量子力學中的算符

量子力學中的算符第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二第一節(jié)算符operator算符算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號

就是一個算符算符的引入規(guī)則如果量子力學中的力學量F在經(jīng)典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符由經(jīng)典表示式F(r,p)中將動量p換為動量算符得出第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二名稱力學量Operator算符坐標動量勢能動能總能量角動量經(jīng)常遇到的力學量所對應的算符第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二簡并degeneration當算符?的某一本征值n的本征函數(shù)不止一個，而是f個線性無關的函數(shù)n1、n2、

nf，則稱該本征值f度簡并。若一個算符作用在波函數(shù)上得出一個常數(shù)乘以該波函數(shù)，如，則稱此方程為該算符的本征方程，稱此常數(shù)fn為算符F的第n個本征值，波函數(shù)為fn相應的本征波函數(shù)算符的本征值和本征函數(shù)第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二線性算符linearoperator設u1、u2為任意函數(shù)，c1、c2是任意兩個復常數(shù)，如果則稱?為線性算符

x、d/dx是線性算符，而開方運算不是線性算符量子力學中用來表示力學量的算符，都是線性算符是態(tài)疊加原理的要求設根據(jù)態(tài)的疊加原理也就是假設說是二度簡并的也是算符?的本征態(tài)，應有當?為線性算符時第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二1厄米算符Hermitianoperator設u、v為兩個任意函數(shù)，如果算符?滿足則稱?為厄米算符量子力學中代表力學量的算符必須是線性厄米算符

——量子力學的又一基本概念厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值必須是實數(shù)力學量觀測值必須是實數(shù)，要求算符的本征值是實數(shù)線性厄米算符的作用就是把態(tài)空間中的一個元素變成另一個元素線性厄米算符的本征函數(shù)構成一個正交歸一的函數(shù)系第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（1）厄米算符本征函數(shù)的正交歸一性(Orthonormality)（2）完備性(Completeness)設1、2、、n，是某一線性厄米算符的本征函數(shù)系，任何與{n}滿足同樣邊界條件且在同樣區(qū)間定義的波函數(shù),都可以按{n}展開，即厄米算符的本征函數(shù)(本征態(tài))具有正交、完備性若在每個r處，此無窮級數(shù)都收斂到Ψ(r,t)，則稱{n}是完備的第二節(jié)第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2力學量的平均值(AverageValues)(1)力學量處于本征態(tài)時設厄米算符?的本征函數(shù)分別為1、2、、n，所屬的本征值為，1、2、n，當體系處于n時，力學量A有確定的值n，（2）當體系處于?的非本征態(tài)時，力學量A為何值？在非本征態(tài)中測量力學量的值為一平均值，當體系處于算符?的非本征態(tài)時，測量力學量A所得為平均值，如果已經(jīng)歸一化，力學量的平均值為如果尚未歸一化，力學量的平均值為第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二利用歸一化條件用*左乘上式并對全空間積分根據(jù)本征函數(shù)的完全性力學量的平均值為：所以為在Ψn態(tài)中，A取λn的幾率第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二狀態(tài)時，粒子的能量？也就是說，此時粒子不處于本征態(tài)。在此狀態(tài)下，測量粒子的能量由于波函數(shù)是歸一化的本征函數(shù)為：解：例：設粒子在一維無限勢阱(0,a)中運動，如果描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)為第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二3軌道角動量算符的本征值和本征函數(shù)(1)軌道角動量算符定義若位勢與坐標的方向無關，即，則稱此位勢為中心力場粒子若在中心力場中運動，角動量是表征體系轉動性質的重要物理量為區(qū)別自旋角動量，將其稱之為軌道角動量第三節(jié)第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(2)本征問題Spherical-harmonicsl稱為角量子數(shù)，表征角動量的大小A的本征方程本征函數(shù)m稱為磁量子數(shù)本征值為球諧函數(shù)，不僅應當在全空間有限，而且是一個單值函數(shù)第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例如：l=2時m可以取-2,-1,0,1,2;五個值本征值本征函數(shù)BLz的本征值和本征函數(shù)

