線性代數(shù)第四章

1

考慮所有的n維行(或列)向量形成的集合,由于這些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩陣,可以進(jìn)行加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算,并且運(yùn)算的結(jié)果仍然是n維行(列)向量.即該集合關(guān)于加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，在數(shù)學(xué)上我們稱該集合關(guān)于這兩個(gè)運(yùn)算構(gòu)成了一個(gè)運(yùn)算系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)就是我們本章要定義的向量空間.：第四章向量間的線性關(guān)系與線性方程組空間2

向量之間關(guān)于這兩個(gè)運(yùn)算的關(guān)系,即所謂的線性關(guān)系則是線性代數(shù)所要研究的核心內(nèi)容.利用這些理論去解釋線性方程組求解過程,將會發(fā)現(xiàn)對線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換并將其化為行階梯型時(shí),這些階梯型矩陣中其元素不全為零的行的數(shù)目其實(shí)是該矩陣行向量間和列向量間所共有的一個(gè)十分重要的數(shù)字特征,從而我們能夠更深入地了解線性方程組解的結(jié)構(gòu).3§4.1

向量空間和子空間的定義§4.2

線性組合與線性表出§4.3線性相關(guān)與線性無關(guān)§4.4向量空間的基和維數(shù)§4.5極大無關(guān)組和向量組的秩§4.6矩陣的秩§4.7線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.8基變換和坐標(biāo)變換*4§4.1

定義及性質(zhì)

一、向量空間的定義如上定義的n維向量也稱為n維行向量.n維向量也可以用列的形式寫出,稱為列向量:

任意n個(gè)(實(shí))數(shù)a1,a2,…,an

構(gòu)成的如下的n元有序組(a1,a2,…,an)稱為n維(實(shí))向量,每一ai稱為此向量的第i個(gè)分量.5其中，b1,b2,…,bn 為任意（實(shí)）數(shù).如無特別申明，n維向量均為實(shí)向量.6通常,記為R所有實(shí)數(shù)的集合,并記Rn為所有n維行向量的集合或所有n維列向量的集合.現(xiàn)考慮為所有n維行向量的集合的情形（同理可討論為所有n維列向量的集合的情形）.7向量的相等:兩個(gè)向量=(a1,a2,…,an)和=(b1,b2,…,bn)相等，當(dāng)且僅當(dāng)ai=

bi,i=1,2,…,n,并記為=.零向量:分量全為零的向量稱為零向量，記為O=(0,0,…,0)負(fù)向量:任一向量=(a1,a2,…,an)的各分量反號得到的向量稱為的負(fù)向量，記為=(a1,

a2,…,

an)

8向量的和:設(shè)=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn),則與的和為

+=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn)

數(shù)乘向量:設(shè)=(a1,a2,…,an)，k是任一實(shí)數(shù)，則數(shù)k與向量的積為

k=k(a1,a2,…,an)=(ka1,

ka2,…,

kan)向量的差:設(shè)=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn),則與的差為

=(a1b1,a2b2,…,an

bn)

9

顯然,關(guān)于向量的加法和數(shù)乘,定理中運(yùn)算律成立.我們現(xiàn)在定義：10所有n維實(shí)向量的集合Rn中定義了如上的向量加法和數(shù)乘向量兩種運(yùn)算,(并滿足如下的8條運(yùn)算律)稱為n維實(shí)向量空間.1．+=+ （加法交換律）2．+(+)=(+)+（加法結(jié)合律）3．+O=4．+(-)=O5．1=6．k(l)=(kl)7.

k(+)=k+k

8.

(k+l)=k+l其中,,,是任意向量,k,l是任意的實(shí)數(shù).11特別地我們有：設(shè),是Rn中任意兩個(gè)向量，則(i)

0

=O，kO=O；k為任意實(shí)數(shù)；(ii)

如k=O，那么k=0或者=O；(iii)

如+=O，那么=

；(iv)

(1)

=12二.向量子空間定義4.1.3設(shè)W是的Rn一個(gè)非空子集.如果(i)對任意的,∈W，均有+∈W;(ii)對任意的∈W和任意的k∈R，有k∈W.則稱W是Rn的一個(gè)子空間.子空間中向量加法和數(shù)乘向量滿足向量空間定義中的八條運(yùn)算律.從而將向量空間和它的子空間均稱為向量空間.13例1證明:如果W是Rn的一個(gè)子空間,則必有OW.例2

設(shè)S為R2中所有形如(a為任意實(shí)數(shù))

的向量的集合,驗(yàn)證S是R2的一個(gè)子空間.例3驗(yàn)證下述集合是Rn(n2)的一個(gè)子空間.

