充分必要條件、充要條件

充分條件、必要條件、充要條件符號與的介紹

如果命題為真，即如果p成立，那么q一定成立，記作，讀作“

p推出

q”．pq

如果命題為假，即如果p成立，那么q不成立，記作，讀作“p推不出

q”．pq現(xiàn)有命題“假設p那么q〞，新知準備問題？ABBA下面兩欄中的A與B之間存在何種關系？（1）哪些AB？（2）哪些BA？（3）哪些既能

又能？以c為最大邊的三角形是RtΔ1２３４５６７x>0x=√2兩三角形全等a、b為奇數(shù)ab>0=a2b2c2+-2x-3=0x2>0x2=2x2兩三角形面積相等a+b為偶數(shù)a>0且b>0=-1xAB以a、b、c為三邊的三角形，6答案：（2）BA

：ABB（3）既能

A：又能（1）AB

：1234（6）75（6）以c為最大邊的三角形是RtΔ1２３４５６７x>0x=√2兩三角形全等a、b為奇數(shù)ab>0=a2b2c2+-2x-3=0x2>0x2=2x2兩三角形面積相等a+b為偶數(shù)a>0且b>0=-1xAB以a、b、c為三邊的三角形，觀察1、2、3、4觀察5、7充分條件的定義必要條件的定義

如果A成立時，B必然成立，即，我們就說，A是B成立的充分條件．（即為使B成立，只需條件A就夠了）AB

如果B成立時，A必然成立，即，我們就說，A是B成立的必要條件．（即為使B成立，就必須條件A成立）BA觀察6充要條件的定義

如果A成立時，B必然成立，即，而且B成立時，A也必然成立，即．這時我們就說，，簡稱，記作或．ABBAABBA

當，而且．這時我們就說，A是B的既不充分也不必要條件．BAABA是B成立的充分必要條件A是B的充要條件〔2〕p：三角形的三邊相等，q：三角形的三個角相等．（1）

p：x=y，

q：．=x2y2

例1．指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：x=y=x2y2

由，即，

知p是q的充分條件，q是

p的必要條件．pq〔1〕p：x=y，q：x2=y2．解：

由，

即三角形的三邊相等三角形的三個角相等，

知p是q的充分條件，q是

p的必要條件；

pq〔2〕p：三角形的三邊均相等，q：三角形的三個角均相等．qp反過來，由，

即三角形的三個角相等三角形的三條邊相等，

知q是p的充分條件，p是q的必要條件．因此，p與q互為充要條件．解：1．用符號“

”與“

”填空：

(1)

x=0

xy=0.(2)xy=0

x

=0.(3)兩個角相等

兩個角是對頂角.

(4)兩個角是對頂角

兩個角相等.

練一練2．以下各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：(1)p：a∈Q，q：a∈R．

(2)p：a∈R，q：a∈Q．

(3)p：內(nèi)錯角相等，q：兩直線平行．

(4)p：兩直線平行，q：內(nèi)錯角相等．

Key:p是q的充分條件，

q是p的必要條件Key:p是q的必要條件，q是p的充分條件Key:p是q的充分條件，q是p的必要條件Key:p是q的充分條件，q是p的必要條件pq，且qp，那么p是q的充要條件；條件的分類pq，但qp，則p是q的充分而不必要條件；qp，但pq，則p是q的必要而不充分條件；pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.〔1〕從邏輯推理關系來看：〔2〕從集合與集合關系來看：假設AB，那么A是B的充分條件；假設AB，那么A是B的必要條件；假設A=B，那么A是B的充要條件；假設AB且BA，那么A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件；四種“條件〞的情況反映了命題的條件與結論之間的因果關系，所以在判斷時應該：⑴確定條件是什么，結論是什么；⑵嘗試從條件推出結論，從結論推出條件，方法有：直接證法〔定義〕或間接證〔逆否命題〕法；⑶確定條件是結論的什么條件.(1)p：(x-2)(x-3)=0;q：x–2=0．

(2)p：同位角相等;q：兩直線平行．

(3)

p：x=3;q：x2=9．

(4)

p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．

例2．指出下列各組命題中，p是q的什么條件(在“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既不充分,也不必要”中選出一種)？x–2=0(x–

2)(x-

3)=0，

(x

–

2)(x-

3)=0x

–2=0．所以p是q的必要而不充分條件．

同位角相等兩直線平行．所以p是q的充要條件．(1)p：(x-2)(x-3)=0;q：x–2=0．解：(2)p：同位角相等;q：兩直線平行．解：(4)

p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．

x=3，，

所以p是q的充分而不必要條件．x2=9=3xx2=9四邊形的對角線相等四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形四邊形的對角線相等．

所以p是q的既不充分也不必要條件．(3)

p：x=3;q：x2=9．

解：解：1．從“〞“〞與“〞中選出適當?shù)姆柼羁眨?1)x>-1x>1.(2)x2=3x+4.(3)a=ba+c=b+c.(4)a2-2ab+b2=0a=b.練一練2．從“充分而不必要條件〞、“必要而不充分條件〞、“充要條件〞中選出適當?shù)囊环N填空：(1)“a=b〞是“ac=bc〞的．

(2)“兩個三角形全等〞是“兩個三角形相似〞的．(3)“a+5是無理數(shù)〞是“a無理數(shù)〞的．(4)“四邊形的兩條對角線相等〞是“四邊形是矩形〞．充分而不必要條件充分而不必要條件充要條件必要而不充分條件現(xiàn)規(guī)定電路中，記“開關K閉合〞為p，“燈泡L點亮〞為q，指出以下各電路圖中p是q的什么條件？：燈泡L：開關：電源圖示K(A)(B)(C)(D)LLLLKKKAA素質(zhì)拓展與學科滲透p

是q

的充要條件p

是q

的必要而不充分條件p

是q

的充分而不必要條件p

是q

的既不充分也不必要條件由B是C的充分條件可得，BC由D是C的必要條件可得，CD由D是B的充分條件可得，DB由A是C的充分條件可得，ACADCB因而可得，

(1)D是C的充要條件．

(2)A是B的充分而不必要條件．設A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B的充分條件，那么(1)D是C的什么條件？(2)A是B的什么條件？解：練習1=0m-x

-

x2∴m

<-３方程無實根．

已知“p：m<-3,q：方程無實根”,指出p是q的什么條件？=0m-x

-

x2=0m-x

-

x2方程無實根，則Δ=

(-

1)2–4·1·

(-

m)=1+4m<0∴p是q的充分條件．=0m-x

-

x2∵方程無實根m

<-３，

∴p不是q的必要條件．∴綜上所述，p是q的充分而不必要條件．解：練習2

從“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”中選出適當?shù)囊环N填空：

(1)“AB”是“A∩B=A”的

．

(2)

“x∈A”是“x∈A∩B”的

．

(3)“a=b=0”是“ab=0”的

．

(4)“0