高考數(shù)學(xué)大題訓(xùn)練30

高考數(shù)學(xué)大題訓(xùn)練301．（本小題滿分16分）（A）（四星高中學(xué)生做）第19題圖yxOF1F2··已知橢圓E：上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線交橢圓于第19題圖yxOF1F2··（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，過(guò)作動(dòng)直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N，在線段MN上取點(diǎn)，滿足，試證明點(diǎn)恒在一定直線上．19．解：（1）由題，，又因?yàn)閺亩?，所以橢圓E：………………………4分(2)設(shè)，，因?yàn)椋?，所以又因?yàn)榍掖牖?jiǎn)得……10分(3)設(shè)過(guò)P的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，則，．∵，∴設(shè)，則，∴，整理得，，∴從而，∴，所以點(diǎn)恒在直線上．…………………16分2（B）（三星高中及普通高中學(xué)生做）已知橢圓E：上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線交橢圓于點(diǎn)．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）證明：直線與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)．解：（1）（2）同（A）(3)由(2)知，直線的方程為，即，由得，化簡(jiǎn)得:，解得，所以直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)．………16分3．（本小題滿分16分）（A）（四星高中學(xué)生做）設(shè)函數(shù)，．(1)記，若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記為的導(dǎo)函數(shù)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，=3\*GB3③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，只需，得，又因?yàn)?，所以，．綜上所述，或．…………………16分4（B）（三星高中及普通高中學(xué)生做）設(shè)函數(shù)，．(1)記，若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)記為的導(dǎo)函數(shù)，若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，對(duì)任意的，不等式恒成立．求的值.解：（1）（2）同（A）（3）當(dāng)，．由恒成立知，恒成立，設(shè)．由題意知，故當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，因此，恒成立，記，由，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，又，所以．……………16分5.（本題滿分16分）在函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次是．yxooACAAyxooACAAA（第18題圖）（2）求的面積的值域．解：，，所以；………4分（2）…8分………………12分，………………14分因?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，所以．………………16分6.（本題滿分16分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；(2）若方程在恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍（注：）；（3）當(dāng)時(shí)，若在的最大值為，求的表達(dá)式．解（1）當(dāng)時(shí)，，，解得或．………2分（2）由得，令，則，當(dāng)時(shí)，．……………4分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞減；所以，…………6分又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根實(shí)數(shù)的取值范圍為．……………8分（3）,令得，．……………10分當(dāng)時(shí)，在上，所以在上遞減，所以；當(dāng)時(shí)，在上，所以在上遞減；在上，所以在上遞增；在上遞減，，，（注：以上可簡(jiǎn)化）當(dāng)時(shí)，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．………14分所以．………16分7.（本題滿分16分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恒為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．24.．（1）所以，，因?yàn)椋裕^(guò)點(diǎn)的切線方程為．………4分（2）當(dāng)在恒成立時(shí)，在區(qū)間上恒為單調(diào)增．即，所以，而在上最小值為0,所以，，即．當(dāng)在恒成立時(shí)，在區(qū)間上恒為單調(diào)減．即，所以，而在上最小值為12,所以，，即．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是或．…………10分（3）令，注意到，所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立．又，，．1°當(dāng)時(shí)，，（等號(hào)不恒成立），∴在上為增函數(shù)，對(duì)任意的恒成立．2°當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，于是，不合題意，舍去．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．…………16分8.（本題滿分14分）已知函數(shù)，是實(shí)數(shù)．（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．.（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋狈钟珊瘮?shù)有零點(diǎn)，即方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解，…２分可得在上有解，…３分因?yàn)?，所以，所以的取值范圍是．……?分（2）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的值域?yàn)椋?4分9．（本題滿分16分）工廠去年新開(kāi)發(fā)的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬(wàn)只，每只產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為10元，固定成本為8元．今年工廠第一次投入100萬(wàn)元的科技成本，并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)元，預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增10萬(wàn)只，投入次后，每只產(chǎn)品的固定成本為（為常數(shù)，）．若產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)保持不變，第次投入后的年純利潤(rùn)為萬(wàn)元（年純利潤(rùn)＝年收入－年固定成本－年科技成本）．⑴求的值，并求出的表達(dá)式；⑵問(wèn)從今年起，第幾年純利潤(rùn)最高？最高純利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？解：（1）由題意當(dāng)n＝0時(shí)，g(0)＝8，可得k＝8．…………………2分所以，即，．……………8分（2）由，………………12分當(dāng)且僅當(dāng)，即n＝8時(shí)取等號(hào)，………14分所以第8年工廠的純利潤(rùn)最高，最高為520萬(wàn)元．……16分10.（本題滿分16分）設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根、滿足．(1)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，證明：x<f(x)<x1(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝x0對(duì)稱(chēng)，證明：x0<．證明：(1)由于、是方程的兩個(gè)根，則當(dāng)時(shí)，有∴又∴即又由得∵又∴，∴即綜上所述，．(2)∵∴變式訓(xùn)練4：設(shè)f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)