演示文稿振動力學(xué)第五章

演示文稿振動力學(xué)第五章現(xiàn)在是1頁\一共有59頁\編輯于星期三（優(yōu)選）振動力學(xué)第五章現(xiàn)在是2頁\一共有59頁\編輯于星期三振動速度系統(tǒng)的動能將振動速度代入得動能的最大值發(fā)生在時刻，即現(xiàn)在是3頁\一共有59頁\編輯于星期三若只考慮彎曲變形的影響，系統(tǒng)的應(yīng)變能為將運動方程代入得當時，應(yīng)變能最大，即使，即可得到瑞利商現(xiàn)在是4頁\一共有59頁\編輯于星期三用外力做功的數(shù)值代替系統(tǒng)應(yīng)變能的數(shù)值圖（b）系統(tǒng)上外力所做的總功為將運動方程代入上式得y(x,t)為靜荷載（自重、F等）引起的位移，如自重等現(xiàn)在是5頁\一共有59頁\編輯于星期三

當時，應(yīng)變能達到最大值，此時外力所作的功亦為最大值，

這時系統(tǒng)的動能除了分布質(zhì)量m(x)的動能外，還應(yīng)包括各集中質(zhì)量的動能，即將振動速度代入得現(xiàn)在是6頁\一共有59頁\編輯于星期三當時，動能達最大值由得到現(xiàn)在是7頁\一共有59頁\編輯于星期三例：如圖（a）所示均質(zhì)等截面簡支梁。單位梁長的質(zhì)量為，其抗彎剛度EI為常數(shù)。若振型分別為圖（b）所示（為梁中點的最大撓度）和圖（c）所示梁在自重作用下的撓曲線。分別計算自振頻率，并將所得結(jié)果進行比較?，F(xiàn)在是8頁\一共有59頁\編輯于星期三解：（1）振型為從而得自振頻率精確解現(xiàn)在是9頁\一共有59頁\編輯于星期三（2）取振型為梁在自重荷載上的撓曲線。圖（c）所示為勻布自重荷載作用下簡支梁的靜力撓曲線，即最大動能外力做功的最大值現(xiàn)在是10頁\一共有59頁\編輯于星期三因為,可以解得此值與精確解相比較，偏大約2％現(xiàn)在是11頁\一共有59頁\編輯于星期三例：計算重力壩沿水流方向的自振頻率時，可以取沿壩軸線方向單位長度的壩體近似地簡化為圖（a）所示的變截面懸臂梁。試用瑞利法計算其自振頻率?，F(xiàn)在是12頁\一共有59頁\編輯于星期三解：選變截面懸臂梁在其自重作用下所引起的撓曲線作為近似振型，如圖（b）所示，即從圖（b）可以看出其分布質(zhì)量為最大動能和外力功的最大值為現(xiàn)在是13頁\一共有59頁\編輯于星期三根據(jù)得到現(xiàn)在是14頁\一共有59頁\編輯于星期三例：等截面懸臂梁端部有一集中質(zhì)量用瑞利法估計基頻解：選擇等截面懸臂梁在均布載荷下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：選擇端部集中質(zhì)量作用下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：因集中質(zhì)量大于梁的分布質(zhì)量，選用后一種試函數(shù)好現(xiàn)在是15頁\一共有59頁\編輯于星期三例.用能量法計算圖示體系的基頻.mmm321解:1.取自重引起的位移mgmgmg精確解:現(xiàn)在是16頁\一共有59頁\編輯于星期三2.取直線mmm321mgmgmg3.取常數(shù)精確解:現(xiàn)在是17頁\一共有59頁\編輯于星期三二，李茲能量法李茲給出了級數(shù)形式的近似振型將上式代入瑞利商的表達式得現(xiàn)在是18頁\一共有59頁\編輯于星期三引進下列記號為所以根據(jù)頻率為極值的條件現(xiàn)在是19頁\一共有59頁\編輯于星期三得到即簡化上式并將代入得或現(xiàn)在是20頁\一共有59頁\編輯于星期三

上式為n個齊次線性方程，為了使方程組有非零解，必須得到

上式展開后得到一個的n次方程，該方程有n個根。對于其中的每一個根都可求得一組常數(shù)，因此得到n個振型函數(shù)