14例4驗(yàn)證如下形式的向量的全體構(gòu)成的集合

不是

的子空間.

明顯地，Rn是Rn自身的子空間;另外,只含零向量的子集={O}也是Rn

的一個(gè)子空間.15§4.2線性組合與線性表出一、

線性組合與線性表出

定義

設(shè)1,2,…,mRn,k1,k2,…,km

為m個(gè)數(shù),稱向k11+k22+…+kmm為向量組1,2,…,m的一個(gè)線性組合.，16

定義

設(shè)1,2,…,m,Rn,如果存在數(shù)l1,l2,…,lm

使得=l11+l22+…+lmm則稱向量

可由向量組1,2,…,m線性表出.，17例4.2.1線性方程組的向量形式:給定一線性方程組令系數(shù)矩陣

[aij]mn的列向量組為1,2,…,n,而且令向量=(b1,b2,…,bm)T,則該線性方程組可以表示為以下向量形式：

x11+x22+…+xnn=從而,線性方程組(4.2.1)是否有解當(dāng)且僅當(dāng)該方程組的常數(shù)項(xiàng)向量是否可由其系數(shù)矩陣的列向量組1,1,…,n線性表出.18例4.2.2試判定向量=(1,2,0,2)T是否可由向量組線性表出.1=(1,1,1,0)T,2=(1,1,0,1)T,3=(1,0,1,1)T,4=(0,1,1,1)T19定理4.2.1設(shè)1,2,…,m是一組向量，則span(1,2,…,m)是一個(gè)向量空間.二、生成子空間*20推論設(shè)W是Rn的一個(gè)子空間,1,2,…,m是W中一組向量,則W=span(1,2,…,m)（即W由向量組1,2,…,m所生成）的充分必要條件是：W中每一向量可由1,2,…,m線性表出.定理4.2.2設(shè)W是Rn的一個(gè)子空間,1,2,…,m是W中一組向量,則span(1,2,…,m)W

21注.

若W=span(1,2,…,m),則稱1,2,…,m是子空間W的一組生成元,并稱W為1,2,…,m生成的子空間.22一．

定義線性相關(guān)與線性無關(guān)是線性代數(shù)中十分重要的概念，是理解向量空間構(gòu)成的關(guān)鍵性概念.§4.3線性相關(guān)與線性無關(guān)23

取,為平面

上起點(diǎn)在原點(diǎn)且不共線的兩個(gè)向量.則,

生成了

的一個(gè)子空間.由,

不共線知,對任意的兩個(gè)不全為零的數(shù)k和l,線性組合k+l

不是零向量.否則,如有不全為零的數(shù)k和l,使得

k+l=O不妨設(shè)l≠0，則有

=(k/l)

從而

與共線(即

是

的

倍),矛盾.因此,等式

k+l=O，

k，lR

要成立,必須有

k0和

l0同時(shí)成立.此時(shí)稱與是線性無關(guān)的.

24

另外，由,

生成W知，W中任意向量可由,

線性表出,即存在實(shí)數(shù)c和d，使得

=c+d

即有

c+d

=O

(4.3.1)從而,有不全為零的數(shù)c,d,和1,使得(4.3.1)成立.這時(shí)稱向量組

,

,

是線性相關(guān)的.25設(shè)1,2,…,m是向量空間V的一組向量.如存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使得

