不影響事務B的發(fā)生，則A與B的交事務的概率為。例2已知。求：;;。解因為，且AB與互不相容，有五、隨機變量及其分布1隨機變量表示隨機現象結果的變量稱為隨機變量。常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機變量，它們的取值用小寫字母等表示。常見的有兩種隨機變量。離散型隨機變量：僅取數軸上的有限個點或可列個點。比如，一批產品中的次品數X是離散型隨機變量，它的可能取值是0，1，2，……連續(xù)型隨機變量：可能取值充溢數軸上的一個區(qū)間。一臺電視機的壽命(單位：小時)是連續(xù)型隨機變量，在上取值?！啊北硎臼聞铡皦勖怀^10000小時?！?隨機變量的分布(1)離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布可用分布烈表示。假設離散型隨機變量可能取的值為。取這些值的概率為，。這些可以用一個表清晰地表示出來……概率……作為一個分布，滿意一下條件：，。這樣的分布稱作離散分布，稱作分布的概率函數。例3設袋中裝有6個球，編號為{-1，2，2，2，3，3}，從袋中任取一球，求取到的球的號的分布律。解因為可取的值為-1，2，3，而且，，，所以的概率分布為-123例4某廠生產的三極管，每100支裝一盒，記X為一盒中不合格品數，廠方多次抽查，依據近千次的抽查紀錄，從未發(fā)覺一盒中有6支或6支以上的不合格三極管，用統計方法整理歷史數據可得如下分布：0123450.2840.20000.09000.0800.004從表中可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數在0到2之間，它的概率為：而超過3個不合格品的概率很小：3連續(xù)型隨機變量的分布連續(xù)型隨機變量的分布用概率密度函數表示。下面以產品的某個質量特性值來說明的由來。假如我們一個接一個地測量產品的質量特性，把測量得來的x值一個接一個地描在數軸上，當累積到許多x時，就形成了一個圖形，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質量特性x的增多，圖形就越穩(wěn)定，其外形顯現出一條曲線，這條曲線就是概率密度曲線，相應的表達式稱為概率密度曲線。由于頻率穩(wěn)定于概率，因此可以用概率代替頻率，從而縱軸成為“單位長度上的概率”，這就是概率密度的概念，故最終形成的曲線稱為概率密度曲線，它確定位于x軸的上方，即，并且與x軸所夾面積恰為1。而X在區(qū)間(a,b)上取值的概率為區(qū)間上的面積。4隨機變量分布的均值、方差與標準差隨機變量的分布有幾個重要的特征數，用來表示分布的中心位置和散布大小。均值用來表示分布的中心位置，用表示。(1)均值的計算方法：(2)方差的計算方法方差表示分布的散布大小，用表示。方差越大，分布越分散;方差越小，分布越集中。(3)標準差方差的平方根即為標準差，記為，即。例5已知離散型隨機變量的概率分布列，求它的均值、方差和標準差。解六二項分布1定義若由n次隨機試驗組成的隨機現象滿意如下條件：(1)重復進行n次隨機試驗。(2)n次試驗間相互獨立，即每一次試驗結果不對其他次試驗結果產生影響。(3)每次試驗僅有兩個可能結果，稱為“勝利”與“失敗”。(4)每次試驗勝利的概率均為P，失敗的概率均為1—P。.在上述四個條件下，設X表示n次獨立重復試驗中勝利出現的次數，明顯X是可以取0，l，……n，共個值的離散隨機變量，且它的概率函數為：這個分布稱為二項分布，記為b(n，P)。其中2二項分布的均值、方差和標準差均值方差標準差[例5]在一個制造過程中，不合格品率為0.05，如今從成品中隨機取出10個，記x為10個成品中的不合格品數，則x聽從二項分布。現探討如下幾個問題：(1)恰有1個不合格品的概率是多少?分析：若規(guī)定抽到不合格品為“勝利”，則x聽從B(10，0.05)，則所求概率為：這表明，10個成品中恰有l(wèi)個不合格品的概率為0.3151。(2)少于2個不合格品的概率為：這表明，10個成品中有少于2個不合格品的概率為0.9138。(3)分布的均值、方差與標準差分別為：習題一、單項選擇題1.隨機現象的樣本空間中至少有()個樣本點。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：樣本空間Ω至少含有2個樣本點。2.檢驗兩件產品。記A=“至少有一件不合格”，B=“兩次檢查結果不同”，則事務A與B之間的關系是：A.B.C.D.答案：A解析：設X表示“兩件產品中的不合格品數”，X是隨機變量，且A=“X≥l”，B=“X=l”，從而。3.一條自動化生產線上一級品率為0.8，現抽查5件，至少有兩件一級品的概率為()A.0.9793B.0.9393C.0.9933D.0.9339答案：C解析：提示：設X=“五件產品中一級品的件數”，則b(5，0.8)。所求概率為4.一批產品不合格概率為0.2，現從這批產品中隨機抽出5個，記X為這5個產品中的不合格品數，則這5個產品中沒有不合格品的概率為：A.B.C.D.答案：B解析：5.一自動報警器由雷達和計算機兩部分組成，兩部分工作相互獨立，且任一部分失效將導致報警器失效。若雷達失效概率為0.1，計算機失效概率為0.05，則該報警器失效的概率為：A.0.005B.0.15C.20.05D.0.145答案：D解析：報警器失效概率=報警器工作概率=雷達工作概率計算機工作概率6.下表是一個分組樣本，其樣本均值近似為()。分組區(qū)間(35，45](45，55](55，65](65，75]頻數3872A.50B.54C.62D.64答案：B解析：四個分組區(qū)間的組中值分別為40，50，60，70。樣本均值7.設，且則()。A.B.C.D.答案：C解析：由