求得的就是所研究的系統(tǒng)前n個自振頻率和振型函數(shù)的近似解?，F(xiàn)在是21頁\一共有59頁\編輯于星期三例：試用李茲法求圖所示重力壩的第一和第二階自振頻率?，F(xiàn)在是22頁\一共有59頁\編輯于星期三解：為了使級數(shù)各項都滿足位移邊界條件，近似振型函數(shù)選為假設(shè)經(jīng)一次近似計算只取第一項，即代入瑞利商的表達式得現(xiàn)在是23頁\一共有59頁\編輯于星期三若取級數(shù)前兩項，即

將代入相關(guān)式子計算出，這時成為展開系數(shù)行列式，并令其等于零,得頻率方程：現(xiàn)在是24頁\一共有59頁\編輯于星期三解得與精確解的相對誤差為0.6％，是較高一階頻率的近似值?，F(xiàn)在是25頁\一共有59頁\編輯于星期三例：圖所示等截面懸臂梁，用李茲法求自振頻率?，F(xiàn)在是26頁\一共有59頁\編輯于星期三解：選取兩個函數(shù)：

這兩個函數(shù)在梁的支承處滿足固定端邊界條件。于是，近似振型函數(shù)可取為求得如下現(xiàn)在是27頁\一共有59頁\編輯于星期三現(xiàn)在是28頁\一共有59頁\編輯于星期三于是，頻率方程為從上式可得到一個關(guān)于的方程，方程的根為現(xiàn)在是29頁\一共有59頁\編輯于星期三這兩個頻率的精確值為比較得，第二階自振頻率精讀很差。為了改善得計算精讀，采用以下四個函數(shù)：現(xiàn)在是30頁\一共有59頁\編輯于星期三求得結(jié)構(gòu)的前四階頻率為該結(jié)構(gòu)第三階和第四階自振頻率的精確值為

比較得，的精讀最高，次之，的精讀最差。所以說，為了得到精讀較高的高階頻率，往往需要選取較多的函數(shù)?，F(xiàn)在是31頁\一共有59頁\編輯于星期三例：等截面簡支梁梁中部有一集中質(zhì)量Ma，大小等于梁的質(zhì)量采用里茲法，求：梁的模態(tài)函數(shù)近似解Ma選取無集中質(zhì)量時的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)：解：基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零）現(xiàn)在是32頁\一共有59頁\編輯于星期三模態(tài)試函數(shù)：若對第三階固有頻率的精度要求不高，取n＝3代入里茲法方程，求得系數(shù)：現(xiàn)在是33頁\一共有59頁\編輯于星期三模態(tài)試函數(shù)：梁的模態(tài)函數(shù)近似解：現(xiàn)在是34頁\一共有59頁\編輯于星期三

第二節(jié)冪法計算自振頻率和振型一，最低階頻率和振型的計算上式兩邊左乘以

首先假定一個任意的規(guī)準化振型，例如令其中第一個自由度振幅值為1，即，亦即，假定規(guī)準化振型上標（0）表示假設(shè)的初始形狀，即零次迭代?，F(xiàn)在是35頁\一共有59頁\編輯于星期三

把這個假定的標準化振型代入等號左邊，經(jīng)過運算得，即將中第一個元素歸一化為1后，得式中

這就是頻率和振型的第一次近似值。再把代入，仿此繼續(xù)循環(huán)迭代計算，直到經(jīng)過連續(xù)迭代前后兩次的給出相同或近乎相同的數(shù)值為止，這樣得到的就是系統(tǒng)的最低自振頻率及相應(yīng)的振型?，F(xiàn)在是36頁\一共有59頁\編輯于星期三如果假定的形狀是一個真實的振型，則因此，

那么，中任何一對對應(yīng)元素的比值都能得到相同的頻率，則

一般來說，經(jīng)過一次迭代后的和假定的的形狀是不一樣的。對于上式中的每一次位移坐標會得到不同的值?，F(xiàn)在是37頁\一共有59頁\編輯于星期三在這種情況下，