k11+k22

+…+kmm=O (4.3.2)則稱1,2,…,m是線性相關(guān)的；否則,當(dāng)且僅當(dāng)k1,k2,…,km全為零時(shí)(4.3.2)式才成立,則稱1,2,…,m是線性無關(guān)的.26①單獨(dú)一個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是零向量．單獨(dú)一個(gè)向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是非零向量兩向量線性相關(guān)兩向量對應(yīng)元素成比例兩向量線性無關(guān)兩向量不對應(yīng)成比例．注.27⑤一向量組中存在一個(gè)Ｏ向量，則一定線性相關(guān)．⑥幾何上：兩向量線性相關(guān)兩向量共線；三向量線性相關(guān)三向量共面.2829分析.判斷1，2，3是否線性相關(guān)，即，求是否存在非零常數(shù)k1，k2，k3使得k11＋k22＋k33＝0寫成方程組的形式為利用行初等變換的方法解此方程組.30(1)

解.因?yàn)楣?，2，3線性無關(guān).31(2)

解.因?yàn)楣?，2，3，4線性相關(guān).3233小結(jié)：判定給定的一向量組1,2,…,m是否線性相關(guān)或線性無關(guān)，通常運(yùn)用“待定系數(shù)法”，即設(shè)待定系數(shù)

滿足關(guān)系式再根據(jù)向量相等則各對應(yīng)分量分別相等而得到一個(gè)關(guān)于這m個(gè)待定系數(shù)（做為未知量）的齊次線性方程組，并進(jìn)一步求解.如有非零解,則1,2,…,m線性相關(guān).否則,1,2,…,m線性無關(guān).在本章第六節(jié)我們還將引入初等變換的方法對向量組的線性相關(guān)性進(jìn)行判定.3435向量組

(m2)線性相關(guān)的充分必要條件是此向量組中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.二.性質(zhì)證.必要性.∵Ａ線性相關(guān)，∴至少有一個(gè)系數(shù)ki≠0，使得36充分性.所以A線性相關(guān).37設(shè)1,

2,…,

m和1,

2,…,

s是兩組向量.如果每一i

均可由1,

2,…,

m線性表出,則稱向量組1,

2,…,

s可由向量組1,

2,

…,

m線性表出;進(jìn)一步,如果向量組1,

2,…,

m也可由向量組1,

2,…,

s線性表出,則稱兩向量組等價(jià).38注線性表出具有“傳遞性”，即，設(shè)向量組1,

2,…,

m也可由向量組1,

2

,…,

s線性表出，而1,

2,…,

s可由1,

2,…,

t線性表出，則2,…,

m也可由向量組1,

2,…,

t線性表出.39設(shè)向量組1,

2,…,

m可由向量組1,

2,

…,

s線性表出,即，寫成矩陣形式40設(shè)向量組1,

2,…,

m可由向量組1,

2,

…,

s線性表出,并且m>s，則1,

2,…,

m線性相關(guān).通俗地：“多的如能被少的表出，則相關(guān)”.*如向量組1,

2,…,

m可由向量組1,

2,…,

s線性表出，并且1,

2,…,

m線性無關(guān)，則必有ms.此定理可等價(jià)地?cái)⑹鰹椋和ㄋ椎卣f，“少的不能表出多的無關(guān)組”.41推論4.3.1兩組線性無關(guān)的向量組如果等價(jià)則所含向量個(gè)數(shù)相等.推論4.3.2

多于n個(gè)的n維向量組線性相關(guān).證明.由與例3可以得出結(jié)論.42434445定理4.3.3一組線性無關(guān)的n維向量添加k個(gè)同序號分量后得到的n+k維向量組仍然線性無關(guān).（“原無關(guān)，添加分量后仍無關(guān)”）此定理可等價(jià)地表述為:定理4.3.3*

設(shè)i=(ai1,ai2,…,aim),i=1,2,…,s是一組線性相關(guān)的n維向量.則去掉每一i中第j1,j2,…,jk位上的分量(1<j1<j1<…<jk<m)后得到向量組也線性相關(guān).（“原相關(guān)，去掉分量后仍相關(guān)”）.46注：“原無關(guān)，去掉分量后可能相關(guān)”；“原相關(guān)，添加分量后可能無關(guān)”.

