連續(xù)域離散化設(shè)計

連續(xù)域離散化設(shè)計第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二一設(shè)計原理和步驟1.基本思想◆計算機(jī)控制系統(tǒng)是由計算機(jī)及相應(yīng)的信號變換裝置取代了常規(guī)的模擬控制器，基于此，將原來的模擬控制規(guī)律離散化，變?yōu)閿?shù)字算法，并由計算機(jī)實(shí)現(xiàn)，便可完成計算機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計，即所謂連續(xù)域－離散化設(shè)計?！暨B續(xù)域－離散化設(shè)計是一種間接設(shè)計法，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)字控制器部分看作一個整體，并等效為連續(xù)傳函De(s)，從而用連續(xù)系統(tǒng)理論來設(shè)計De(s)，再將其離散化而得到D(z)。第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二2De(s)的數(shù)學(xué)描述A/D轉(zhuǎn)換器

若不計量化效應(yīng)，A/D

本質(zhì)上可看作一個理想的采樣開關(guān)，其輸入輸出關(guān)系表示為 當(dāng)系統(tǒng)具有低通特性，且時，可取基頻來近似即A/D

的傳函可近似為第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二計算機(jī)算法 即待設(shè)計的計算機(jī)控制算法D(z)，其頻率特性可用D(ejT)表示。D/A轉(zhuǎn)換器

D/A

可抽象為一個零階保持器

ZOH，由于采樣頻率遠(yuǎn)大于閉環(huán)帶寬，ZOH

也只工作在低頻段，其頻率特性可近似表示為

即幅頻可近似為常值T，相頻近似為一個純滯后環(huán)節(jié)。第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二■等效控制器De(s)

綜合起來可得等效控制器De(s)

的頻率特性

其中，Ddc(s)為數(shù)字算法D(z)的等效傳函，即設(shè)計對象；滯后環(huán)節(jié)為A/D和D/A的近似，反映了ZOH相位滯后特性。第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二

▲實(shí)際設(shè)計時，e－sT/2

有時也可取為如下的一階或二階近似：

▲將被控對象、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、傳感器、前置濾波器等合在一起構(gòu)成廣義對象

G(s)，則簡化結(jié)構(gòu)圖：G(s)e－sT/2Ddc(s)De(s)第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二3.控制器的設(shè)計

經(jīng)過以上對De(s)

的分析可知，數(shù)字控制器

的設(shè)計歸結(jié)為：根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，用連續(xù)系統(tǒng)理論設(shè)計等效控制器Ddc(s)，然后再離散化。第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二4.連續(xù)域－離散化設(shè)計步驟根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，選擇采樣頻率，并設(shè)計抗混疊的前置濾波器；考慮ZOH

的相位滯后，根據(jù)性能指標(biāo)的要求和連續(xù)域設(shè)計方法，設(shè)計數(shù)字控制算法的等效傳遞函數(shù)Ddc(s)；選擇合適的離散化方法，將Ddc(s)離散化，得到D(z)，并使二者盡量等效；檢驗(yàn)系統(tǒng)閉環(huán)性能，如指標(biāo)滿足，進(jìn)行下一步；否則重新改進(jìn)設(shè)計，包括：選擇更合適的離散化方法提高采樣頻率修正連續(xù)域設(shè)計將D(z)變?yōu)閿?shù)字算法，并用計算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二二各種離散化方法★前提：已設(shè)計出Ddc(s)，以下用D

(s)

來表示1.脈沖響應(yīng)不變法（Z變換法）

該方法要求離散環(huán)節(jié)的脈沖響應(yīng)等于連續(xù)環(huán)節(jié)脈沖響應(yīng)的采樣值，即在采樣時刻二者的脈沖響應(yīng)等效。

第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)連續(xù)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為單位脈沖作用下的輸出響應(yīng)為對u(t)進(jìn)行等間隔T的采樣，得到對上式進(jìn)行z變換，得到第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二特點(diǎn)

Z

變換法工程使用意義不大。由于Z

變換是多對一的映射，將會產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊；同時，Z

變換不具備串聯(lián)性質(zhì)，即 處理起來不方便。第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二2.階躍響應(yīng)不變法該方法要求離散環(huán)節(jié)和連續(xù)環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)的采樣值保持不變 將連續(xù)傳函做帶零階保持器的Z變換，即 則能保證D

(s)

和D

(z)

的階躍響應(yīng)在采樣時刻保持不變。第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二等效變換前后的響應(yīng)情況D(s)ZOHD(z)D(s)由于在計算機(jī)內(nèi)存中，每個采樣間隔內(nèi)保持信號不變，相當(dāng)于零階保持器的性能，因此采用帶ZOH的Z變換比Z變換法更實(shí)用一些。第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二【例】設(shè)，試用階躍響應(yīng)不變法求D

(z)

，設(shè)采樣周期T=1?！窘狻康?5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二特點(diǎn)：若連續(xù)環(huán)節(jié)D

(s)穩(wěn)定，則離散后的D

(z)也一定穩(wěn)定；帶ZOH的Z變換同樣無串聯(lián)特性；由于ZOH具有低通作用，頻率混疊現(xiàn)象較單純的Z變換法能顯著減輕，離散前后頻率特性畸變較??；離散前后穩(wěn)態(tài)增益保持不變，即 以上兩種方法均要做Z變換，且無串聯(lián)特性，工程應(yīng)用并不方便第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二3.向前差分法

用一階向前差分近似代替微分 設(shè)連續(xù)環(huán)節(jié)傳函為

可得其對應(yīng)的微分方程為以一階向前差分代替微分第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二如令k=k-1，則由此可得一階向前差分法離散化的一般公式對上式做Z變換比較D

(s)

與D

(z)

，可得s

與z的關(guān)系為第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二★向前差分法s平面與z平面的映射關(guān)系

由，并令 可得 取模 令（即對應(yīng)單位圓），則有

z

平面的單位圓映射為s

平面左半平面以點(diǎn)（－1/T，0）為圓心，以1/T

為半徑的圓（如下圖所示）。第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二向前差分法s平面與z平面的映射關(guān)系(圖）

由此可見，只有當(dāng)連續(xù)環(huán)節(jié)D

(s)的所有極點(diǎn)均位于s

左半平面以點(diǎn)（－1/T，0）為圓心，以1/T為半徑的圓內(nèi)，才能將離散化后D

(z)

的極點(diǎn)映射到z

平面的單位圓內(nèi)。ReImO1[Z]jO-1/T[S]1/T第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期二★向前差分法的特點(diǎn)置換公式簡單，且有串聯(lián)性（與采樣開關(guān)無關(guān)），應(yīng)用方便；當(dāng)采樣周期T

較大時，等效精度較差；穩(wěn)態(tài)增益維持不變，即只能將s

左半平面一個半徑為1/T

的圓映射到z

平面單位圓，所以D

(s)穩(wěn)定，