為了求出較好的頻率近似值，通常采用以質(zhì)量作為加權(quán)系數(shù)的平均法，用左乘以

當真實振型或是自重作用下的撓曲線都不能很快給出時，習(xí)慣上總是把各質(zhì)體的幅值假定為1，即取現(xiàn)在是38頁\一共有59頁\編輯于星期三例：如圖所示三層剛架，試用冪法計算它的最低自振頻率和振型?，F(xiàn)在是39頁\一共有59頁\編輯于星期三解：該系統(tǒng)的勁度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為因此，這個結(jié)構(gòu)的柔度矩陣是現(xiàn)在是40頁\一共有59頁\編輯于星期三由此得將假定的初始迭代振型代入上式等號左邊，得現(xiàn)在是41頁\一共有59頁\編輯于星期三將代入，算得將代入，算得現(xiàn)在是42頁\一共有59頁\編輯于星期三將代入，算得

因為前后兩次迭代的振型基本相同，迭代至此停止，求得的第一振型為，相應(yīng)的自振頻率為精確解現(xiàn)在是43頁\一共有59頁\編輯于星期三如果按照來求第一自振啤頻率，則

可見，第一次迭代求得的頻率精度較差。采用質(zhì)量為權(quán)系數(shù)平均，只需迭代一次就能得到較好的頻率近似值現(xiàn)在是44頁\一共有59頁\編輯于星期三

現(xiàn)在來證明上述迭代法求出頻率和振型就是系統(tǒng)的最低自振頻率和相應(yīng)的振型。

當給出假定的振型后，逐次迭代可以作出如下的一系列向量現(xiàn)在是45頁\一共有59頁\編輯于星期三對于開始所假定的振型可表示為將上式前乘以D,則現(xiàn)在是46頁\一共有59頁\編輯于星期三

由于即，故當?shù)螖?shù)k充分大時，，只要時，則有

這就說明，在迭代k次后，向量與向量僅相差一常數(shù)倍數(shù)，或者說向量收斂于向量。由于每迭代一次都要歸一化一次，所提出的因子就是，所以迭代k次后，就收斂到系統(tǒng)的第一自振頻率和對應(yīng)的振型。現(xiàn)在是47頁\一共有59頁\編輯于星期三二，最高階頻率和振型的計算用左乘以

則基于上式的迭代計算結(jié)果將得到最高階的自振頻率和相應(yīng)的振型。為了論證這一點，令按照前面同樣的論證方法可以得到迭代k次的向量為現(xiàn)在是48頁\一共有59頁\編輯于星期三

因為，當k充分大時，，所以上面等式右端各項比最后一項要小得多，略去前面（n-1）項，于是得到

這就說明，迭代k次后就收斂到系統(tǒng)的最高一階振型。給出第n階自振頻率的近似值或現(xiàn)在是49頁\一共有59頁\編輯于星期三例：圖所示三層剛架，試用冪法計算它的最高自振頻率和振型?，F(xiàn)在是50頁\一共有59頁\編輯于星期三解：按，有

假定初始振型，并設(shè)，代入上式等號左邊，得到現(xiàn)在是51頁\一共有59頁\編輯于星期三繼續(xù)迭代計算，得現(xiàn)在是52頁\一共有59頁\編輯于星期三

前后兩次迭代振型已基本接近，迭代中止，得到第三階振型為與前面所得第三階振型一致，其相應(yīng)的第三階自振頻率為現(xiàn)在是53頁\一共有59頁\編輯于星期三三，高階頻率和振興的計算假設(shè)振型

逐階消頻法：當要求第r+1階振型時，可以在假設(shè)振型中清除掉所有前面r階振型分量，逐步收斂到第r+1階振型，從而求出所需若干階振型。在上式等號兩邊前乘以,并利用振型的正交性得現(xiàn)在是54頁\一共有59頁\編輯于星期三從上式中解出

為了在假設(shè)的振型中清掉所有前面r階振型分量，可取初始迭代向量為

式中，為r階清型矩陣或淘汰矩陣；I為主對角元素為1的對角矩陣?，F(xiàn)在是55頁\一共有59頁\編輯于星期三

在實際迭代計算過程中，應(yīng)該在每次迭代后都要重新清型。也就是說，只是在求系統(tǒng)的第一階振型時用矩陣D前乘，在以后各階振型的計算中，每次都要用清型后的矩陣來前乘。經(jīng)過清型后的各階矩陣稱為收縮矩陣，可表示為現(xiàn)在是56頁\一共有59頁\編輯于星期三收縮矩陣還可以寫成遞推公式的形式對收縮矩陣作些說明。上式取r=1，則上式兩邊右乘以現(xiàn)在是57頁\一共有59頁\編輯于星期三當