47定理

一個(gè)向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)．證.設(shè)向量組中有r個(gè)向量線性相關(guān)，不妨設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)，使得因而存在不全為零的數(shù)使得故線性相關(guān).48定理*線性無關(guān)的向量組中任一部分向量組也線性無關(guān)．49答案：應(yīng)用定理4.3.5.50例6.若向量組線性相關(guān)，而向量組線性無關(guān)，則向量可由線性表出，且表示法唯一.證明.51§4.4向量空間的基和維數(shù)

向量空間V中一組向量1,

2,…,

m如滿足(i)

1,

2,…,

m線性無關(guān);(ii)

V中任一向量可由此向量組線性表出.則稱1,

2,…,

m為V中的一個(gè)基.5253設(shè)1,2,…,s和1,2,…,t均為向量空間W的基.那么必有s=t.證明.由推論直接可得.一向量空間V{O}時(shí),V的任一基所含向量個(gè)數(shù)稱為V的維數(shù);當(dāng)V={O}時(shí),稱V的維數(shù)為0.54注.

由此例子可看到,一向量空間的向量是n維的,但此空間的維數(shù)卻可能小于n.例

取上一節(jié)例5中的向量組55§4.5極大無關(guān)組與向量組的秩給定一組向量,它們可能是線性相關(guān)的,但其部分向量組可能是線性無關(guān)的.而確定其部分向量組線性無關(guān)向量的最大個(gè)數(shù)則十分重要.它不但可確定這組向量生成的子空間的維數(shù),而且在定義矩陣的秩,討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)等都起著關(guān)鍵的作用.

56例如,下述五個(gè)四維向量顯然線性相關(guān).57稱一向量組1,2,…,m

的部分向量組i1,i2,…,ir(i1<i2<…<ir)為一極大線性無關(guān)組(簡稱極大無關(guān)組),如果(i)i1,i2,…,ir線性無關(guān);(ii)每一j,1jm,

可由i1,i2,…,ir

線性表出.注.由例6可知，(ii)可等價(jià)地表示為(ii)’每一j(1jm),

j,i1,i2,…,ir

線性相關(guān).58一向量組的任一極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為此向量組的秩.

一向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等.證明.由推論直接可得.59定理4.5.2*

i1,i2,…,ir是向量組1,2,…,m的極大無關(guān)組，當(dāng)且僅當(dāng)i1,i2,…,ir是向量空間span(1,…,m)的基.注.向量組1,2,…,m與它的任一極大無關(guān)組i1,i2,…,ir等價(jià).定理

設(shè)向量組可由向量組1,2,…,s線性表出,則向量組60定理4.5.3設(shè)向量組1,2,…,m可由向量組1,2,…,s線性表出,則向量組1,2,…,m的秩不大于向量組1,2,…,s的秩.定理

設(shè)向量組可由向量組1,2,…,s線性表出,則向量組61例１求向量組

1=(0,2,6,0,8)，2=(1,3,2,0,4),

3=(1,2,5,0,0)，4=(3,8,5,2,11)的秩，一個(gè)極大無關(guān)組，并將其它向量用此極大無關(guān)組線性表出．

解.

626364故向量組1,2,

3,4的秩為3，1,2,

4是一個(gè)極大無關(guān)組，且有65§4.6矩陣的秩

66定理4.6.1初等變換不改變矩陣的秩.由于任意矩陣的行秩與列秩相等，則統(tǒng)稱矩陣的行秩和列秩為此矩陣的秩,并記一矩陣A的秩為r(A).一矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩;而其列向量組的秩稱為A的列秩.定理4.6.2

矩陣的行秩與列秩相等.由此定理和定理2.4.1(3),我們得到又一個(gè)方陣可逆的充分必要條件:推論

一階方陣可逆的充分必要條件為r(A)=n.

67在一個(gè)mn級矩陣A中,任取其中不同的k行和不同的k列(km,n)交叉位上的k2個(gè)元素構(gòu)成的k階行列式稱為A的一個(gè)k階子式.

定理4.6.3

矩陣A的秩為r當(dāng)且僅當(dāng)A中存在一個(gè)不等于0的r階子式，并且A中所有r+1子式(如存在)均等于0.