Lz表示體系的軌道角動量在z軸方向的投影一個本征值對應2l+1個本征函數(shù)，本征值是2l+1度簡并的第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(3)討論算符的本征值是量子化的，只能取斷續(xù)值除了的基態(tài)外，算符的所有本征值都是簡并的，且簡并度為第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例題若粒子處于狀態(tài)求：分別測量的可能取值與相應的取值概率解：首先判斷波函數(shù)是否是歸一化的狀態(tài)其次計算各種條件下各力學量的可能取值和取值概率在態(tài)下，相應的取值概率公式為第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二4類氫原子的波函數(shù)和能量本征值(1)分離變量法求解定態(tài)方程，可以得到滿足波函數(shù)條件的解設

在球坐標下，薛定諤方程變?yōu)轭悮湓又械碾娮佑腥齻€自由度，因此要用三個量子數(shù)n,l,m來描述其運動狀態(tài)

Rnl(r)是徑向函數(shù)是角度部分的波函數(shù)，稱球諧函數(shù)主量子數(shù)：n角量子數(shù)：l磁量子數(shù)：m能量角動量角動量在z軸上的投影第四節(jié)第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（2）本征能量能量取下列離散值時，才有滿足波函數(shù)有限性條件的解電子的能量只與量子數(shù)n有關,n稱為主量子數(shù)玻爾第一軌道半徑氫原子的基態(tài)能量為若要使處于基態(tài)的氫原子電離，必須外加

13.6eV的能量隨量子數(shù)n的增加，氫原子能級間隔越來越小，當n→∞時能級接近連續(xù)分布氫原子能級圖EoE1E2第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（3）能級的簡并度電子的能級En只與主量子數(shù)n有關對應一個n值，l可以取0,1,2n-1共n個對應一個l值，m又可以取0,1,2,…l共2l+1個

l、m不同，函數(shù)的形式不同同一能量級對應著不同的本征函數(shù)——庫侖場中運動的電子能級是簡并的簡并度為電子的能級是n2度簡并的第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例1對能級簡并度是9，9個不同的波函數(shù)(9個不同的本征態(tài))有相同的能量它們是例2：氫原子中的電子處于狀態(tài)，求：(1)歸一化的波函數(shù)(2)能量有無確定值？如果沒有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？(3)角動量有無確定值？如果沒有，求其可能值和取這些值的幾率，并求平均值？(4)角動量的z分量有無確定值？如果有，求其本征值第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二利用本征函數(shù)的正交性，得到所以歸一化的波函數(shù)為解:(1)設歸一化常數(shù)為A，利用歸一化條件第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二(2)所以此波函數(shù)不是能量的本征函數(shù)，在此態(tài)中能量無確定值，能量的可能值為E2和E3，能量的平均值為(3)容易證明此波函數(shù)不是角動量平方算符的本征態(tài)第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二角動量平方的可能值為L2平均值：第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二是其本征函數(shù)，本征值為(4)第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二作業(yè)題：1氫原子中的電子處于求:(1)歸一化的波函數(shù)；

(2)能量有無確定值？如沒有，求其能量的可能值和取這些值的幾率

(3)角動量平方有無確定值？如果有求其本征值

(4)角動量的z分量有無確定值？如果沒有？求其可能值和取這些值的幾率2氫原子能量簡并度是多少？寫出n＝2的所有可能的能量狀態(tài)講義：P7414任選兩道第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二量子力學中可以進一步通過代表不同力學量的算符間所滿足的關系，來判斷哪些力學量可以同時取確定值，哪些力學量不可以同時取確定值，引入了對易的概念算符?、?

不對易如果兩個算符?、?

，先后作用到一個波函數(shù)上，作用的結果與作用的順序無關，如兩個算符?、?對易可以同時測定如果兩個算符滿足兩個算符反對易1算符的對易關系commutationrelation第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（1）坐