68對于向量組，將此向量組作為列行向量構(gòu)造一個(gè)矩陣A，并對A僅施行初等行變換將其化為行最簡形矩陣B，則B保持A的列向量組間的線性關(guān)系.從而有:求矩陣的秩以及向量組的秩的方法：對于矩陣，對其施行初等行變換化成行階梯形，而階梯形中不全為零的行的個(gè)數(shù)即為其秩，而這些不全為零的行對應(yīng)于原矩陣的行的行向量組即為原矩陣行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.69(i)

如j1,j2,…,jr

是B的不全為零的行的第一個(gè)不為零的數(shù)所在列的列向量,則A中對應(yīng)于j1,j2,…,jr的列向量是j1,

j2,…,jr的列向量組的極大無關(guān)組；

(ii)如j是B的一個(gè)列向量,且j=k1j1+k2j2+…+krjr,則A中對應(yīng)于j的列向量j=k1j1+k2j2+…+krjr.707172即，1,2,,s可由1,2,,n線性表出，同理可證總之，故1,2,,s的任一極大無關(guān)組可由1,2,,n的任一極大無關(guān)組線性表出，從而73§4.７線性方程組解的結(jié)構(gòu)

4.7.1.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解從第一章我們知道，齊次線性方程組若有非零解，則必有無窮多解．當(dāng)然，人們不可能逐一寫出全部解．但是，這些解之間存在一定的線性關(guān)系．由這些線性關(guān)系，就可給出齊次線性方程組的通解．74定理４.7.1齊次線性方程組(4.7.1)有非零解的充分必要條件為r(A)<n；而只有零解的充分必要條件為r(A)＝n．75如果向量1,2是齊次線性方程組(4.7.1)解向量，k是任意常數(shù)，則1＋2，k1均是(4.7.1)的解向量．推論

n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=n．從而，(4.7.1)的全體解向量構(gòu)成了一個(gè)向量空間，稱為(4.7.1)的解空間.76定義４.7.1一齊次線性方程組如有非零解，則其解空間的一個(gè)基稱為此齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．

設(shè)齊次線性方程組(4.7.1)的系數(shù)矩陣的秩r<n,則(4.7.1)的基礎(chǔ)解系由nr個(gè)解向量組成．77此行最簡型作為系數(shù)矩陣所對應(yīng)的方程組為，即78令79顯然是齊次方程組的一組解，且由于右邊的向量組無關(guān)，故以上的向量組也是一個(gè)無關(guān)組.80另一方面，把上述方程組寫成向量的形式，這表示，方程組的任意一組解均可表示為向量的線性組合,故其為基礎(chǔ)解系.81定義４.7.2設(shè)齊次線性方程組(16)的系數(shù)矩陣的秩r＜n，而向量組1,2,…,n-r

是其基礎(chǔ)解系，則稱向量k11+k22+…+kn-rn-r為(16)的通解，其中k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù)．82例求下述齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并寫出其通解.解.對系數(shù)矩陣作初等行變換83所以84從而基礎(chǔ)解系為通解為85解.對系數(shù)矩陣作初等行變換補(bǔ)充例1求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.86從而基礎(chǔ)解系為通解為所以87補(bǔ)充例2求下列以A為系數(shù)矩陣齊次方程組的基礎(chǔ)解系與通解88所以，基礎(chǔ)解系為所以線性方程組的通解為894.7.2.非齊次的線性方程組的解的討論

設(shè)非齊次線性方程組AX=(4.7.5)其中A=(aij)mn,X=(x1,x2,…,xn)T,＝(b1,b2,…,bm)T,并且b1,b2,…,bm不全為零.上述方程組有解時(shí),其解與對應(yīng)的齊次線性方程組AX=O(4.7.6)的解有著密切的聯(lián)系.90定義4.7.3

稱齊次線性方程組(4.7.6)為線性方程組(4.7.5)的導(dǎo)出方程組．設(shè)非齊次線性方程組(4.7.5)有解,并且其系數(shù)矩陣A的秩為r<n,0是其一個(gè)特定的解向量(稱為特解)，而1,2,…,n-r是導(dǎo)出方程組(4.7.6)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的全部解(也稱為(4